2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区建平中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，第1.2小题每小题4分，第3、4小题每小题5分，共18分。
1.方程的两个根可分别作为( )
A. 椭圆和双曲线的离心率 B. 两双曲线的离心率
C. 两椭圆的离心率 D. 以上皆错
2.“”是“圆与坐标轴有四个交点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 非充分必要条件
3.已知方程的根大于，则实数满足( )
A. B. C. D.
4.设曲线的方程为，动点，，，在上，对于结论：四边形的面积的最小值为；四边形外接圆的面积的最小值为下面说法正确的是( )
A. 错，对 B. 对，错 C. 都错 D. 都对
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.以圆上点为切点的圆切线方程是______．
6.抛物线的焦点坐标是 ．
7.已知函数的定义域是，则的取值范围为______．
8.已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点，若，则______．
9.双曲线的焦距是，则实数的值为______．
10.设集合，是双曲线，则 ______．
11.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得顺次连接，，，构成平行四边形，则双曲线的离心率为______．
12.设是椭圆第一象限部分上的一点，过分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，则矩形的面积的最大值为______．
13.若直线过抛物线的焦点，则的最小值是______．
14.已知抛物线对称轴为轴若抛物线上的动点到直线的最短距离为，则该抛物线的标准方程为______．
15.坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是______．
16.已知函数，其中，，的最大值为，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，是方程的两个实数根．
求的取值范围；
若，求的最小值．
18.本小题分
已知命题：点不在圆的内部，命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：“曲线表示双曲线”．
若“且”是真命题，求的取值范围；
若是的必要不充分条件，求的取值范围．
19.本小题分
如图，某十字路口的花圃中央有一个底面半径为的圆柱形花柱，四周斑马线的内侧连线构成边长为的正方形．因工程需要，测量员将使用仪器沿斑马线的内侧进行测量，其中仪器的移动速度为，仪器的移动速度为若仪器与仪器的对视光线被花柱阻挡，则称仪器在仪器的“盲区”中．
如图，斑马线的内侧连线构成正方形，仪器在点处，仪器在上距离点处，试判断仪器是否在仪器的“盲区”中，并说明理由；
如图，斑马线的内侧连线构成正方形，仪器从点出发向点移动，同时仪器从点出发向点移动，在这个移动过程中，仪器在仪器的“盲区”中的时长为多少？
20.本小题分
已知动直线交圆于坐标原点和点，交直线于点，若动点满足，动点的轨迹的方程为．
试用表示点、点的坐标；
求动点的轨迹方程；
以下给出曲线的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分．
对称性；
顶点坐标定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点；
图形范围；
渐近线；
对方程，当时，函数的单调性．
21.本小题分
已知直线与椭圆：有且只有一个公共点．
求椭圆的方程；
是否存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由；
椭圆的内接四边形的对角线与垂直相交于椭圆的左焦点，是四边形的面积，求的最小值．
参考答案
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17.解：若，是方程的两个实数根．
则，
解得：；
若，
其图象是开口朝上，以为对称轴的抛物线，
由；
故当时，的最小值为．
18.解：若为真：
解得或，
若为真：则
解得或
若“且”是真命题，
则，
解得或；
若为真，则，
即，
由是的必要不充分条件，
则可得或，
即或，
解得或．
19.解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，
所以，
则直线的方程为，即，
故圆心到直线的距离为，
所以圆与直线相交，
故仪器在仪器的“盲区”中．
建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
由题意可知，起始时刻仪器在仪器的“盲区”中，
假设仪器在仪器的“盲区”中的时长为，
则，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
从而点到直线的距离为，
解得，
又，
所以，
故在这个移动过程中，仪器在仪器的“盲区”中的时长为．
20.解：，得或，
即点．，得，即点分
，则点的参数方程为为参数，
消去参数，得分
关于轴对称；
将方程中的换成，方程的形式不变，则曲线关于轴对称．
曲线的顶点为；
在方程中，令，得则曲线的顶点坐标为．
图象范围：，；，得，．
直线是曲线的渐近线；，，当时，则直线是曲线的渐近线．
当时函数在上单调递增；设，则．
则，即，所以当时函数在上单调递增．
21.解：联立，消去并整理得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，
解得，
则椭圆的方程为；
假设存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
所以，
则，
解得，
故存在实数，使椭圆上存在不同两点、关于直线对称，
且的取值范围为；
易知椭圆的左焦点为，
当对角线与中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时，
此时四边形的面积；
当对角线与的斜率即存在，又不为零时，
不妨设直线的方程为，，，，，
可得直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
同理得，
此时四边形的面积，
不妨令，，
此时
，
因为，
所以，
即，
此时，
则，
综上得，四边形的面积的最小值为．
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