安徽省临泉一中2015-2016学年高二下学期开学考试数学（理）试题

临泉一中2015－2016高二下学期开学考试
数学试题（理科）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知命题p：存在，使，则p是(　　)
A. 对任意，都有　　　　 B. 对任意 ，都有
C. 存在，使　　　 D. 存在，使
2. 双曲线的渐近线方程为(　　)
A.　　B. C.　 D.
3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得(　　)．
A．n＝6时该命题不成立 B．n＝6时该命题成立
C．n＝4时该命题不成立 D．n＝4时该命题成立
4. 设满足约束条件，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5. 若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为，则ab＝(　　)．
A．－28 B．－26 C．28 D．26
6. 棱长均为3三棱锥，若空间一点P满足，期中，
则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
7. 在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是(　　)
A．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B．当m α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C．当m α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D．当m α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
9. 已知公比为2的等比数列中，，则( 　　)
A．12 B．18 C．24 D．6
10.定义：数列前n项的乘积·…·．已知数列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11. 抛物线上到其焦点距离为4的点有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
12. 如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于点、．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）
13. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
14. 在ABC中，,B=450,,则ABC的外接圆的直径是 .
15. 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点(，)，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的长轴长为__________________.
16. 设7，其中，，，成公比为q的等比数列，，，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本题满分10分）
设命题：函数的值域为；命题：对一切实数恒成立，如果命题“且”为假命题，求实数的取值范围．
18.（本题满分12分）
在长方体中，，，为中点.
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）在棱上是否存在一点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.
（本题满分12分）
已知分别为三个内角的对边，
求；
若，的面积为，求.
（本题满分12分）
如图，己知四棱锥的底面为等腰梯形，∥,⊥垂足为,是四棱锥的高，为中点.
（1)证明：
（2）若==60°，求直线与平面所成角的正弦值.
(本小题满分12分)
设数列的前项和为.已知,,.
(1) 求的值;
(2) 求数列的通项公式;
(3) 证明:对一切正整数,有.
22.(本小题满分12分)
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围；
（3）若直线不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．
临泉一中2015－2016高二下学期开学考试
数学（理科）答题卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． ． 14． ．
15． ． 16． ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
18．（本题满分12分）
19．（本题满分12分）
20．（本题满分12分）
2015－2016临泉一中高二下学期开学测试
数学试题（理）参考答案
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C C B A A C C C C B B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. ． 14. ．15. ． 16. .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.(本小题满分10分)
[解]当真时，或，即；
当真时，，又，则.
由“且”为假命题，得“”为假命题或“”为假命题，
所以实数的取值范围是或．
18.(本小题满分12分)
[解]⑴如图建立空间直角坐标系，则,
设平面的法向量为，则
令，则
，
所以与平面所成角的正弦值为
（2）假设在棱上存在一点，使得∥平面.
设的坐标为，则 因为 ∥平面
所以 ， 即， ，解得，
所以 在棱上存在一点，使得∥平面,此时的长.
(本小题满分12分)
[解](1)由正弦定理可得，
又，则,
所以，即，又，
所以.
(2)由的面积为，得，即①；
由于弦定理得，即，所以②，
由①②解得．
20．(本小题满分12分)
[解]略．
(本小题满分12分)
[解]（1）． (2)．
22.(本小题满分12分)
[解]（1）设椭圆方程为
则 ∴椭圆方程为
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM=
由
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设
则
由
而
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
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