上海市金山中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题

金山中学2015学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷
（考试时间：90分钟　满分：100分　命题人：张红卫　审核人：俞丹萍）
一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分3分）
1．直线的倾斜角为，则的值是___________.
2．若实数满足不等式组，则的最大值为 .
3．设复数满足，则 .
4．已知直线与圆相切，则的值为__ ___.
5．已知方程表示椭圆，则的取值范围为__ ____.
6．若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为___________________.
7．过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为__________.
8．已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又、，O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_________.
9．若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________.
10．双曲线的焦点为F1、F2，，P在双曲线上 ，且满足：，则的面积是 .
11．若点在直线上的射影是,则的轨迹方程
是 .
12．已知点在直线上，点在直线上，PQ的中点为，且,则的取值范围是 .
二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分3分）
13．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（ ）
（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
14．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
15．设曲线C的参数方程为为参数，直线 的方程为，则曲线C上到直线 的距离为的点的个数为（ ）
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
16. 已知曲线：（），下列叙述中正确的是（ ）
（A）垂直于轴的直线与曲线存在两个交点
（B）直线（）与曲线最多有三个交点
（C）曲线关于直线对称
（D）若为曲线上任意两点，则有
三、解答题（本大题满分52分）
17．（本题满分6分）
求以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程.
18．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
设是方程的一个根．
（1）求；（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求.
19．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）
如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
(1) 求点Q的坐标；
(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.
20．（本题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向的海面P处，并以的速度向西偏北方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为,并以的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
21．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）
椭圆和椭圆满足椭圆，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若,,成等比数列，则点P的轨迹方程为”。请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明.
金山中学2015学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷
参考答案
一、填空题（本大题满分36分，共12小题，每小题满分3分）
1．直线的倾斜角为，则的值是___________3
2．若实数满足不等式组，则的最大值为 6
3．设复数满足，则
4．已知直线与圆相切，则的值为_____或-18
5．已知方程表示椭圆，则的取值范围为______
6．若直线经过原点，且与直线的夹角为300，则直线方程为___________________或
7．过点且方向向量为的直线与双曲线仅有一个交点，则实数的值为__________
8．已知点P是椭圆上的在第一象限内的点，又、，O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_________．
9．若点O和点F分别为双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为__________
10．双曲线的焦点为F1、F2，，P在双曲线上 ，且满足：，则的面积是 1
11．若点在直线上的射影是,则的轨迹方程
是
12．已知点在直线上，点在直线上，PQ的中点为，且,则的取值范围是 。
二、选择题（本大题满分12分，共4小题，每小题满分3分）
13．设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数的”（ B ）
（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
14．与双曲线有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（ B ）
（A） （B） （C） （B）
15．设曲线C的参数方程为为参数，直线 的方程为，则曲线C上到直线 的距离为的点的个数为 ( B )
（A） 1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
16. 已知曲线：（），下列叙述中正确的是 ( B )
（A）垂直于轴的直线与曲线存在两个交点
（B） 直线（）与曲线最多有三个交点
（C）曲线关于直线对称
（D）若为曲线上任意两点，则有
三、解答题（52分）
17.（6分）求以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的标准方程。
解：抛物线的焦点F(1,0) ……2分
因为圆过原点，所以半径R=1 ……4分
所以所求的圆的标准方程为 ……6分
18.（10分）设是方程的一个根．
（1）求；
（2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求．
解 （1） 因为，所以或． ……4分
（2）由，得，． ……8分
当时，； ……10分
当时，．
19.（10分）如图, 直线y=x与抛物线y=x2－4交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线与直线y=－5交于Q点.
(1) 求点Q的坐标；
(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方
(含A、B) 的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值。
解：(1)解方程组得 A(-4,-2),B(8,4).
从而AB的中点为M(2,1).
直线AB的垂直平分线方程为
令y=-5,得x=5.
∴Q(5,-5). ……4分
(2)直线OQ的方程为
设.
∵点P到直线OQ的距离
∴当x=8时,△OPQ的面积取到最大值30. ……10分
20.（12分）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解：以海滨城市o为坐标原点，正东方向为x轴的正向建立直角坐标系，设台风中心则
……4分
台风侵袭的区域是 ……8分
将（0，0）点代人得： 解得
答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭． ……12分
21.（14分）椭圆和椭圆满足椭圆，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比。
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线L分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求的最大值和最小值；
（3）对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆和交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若,,成等比数列，则点P的轨迹方程为”。请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，不必证明。
解：（1）设所求的椭圆方程为，则有解得
∴所要求的椭圆方程为 ……4分
（2）①当射线与y轴重合时，
②当射线不与y轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形．
设其方程为y=kx（k≥0，x＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2）
由解得 所以
由解得 所以
+
令，
在上是增函数，∴，
即
由①②知，的最大值为，
的最小值为． ……10分
（3）本题根据学生提出和解决问题的质量评分 ……14分