2024-2025学年福建省厦门市同安一中高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省厦门市同安一中高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题年，我国数学家陈景润证明了“”成立哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为( )
A. 每一个小于的偶数都不能写成两个质数之和
B. 存在一个小于的偶数不能写成两个质数之和
C. 每一个大于的偶数都不能写成两个质数之和
D. 存在一个大于的偶数不能写成两个质数之和
3.设，，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
4.若函数定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
5.设集合，，若，则实数的值有个．
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B.
C. D.
7.函数的单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
8.对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：
在内是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. “同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件
B. “且”是“”的必要不充分条件
C. “”是“方程有一个实数根”的充要条件
D. “”是“集合或为空集”的充要条件
10.已知关于的不等式的解集为则( )
A. 不等式的解集为
B. 的解集为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
11.设非负实数，满足，则( )
A. 的最大值是 B. 的最小值为
C. 最小值为 D. 最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如果，，令，则的取值范围是______．
13.已知函数，的对应关系如下表：
则满足的的值为______．
14.记，分别表示函数在在上的最大值和最小值，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知不等式的解集为，集合．
若，求的值；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
对于函数，分析并求解下列问题：
试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增．
解不等式：．
17.本小题分
已知函数．
求函数的解析式；
求关于的不等式解集其中
对任意，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为．
当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围．
19.本小题分
已知正实数集，定义：称为的平方集记为集合中的元素个数．
若，求集合和；
若，求；
分别取，，时，试比较和的大小关系；
猜想和的大小关系，并证明你的结论．
参考答案
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15.解：由不等式可得，，
解得，
所以，
由可得或，
若，则，
若，则，
因为，则，
若，解得，
此时，，舍去；
若，解得，
此时，，符合题意，
故；
因为，则，
若，则，符合题意；
若，则且，
解得且，
综上：实数的取值范围为．
16.解：证明：函数，
设，
则，
，
，
，
，
在上单调递增．
，其定义域为，
，
为奇函数，
又由知在区间上单调递增，
在上单调递增，
令，解得或，
又，即，
或，
解得或或，
所以不等式的解集为．
17.解：由，
所以，，
所以的解析式为：，；
由题意得，化简得，
由得或，
所以当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
当时，不等式的解集为或；
由
可得当时，由二次函数性质知：，
当，，易知单调递增，所以最大值为，
因为对任意，总存在，使得不等式成立，
所以，解得，即所求的范围是．
18.解：设甲工程队的总造价为元，依题意左右两面墙的长度均为，
则屋子前面新建墙体长为，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元．
由题意可得，对任意的恒成立，即，
所以，即恒成立，
因为，仅当，即时，等号成立，
所以，
故的取值范围为．
19.解：由集合新定义中元素为中任意两个元素的乘积，去除重复的元素，
可得，，
由可得，，，，
若，要得到，就要，全部互质，
当中所有元素互质的时候，从集合中任取两个元素做乘积，共有个，
每个元素自身取平方共有个，此时共有个，他们构成了，
，
即，解得，或舍去，
所以若，，
当时，，，；
当时：
若两个数不互质，如，，，，
；
若两个数互质，如，，，，
；
综上，；
当时，设，中最多有，个元素，此时，
若时，有个元素，此时，所以，
证明：当，，时，由可知成立；
若考虑互质，当时，从集合中任取两个元素做乘积，共有个，
每个元素自身取平方共有个，此时共有个，它们构成了，
所以作差可得，
由二次函数的性质可得当时，上式大于零，
若不考虑互质时，当且仅当时，
此时中有个元素，，
综上．
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