2024-2025学年广东省广州市部分学校高二（上）第二次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市部分学校高二（上）第二次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知正方体的棱长为，以为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.圆的圆心和半径分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.将直线：绕点逆时针旋转得到直线，则的方程是( )
A. B. C. D.
6.空间中有三点，，，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是( )
A. 的方程为
B. 在上存在点，使得到点的距离为
C. 在上存在点，使得
D. 上的点到直线的最小距离为
8.已知，是直线：上两动点，且，点，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点与，不重合，则以下说法正确的是( )
A. 点的坐标为 B.
C. D. 的最大值为
10.已知圆：，直线：，则( )
A. 直线恒过定点
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
C. 直线与圆有两个交点
D. 圆与圆恰有三条公切线
11.如图，在平行六面体中，已知，，为棱上一点，且，则( )
A. B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面 D. 直线与平面所成角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，，，若，，共面，则的最小值为______．
13.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为，根据以上性质，已知，，，为内一点，记，则的最小值为______．
14.已知正三棱柱的底面边长为，高为，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆，过作直线圆交于点、．
求证：是定值；
若点求的值．
16.本小题分
如图，在空间几何体中，四边形是边长为的正方形，平面，，，，且．
求证：，，，四点共面；
在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知为圆：上任意一点，
求的最大值和最小值；
求的最大值和最小值．
18.本小题分
我国汉代初年成书的淮南子毕术中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧而英国化学家、物理学家享利卡文迪许从镜面反射现象中得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验测量计算出了地球的质量，他从而被称为第一个能测出地球质量的人已知圆的半径为，圆心在直线位于第一象限的部分上，一条光线沿直线入射被轴反射后恰好与圆相切．
直接写出的反射光线所在直线的方程；
求圆的方程；
点是圆与轴的公共点，一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，其在点处被直线反射后沿着轴负方向传播，此时的面积恰好为，求直线的方程．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．
参考答案
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15.证明：若直线的斜率不存在时，则直线的方程为，
将代入圆的方程可得：，
解得或，
设，，
则，
所以；
若直线的斜率存在，设：，，，
联立：，整理可得：，
可得恒成立，且，
又，
所以，
综上，可证得为定值；
解：易知直线的斜率存在，由知，
所以，得，
由，得，
所以．
即的值为定值．
16.解：证明：因为平面，，平面，
所以，，
因为四边形是正方形，所以，所以，，两两垂直，
则以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意，得，，，，
所以，
因为，
所以共面，
又，，有公共点，
所以，，，四点共面．
存在，理由如下：
，，则，
设为平面的法向量，
则，即，即，令，
得平面的一个法向量为，
假设线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为，
令，
则，
设为平面的法向量，
则，即，
即，
令，得平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，
则，
化简整理，得，因为，所以，
所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时．
17.解：已知圆：，
则，
又为圆上任意一点，
设，
得直线，
该直线与圆有交点即可，
所以圆心到直线的距离要小于等于半径即可，
有，
解得，
即，
所以的最大值为，最小值为；
因为，
显然表示点到点的距离的平方，
即，
已知在圆上，
则圆的圆心坐标为，半径为，
所以，
显然，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以的最大值为，最小值为．
18.解：设的反射光线所在直线上任意点为，
则该点关于轴对称点在直线上，
所以的反射光线所在直线的方程为；
设点，而圆与直线相切，且圆半径为，
则，即，
整理得或，
又点在第一象限，即，
所以，圆心，半径，
所以圆的方程为；
由知，点到轴距离为，即轴与圆相切于点，
由一条光线从第一象限入射后与圆相切于点，并与轴交于点，得点在点的右侧，
设，，则，连接，，，
，
又，
整理得，解得，即点，
直线的斜率为，由光的反射性质知，，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
19.证明：连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以，平面，平面，
所以平面；
解：如图，以向量，，为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
即，，，
则，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得，
令，得，，
可得平面的一个法向量为，
不妨取平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
解：由知，，，，
则，，
，
，
由知平面的一个法向量为，
设直线与平面的夹角为，
则，
整理得，解得或，
故当时，，当时，，
则的长为或．
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