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第21章 一元二次方程
一、一元二次方程的相关定义
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣y＝2x+2 B．2x2+1＝0 C．3x+1＝0 D．
2．已知（m﹣2）x|m|+3x+2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝（ ）
A．2 B．1 C．±2 D．﹣2
3．将一元二次方程3x2+1＝2x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1 B．3，﹣1 C．3，2 D．3，﹣2
4．已知x＝﹣1是一元二次方程2x2+ax+3＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
5．一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x﹣5化为一般形式是 ．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0
C． D．（x﹣1）2+1＝x2
2．若关于x的一元二次方程为3x2﹣5x+1＝0，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5
3．已知一元二次方程x2+kx﹣4＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
4．方程（x+1）（x﹣2）＝﹣6，化成一般形式是 ．
5．关于x的方程（m﹣2）x|m|+3mx﹣4＝0是一元二次方程，则m＝ ．
二、解一元二次方程
1．能用直接开平方法求解的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣3x＝0 B．x2+2x＝3 C．x2+x﹣1＝0 D．x2＝4
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x＝1配方后可变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝1 B．（x﹣1）2＝0 C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣2）2＝5
3．方程x2﹣3x﹣2＝0与求根公式中相对应的a，b，c的值分别是（ ）
A．0，﹣3，2 B．0，﹣3，﹣2 C．1，﹣3，﹣2 D．1，﹣3，2
4．方程x（x﹣5）＝5﹣x的根是（ ）
A．x＝5 B．x＝0
C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝﹣1
5．已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
7．解方程：
（1）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）
（2）x2+3x﹣10＝0
（3）2x2+3x﹣4＝0
1．能用直接开平方法求解的方程是（ ）
A．x2+3x+1＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2﹣2x+3＝0
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣2）2＝6 D．（x+2）2＝6
3．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
4．一元二次方程（x+2）（x﹣5）＝0的根是（ ）
A．﹣2 B．5 C．2或﹣5 D．﹣2或5
5．已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣15＝0，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．5 C．﹣3或5 D．3或﹣5
6．若关于x的一元二次方程x2+10x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
7．解方程：
（1）3x2﹣2x﹣1＝0
（2）x（x+2）＝2x+4
（3）x2﹣2x﹣3＝0
（4）2x2+3x﹣1＝0
三、根与系数的关系
1．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根为x1和x2，则x1 x2的值为（ ）
A．10 B．﹣10 C．24 D．﹣24
2．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x1+x2﹣4x1x2的值为（ ）
A．4 B．﹣3 C．0 D．7
3．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 ．
4．已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+3k﹣6＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足3x1x2+x1+x2＝1，求k的值．
1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则+的值是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．﹣
2．若m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则2mn﹣m﹣n的值为（ ）
A．﹣12 B．12 C．﹣8 D．8
3．已知一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根为x1，x2，则＝ ．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
四、一元二次方程与实际问题
1．市计划经过两年时间，绿地面积增加69%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
A．29% B．44% C．31% D．30%
2．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
3．学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有 人参加了选拔赛．
4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元．
（1）设每件商品降价x元，则每星期可卖出 件；
（2）在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
