2024-2025学年河北省张家口市尚义一中等校高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河北省张家口市尚义一中等校高二（上）段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点的坐标为，点关于平面对称的点是( )
A. B. C. D.
2.已知，且与共线，则的坐标是( )
A. B. C. D.
3.一组样本数据为，，，，，，，则错误的选项为( )
A. 该组数据的极差为
B. 该组数据的分位数为
C. 该组数据的平均数为
D. 若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等
4.在三棱柱中，( )
A. B. C. D.
5.若空间中有三点，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
6.已知点，，，又点在平面内，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于( )
A. B. C. D.
8.已知四棱锥，平面，底面是为直角，的直角梯形，如图所示，且，点为的中点，则到直线的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共6小题，共18分。
9.下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行
B. 若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行
C. 两条不重合直线，的方向向量分别是，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
10.下列说法正确的是( )
A. 向量与向量共面
B. 若与共面，则，，使得
C. 若是空间的一个基底，则能构成空间一个基底
D. 若，则，，，共面，反之不正确
11.棱长为的正方体中，点在棱上运动，点在侧面上运动，满足平面，则( )
A. 点在侧面对角线上
B. 点在侧面对角线上
C. 线段的最小值为
D. 线段的最小值为
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为______．
13.如图，，两个开关串联再与开关并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，计算在这段时间内线路正常工作的概率为______．
14.空间直角坐标系中，经过点且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则当变化时，直线与平面所成角的正弦值最大时，平面的方程为______．
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）在第个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取名同学并将其成绩百分制，均为整数分成六组：第组，第组，第组，第组，第组，第组，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计这名学生成绩的第百分位数保留一位小数；
若先用分层抽样方法从得分在和的学生中抽取人，然后再从抽出的人中任意选取人，调查其读书情况，求此人得分不在同一组的概率．
16.（15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且与的夹角都等于，在棱上，，设，，．
试用，，表示向量；
求与的夹角．
17.（15分）如图，在长方体中，，．
证明：平面；
求到平面的距离．
18.（17分）如图，等腰中，底，，、分别为、的中点，为的中点，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图．
求证：平面；
为线段上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．
19.（17分）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，，且底面，点、分别是棱、的中点．
在底面内是否存在点，满足平面？若存在，请说明点的位置，若不存在，请说明理由；
设平面交棱于点，平面将四棱台分成上，下两部分，求与平面所成角的正弦值．
参考答案
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15.解：由频率分布直方图可得：，
解得，
因为成绩在的频率为，
所以第百分位数位于，设其为，
则，
解得，
所以第百分位数约为；
由频率分布直方图可知：得分在和内的频率分别为和，
采用分层抽样知，抽取的人，在内的人数为人，在内的人数为人，
设分数在内的人为，，分数在内的人为，，，
则在这人中抽取人的情况有：，，，，，，，，，，共有种情况，
其中得分不在同一组的人有：，，，，，，有种情况，
所以概率为．
16.解：
；
因为，，
．
所以
，
所以，
因为，
所以与的夹角为．
17.解：证明：在长方体中，
以为坐标原点，向量的方向，分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，
，
，
所以，，
又因为，平面，平面，
所以平面；
设平面的法向量为，
到平面的距离为，
由，，
所以，
令，可求得，
则，
所以．
18.解：证明：因为，为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面；
如图：
由知平面，取的中点，连接，则，
以为坐标原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
因为，，所以，
可得，，，，，
由得，
则，，
设为平面的一个法向量，
则，即，令，则，，
所以，
为平面的一个法向量，
所以，，
由图可得平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：因为底面，且是正方形，
故以点为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，，，
因为点、分别是棱，的中点，
则，
，，
假设在底面内存在点，
使得平面，则，，
则，
由，
解得，
故存在点，满足平面；
按照建系，设点，，
依题意，，，，四点共面，故必有，
即，
则
解得
即，又，，
设平面的法向量为，
则，
故可取，
因为，
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为．
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