2024-2025学年江苏省连云港市东海高级中学城北校区高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省连云港市东海高级中学城北校区高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，若，则中所有元素之和为( )
A. B. C. D.
3.下列各式正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知：，：，则是的( )
A. 充要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准，里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差根据该公式可知，级地震的最大振幅是级地震的最大振幅的倍．
A. B. C. D.
6.若命题“，”为真命题，则实数可取的最小整数值是( )
A. B. C. D.
7.若，，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
8.已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和为，求( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设计如图所示的四个电路图，条件：“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图( )
A. B.
C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 命题“，”的否定是“，或”
C. 若，则函数的最小值为
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
11.已知关于的不等式的解集为，则( )
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，则 ______．
13.已知，，则 ______．
14.若正数，，满足，，则的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
当时，求；
已知“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
若已知，，求的值；
计算；
已知求的值．
17.本小题分
已知不等式．
当时不等式恒成立，求实数的取值范围；
当时不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，，求：
的最小值
的最小值．
解关于的不等式：．
19.本小题分
已知有限集，，如果中的元素满足，就称为“完美集”．
判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
、是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；
若为正整数，求：“完美集”．
参考答案
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15.解：解不等式可得，
当时，可得，
所以；
由“”是“”的必要条件可得，
当时，则，可得；
当时，可得，且两端等号不同时成立，可得；
又时，不合题意；所以；
综上可知实数的取值范围为．
16.解：由已知，，
可得，
；
由，可得，可得，
所以，
因此可得．
17.解：若，则原不等式可化为，显然恒成立，
若，则不等式恒成立，
等价于 ，解得，
综上，实数的取值范围是．
当时，则原不等式可化为，显然恒成立，
当时，函数的图象开口向上，对称轴为直线，
若时不等式恒成立，
则，解得，
当时，函数的图象开口向下，
若时不等式恒成立，
则，解得，
综上，实数的取值范围是
18.解：因为，
当且仅当时取等号，所以，可得，解得，
当且仅当，时等号成立，所以的最小值为．
(ⅱ)由，得，
所以，
当且仅当时取等号，此时解得，所以的最小值为．
不等式对应方程为，解方程得或，
所以原不等式化为，
当时，原不等式化为，解得，
当时，或，
当时，解不等式，得或，
当时，解不等式，得，
当时，，解不等式，得，
当时，，此时不等式可化为，
化简得，该不等式无解，原不等式的解集为空集．
综上，
时，解集为，
时，解集为或，
时，解集为，
时，解集为，
时，解集为空集．
19.解：由，，则集合是“完美集”，
若、是两个不同的正数，且是“完美集”，
设，
根据根和系数的关系知，和相当于的两根，
由，解得或舍去，
所以，又，均为正数，
所以、至少有一个大于．
不妨设中，
由，得，
当时，即有，又为正整数，所以，
于是，则无解，即不存在满足条件的“完美集”；
当时，，故只能，，求得，
于是“完美集”只有一个，为．
当时，由，即有，
而，
又，因此，故矛盾，
所以当时不存在完美集，
综上知，“完美集”为．
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