1．成都市某鞋厂10月份的运动鞋产量为32万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到100万双．设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．100（1+x）2＝32
B．100（1﹣x）2＝32
C．32（1+x）2＝100
D．32+32（1+x）+32（1+x）2＝100
2．为贯彻落实省教育厅提出的乡村学校“绿色点亮生活，健康护佑生命”的主题实践活动，某校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长为42m的围栏建成如图所示的生态种植园（中间用围栏隔开）．由于场地限制，垂直于墙的一边，长度不能超过7m（围栏宽忽略不计）．若生态种植园的面积为144m2，则生态种植园垂直于墙的边长为（ ）
A．4m B．4m或6m C．6m D．6m或8m
3．2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，设参赛的队伍有x支，则可列方程 ．
4．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒．
（1）设售价每盒下降x元，则每天能售出 盒（用含x的代数式表示）；
（2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；
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第21章 一元二次方程
一、一元二次方程的相关定义
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣y＝2x+2 B．2x2+1＝0 C．3x+1＝0 D．
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A、x﹣y＝2x+2，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、2x2+1＝0，是一元二次方程，故符合题意；
C、3x+1＝0，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、2x﹣＝0，不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：B．
2．已知（m﹣2）x|m|+3x+2＝0是关于x的一元二次方程，则m＝（ ）
A．2 B．1 C．±2 D．﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义得到|m|＝2且m﹣2≠0，由此可以求得m的值．
【解答】解：∵（m﹣2）x|m|+3x+2＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|＝2且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2．
故选：D．
3．将一元二次方程3x2+1＝2x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（ ）
A．3，1 B．3，﹣1 C．3，2 D．3，﹣2
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次项系数和一次项系数即可．
【解答】解：把3x2+1＝2x化为一般式3x2﹣2x+1＝0，
∴二次项系数和一次项系数分别是3和﹣2，
故选：D．
4．已知x＝﹣1是一元二次方程2x2+ax+3＝0的一个解，则a的值是（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【分析】将x＝﹣1代入原方程，求出解即可．
【解答】解：根据题意，将x＝﹣1代入2x2+ax+3＝0，
得2×（﹣1）2﹣a+3＝0，
解得a＝5，
故选：A．
5．一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x﹣5化为一般形式是 ．
【分析】将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，将方程转化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式即可．
【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝2x﹣5，
整理，得：x2﹣x﹣1＝0，
故答案为：x2﹣x﹣1＝0．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0
C． D．（x﹣1）2+1＝x2
【分析】据此即可判定求解．
【解答】解：A、当a＝0时，方程为bx+c＝0是一元一次方程，该选项不合题意；
B、方程x2＝0是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
D、方程（x﹣1）2+1＝x2整理为﹣2x+2＝0，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：B．
2．若关于x的一元二次方程为3x2﹣5x+1＝0，它的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5
【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c，据此求解即可．
【解答】解：根据题意得：关于x的一元二次方程3x2﹣5x+1＝0的二次项系数为3，一次项系数为﹣5．
故选：D．
3．已知一元二次方程x2+kx﹣4＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝1代入方程得关于k的一次方程1﹣4+k＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程得1+k﹣3＝0，
解得k＝3．
故选：D．
4．方程（x+1）（x﹣2）＝﹣6，化成一般形式是 ．
【分析】先展开，移项，即可得出ax2+bx+c＝0的形式即可．
【解答】解：（x+1）（x﹣2）＝﹣6，
整理得：x2﹣2x+x﹣2＝﹣6，即x2﹣x+4＝0．
故答案为：x2﹣x+4＝0．
5．关于x的方程（m﹣2）x|m|+3mx﹣4＝0是一元二次方程，则m＝ ．
【分析】根据一元二次方程的定义得到|m|＝2且m﹣2≠0直接求解即可得到答案．
【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|+3mx﹣4＝0是一元二次方程，
∴|m|＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
二、解一元二次方程
1．能用直接开平方法求解的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣3x＝0 B．x2+2x＝3 C．x2+x﹣1＝0 D．x2＝4
【分析】此题可根据“方程类似于x2＝a（a≥0）”可利用直接开平方法进行求解．
【解答】解：A、利用因式分解法解方程，故A不符合题意；
B、利用配方法可求解方程，故B不符合题意；
C、根据公式法可求解方程，故C不符合题意；
D、方程类似于x2＝a（a≥0）”，所以可以利用直接开平方法求解方程，故D符合题意；
故选：D．
2．关于x的一元二次方程x2﹣2x＝1配方后可变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝1 B．（x﹣1）2＝0 C．（x﹣1）2＝2 D．（x﹣2）2＝5
【分析】先把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
故选：C．
3．方程x2﹣3x﹣2＝0与求根公式中相对应的a，b，c的值分别是（ ）
A．0，﹣3，2 B．0，﹣3，﹣2 C．1，﹣3，﹣2 D．1，﹣3，2
【分析】根据一元二次方程的一般形式可知道a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项分别找出来即可．
【解答】解：方程x2﹣3x﹣2＝0，对应a，b，c的值分别是1，﹣3，﹣2；
故选：C．
4．方程x（x﹣5）＝5﹣x的根是（ ）
A．x＝5 B．x＝0
C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝﹣1
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：x（x﹣5）＝5﹣x，
x（x﹣5）+（x﹣5）＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0或x+1＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣1，
故选：D．
5．已知实数x满足（a2+b2）2﹣4（a2+b2）﹣12＝0，则代数式a2+b2+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
【分析】设a2+b2＝x，x＞0，则x2﹣4x﹣12＝0，可求满足要求解为x＝6，然后代值求解即可．
【解答】解：设x＝a2+b2，
∴x2﹣4x﹣12＝0，
（x+2）（x﹣6）＝0，
解得，x＝﹣2（舍去）或x＝6，
∴原式＝6+1＝7，
故选：A．
6．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
【分析】当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+4x+2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×（m﹣2）×2≥0且m﹣2≠0，
解得m≤4且m≠2，
故答案为：m≤4且m≠2．
7．解方程：
（1）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）
（2）x2+3x﹣10＝0
（3）2x2+3x﹣4＝0
【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）直接利用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）利用公式法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）移项得，（x﹣3）2﹣2x（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（x﹣3﹣2x）＝0，即（x﹣3）（﹣x﹣3）＝0，
∴x﹣3＝0或﹣x﹣3＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）因式分解得（x+5）（x﹣2）＝0，
∴x+5＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣5，x2＝2；
（3）∵2x2+3x﹣4＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝﹣4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣4）＝9+32＝41＞0，
∴，
∴，．
1．能用直接开平方法求解的方程是（ ）
A．x2+3x+1＝0 B．x2﹣9＝0 C．x2+x﹣1＝0 D．x2﹣2x+3＝0
【分析】熟知能利用直接开平方法求解的一元二次方程特征即可解决问题．
【解答】解：因为能用直接开平方法求解的一元二次方程可化成形如x2＝a，ax2＝b，（x+m）2＝0，（x+m）2＝n的形式，
且x2﹣9＝0可转化为x2＝9，
所以B选项符合题意．
故选：B．
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0时，原方程应变形为（ ）
A．（x﹣1）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x﹣2）2＝6 D．（x+2）2＝6
【分析】根据配方法解一元二次方程的方法求解即可．
【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0，
∴x2﹣4x＝2，
配方得x2﹣4x+4＝6，
∴原方程应变形为（x﹣2）2＝6，
故选：C．
3．如果一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是（ ）
A．p2﹣4q≥0 B．p2﹣4q≤0 C．p2﹣4q＞0 D．p2﹣4q＜0
【分析】根据在Δ≥0的前提下用公式法解一元二次方程，即可确定答案．
【解答】解：∵a＝1，b＝p，c＝q，
∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣4q≥0时，一元二次方程x2+px+q＝0能用公式法求解，
故选：A．
4．一元二次方程（x+2）（x﹣5）＝0的根是（ ）
A．﹣2 B．5 C．2或﹣5 D．﹣2或5
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：由题意知：x+2＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝5；
故选D．
5．已知实数a，b满足（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣15＝0，则a2+b2的值为（ ）
A．3 B．5 C．﹣3或5 D．3或﹣5
【分析】设a2+b2＝x，则原方程变为x2﹣2x﹣15＝0，解这个方程即可求得的a2+b2值．
【解答】解：设a2+b2＝x，
原方程变为：x2﹣2x﹣15＝0，
（x﹣5）（x+3）＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣3，
因为平方和是非负数，
所以a2+b2的值为5；
故选：B．
6．若关于x的一元二次方程x2+10x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ ．
【分析】由方程有两个相等的实数根可知根的判别式为0，得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+10x+m＝0有两个相等的实数根，
∴a＝1，b＝10，c＝m，
∴Δ＝102﹣4m＝0，
∴m＝25，
故答案为：25．
7．解方程：
（1）3x2﹣2x﹣1＝0
（2）x（x+2）＝2x+4
（3）x2﹣2x﹣3＝0
（4）2x2+3x﹣1＝0
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得解；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可得解；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可得解；
（4）利用公式法解一元二次方程即可得解．
【解答】解：（1）∵3x2﹣2x﹣1＝0，
∴（3x+1）（x﹣1）＝0，
∴3x+1＝0或x﹣1＝0，
∴，x2＝1；
（2）∵x（x+2）＝2x+4，
∴x（x+2）﹣（2x+4）＝0，
∴x（x+2）﹣2（x+2）＝0，
∴（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x+2＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝2；
（3）∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（4）∵2x2+3x﹣1＝0，
∴a＝2，b＝3，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
三、根与系数的关系
1．已知一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根为x1和x2，则x1 x2的值为（ ）
A．10 B．﹣10 C．24 D．﹣24
【分析】根据两根之积等于，即可解答本题．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣10x+24＝0的两个根为x1和x2，a＝1，b＝﹣10，c＝24，
∴x1 x2＝＝＝24，
故选：C．
2．若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x1+x2﹣4x1x2的值为（ ）
A．4 B．﹣3 C．0 D．7
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和及两根之积，最后利用整体思想即可解决问题．
【解答】解：因为x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，
所以，
所以x1+x2﹣4x1x2＝﹣1﹣4×（﹣2）＝7．
故选：D．
3．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，则的值是 ．
【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣5，
∴，
∴，
∴．
故答案为：14．
4．已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+3k﹣6＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足3x1x2+x1+x2＝1，求k的值．
【分析】（1）计算一元二次方程根的判别式Δ＝（k﹣5）2≥0进而即可求证；
（2）利用根与系数的关系得x1+x2＝﹣k﹣1，x1x2＝3k﹣6，代入3x1x2+x1+x2＝1求解即可．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2+（k+1）x+3k﹣6＝0，
∴Δ＝（k+1）2﹣4×1×（3k﹣6），
＝k2+2k+1﹣12k+24，
＝k2﹣10k+25＝（k﹣5）2≥0
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：由题意得x1+x2＝﹣k﹣1，x1x2＝3k﹣6，
∵3x1x2+x1+x2＝1，
∴3×（3k﹣6）+（﹣k﹣1）＝1，
解得．
1．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则+的值是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．﹣
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算即可．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
则+＝＝＝﹣．
故选：D．
2．若m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则2mn﹣m﹣n的值为（ ）
A．﹣12 B．12 C．﹣8 D．8
【分析】利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣2，mn＝﹣5，再将其代入2mn﹣m﹣n＝2mn﹣（m+n）中，即可求出结论．
【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣＝﹣2，mn＝＝﹣5，
∴2mn﹣m﹣n＝2mn﹣（m+n）＝2×（﹣5）﹣（﹣2）＝﹣8．
故选：C．
3．已知一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两根为x1，x2，则＝ ．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，利用完全平方公式变形计算即可得到答案
【解答】解：∵x1，x2方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，
∴x1+x2＝3，x1x2＝﹣4，
∴＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝9+8＝17．
故答案为：17．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个实数根可得Δ＝b2﹣4ac≥0，由此即可求解；
（2）运用一元二次方程根与系数的关系，，乘法公式的变形，代入求值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k＝0有两个实数根，
∴Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k）≥0，
解得；
（2）根据题意得x1+x2＝2k﹣1，，
∵，
∴，即，
∴（2k﹣1）2﹣3（k2﹣2k）＝9，整理得k2+2k﹣8＝0，
∴（k﹣2）（k+4）＝0且，
解得k1＝2，k2＝﹣4（不符合题意，舍去），
∴k＝2．
四、一元二次方程与实际问题
1．市计划经过两年时间，绿地面积增加69%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（ ）
A．29% B．44% C．31% D．30%
【分析】设原来绿地面积是1，这两年平均每天绿地面积的增长率是x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得．
【解答】解：设两年平均每天绿地面积的增长率是x，
（1+x）2＝1+69%，
x1＝30%，x2＝﹣2.3（舍去），
故选：D．
2．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【分析】由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x m，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：C．
3．学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场比赛，有 人参加了选拔赛．
【分析】设有x人参加了选拔赛，根据一共进行了36场比赛，列出方程进行求解即可．
【解答】解：设有x人参加了选拔赛，根据一共进行了36场比赛，列方程得：
，
解得：x1＝9，x2＝﹣8（舍去），
所以有9人参加了选拔赛．
答：有9人参加了选拔赛．
故答案为：9．
4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元．
（1）设每件商品降价x元，则每星期可卖出 件；
（2）在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？
【分析】（1）设每件商品降价x元，根据每降价1元，每星期可多卖出20件列式即可；
（2）根据题意，找到等量关系即可解题．
【解答】解：（1）设每件商品降价x元，
∵每降价1元，每星期可多卖出20件，
∴每星期可卖出（300+20x）件；
故答案为：（300+20x）；
（2）根据题意得，（60﹣x﹣40）（300+20x）＝6080，
解得x1＝1，x2＝4，
又顾客得实惠，故取x＝4，即定价为60﹣4＝56（元），
答：应将销售单价定为56元．
1．成都市某鞋厂10月份的运动鞋产量为32万双，因销量较好，11月份、12月份均增大产量，使第四季度的总产量达到100万双．设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．100（1+x）2＝32
B．100（1﹣x）2＝32
C．32（1+x）2＝100
D．32+32（1+x）+32（1+x）2＝100
【分析】根据10月的产量，和增长率可得11月的产量为32（1+x），可得12月的产量为32（x+x）（1+x）＝32（1+x）2，结合第四季度总产量为100万双，由此即可列式即可．
【解答】解：10月份的运动鞋产量为32万双，设该厂11、12月份的运动鞋产量的月平均增长率为x，
∵第四季度的总产量达到100万双，
∴32+32（1+x）+32（1+x）2＝100，
故选：D．
2．为贯彻落实省教育厅提出的乡村学校“绿色点亮生活，健康护佑生命”的主题实践活动，某校计划用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长为42m的围栏建成如图所示的生态种植园（中间用围栏隔开）．由于场地限制，垂直于墙的一边，长度不能超过7m（围栏宽忽略不计）．若生态种植园的面积为144m2，则生态种植园垂直于墙的边长为（ ）
A．4m B．4m或6m C．6m D．6m或8m
【分析】设生态种植园垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为（42﹣3x）m，根据“生态种植园的面积为144m2”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设生态种植园垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为（42﹣3x）m，
由题意得：x（42﹣3x）＝144，
整理得：x2﹣14x+48＝0，
解得：x1＝6，x2＝8，
∵由于场地限制，垂直于墙的一边，长度不能超过7m，
∴x＝6，
∴生态种植园垂直于墙的边长为6m，
故选：C．
3．2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，设参赛的队伍有x支，则可列方程 ．
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝55．
故答案为：x（x﹣1）＝55．
4．中秋期间，某商场以每盒140元的价格购进一批月饼，当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒．
（1）设售价每盒下降x元，则每天能售出 盒（用含x的代数式表示）；
（2）当月饼每盒售价为多少元时，每天的销售利润恰好能达到2550元；
【分析】（1）根据每盒月饼降价2元，商场每天就可以多售出5盒，列出代数式即可；
（2）设月饼每盒售价下降x元，则月饼每盒售价为（180﹣x）元，每天能售出盒，单件利润为（40﹣x）元，每天的销售利润恰好能达到2550元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵当每盒月饼售价为180元时，每天可售出60盒，如果每盒月饼降价2元，那么商场每天就可以多售出5盒，
∴售价每盒下降x元，则每天能售出盒；
（2）降价前，单件利润为：180﹣140＝40（元），
设月饼每盒售价下降x元，则月饼每盒售价为（180﹣x）元，单件利润为（40﹣x）元，每天能售出盒，
由题意得：，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝10，x2＝6，
当x＝10时，180﹣x＝170；
当x＝6时，180﹣x＝174；
答：当月饼每盒售价为170元或174元时，每天的销售利润为2550元．
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