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第22章 二次函数
一、二次函数的相关定义
1．下列函数中，是y关于x的二次函数的有（ ）
①y＝3（x﹣1）2+1； ②； ③y＝8x2+1； ④y＝3x2+x3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若函数是关于x的二次函数，则m＝ ．
3．已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
1．下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（ ）
A． B．y＝ax2+bx+c
C．y＝（x+1）x D．y＝2x﹣3
2．若函数y＝（k﹣2）x2﹣4x是y关于x的二次函数，则k应满足 ．
3．已知函数y＝（n2﹣1）x2+（n2﹣2n﹣3）x﹣n﹣1．
（1）当n为何值时，y是x的一次函数？
（2）当n为何值时，y是x的二次函数？
二、二次函数的图象与性质
1．二次函数y＝（x+2）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
2．若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则二次函数y＝mx2+m的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣m2的自变量x1、x2、x3对应的函数值分别为y1、y2、y3，当2＜x1＜3，0＜x2＜1，x3＜﹣3时，y1、y2、y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有下列结论：①a+c＞b；②abc＜0；③2a﹣b＜0；④4a﹣2b+c＜0．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线 ．
6．二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜0时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
7．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图．
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
… …
（1）补充表格中的y值；
（2）在坐标系中画出图象．
8．已知函数y＝﹣x2﹣3x+1．
（1）该函数图象的开口方向是 ；
（2）求出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？
1．抛物线y＝﹣（x+3）2﹣1的顶点是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数y＝x2+1的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
4．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2+x1 x2＝﹣5，其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．1个 C．3个 D．2个
5．抛物线y＝﹣3（x﹣4）2的对称轴为直线x＝ ．
6．已知抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 ．
7．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，完成下列任务．
（1）完成下表，并画出该函数的图象；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣5 3 …
①当x＞﹣1时，y随x的增大而 ；
②当3≤y≤4时，x的取值范围是 ．
8．已知抛物线．
（1）把该抛物线写成y＝a（x+m）2+k的形式；
（2）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）抛物线经过第几象限？
三、二次函数的平移
1．某抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2，则原抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣5）2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣5 D．y＝（x﹣5）2﹣5
2．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线y＝5x2，则原抛物线解析式为（ ）
A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x﹣2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
3．把二次函数y＝3（x+1）2﹣2的图象关于y轴对称，再向右平移1个单位长度后得到的图象的表达式为 ．
1．把抛物线y＝2（x﹣2）2+1先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到的图象解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x+1）2+2
C．y＝2（x﹣5）2 D．y＝2（x﹣5）2+2
2．将抛物线y＝2（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝2x2+4x+4，则正确的平移方式是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
3．将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移4个单位，那么得到抛物线的解析式为 ．
四、二次函数与一元二次方程
1．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
2．如图，二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），那么关于x的一元二次方程﹣x2+mx+n＝0的解为（ ）
A．x1＝5，x2＝1 B．x1＝5，x2＝﹣1
C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x＝5
3．下表是一组二次函数y＝x2+2x﹣4的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.59 ﹣0.16 0.29 0.76
那么方程x2+2x﹣4＝0的一个近似根是（精确到0.1）（ ）
A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4
1．抛物线y＝ax2﹣4ax+c与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（4，0）
2．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2
3．下表示用计算器探索函数y＝x2+5x﹣3时所得的数值：
x 0 0.25 0.5 0.75 1
y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3
则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5
C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1
五、二次函数的应用
1．巴黎奥运会上，一个运动员踢足球．若球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为，则足球在飞行过程中的最大高度为（ ）
A．6m B．8m C．10m D．12m
2．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点A落在x轴上，桥洞底部左边端点B落在y轴上，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 米．
3．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
4．掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处A距离地面的高度AO是2m，实心球的落地点为C处，以O为原点，OC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3m时，达到最大高度3m的B处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4m，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？
1．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m．
A．6 B．45 C．35 D．25
2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再上升1.5m，则水面的宽度为 m．
3．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线x＝10．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），其图象如图②所示．已知坡地OB所在直线经过点（10，1）．
（1）C的值为 ；
（2）若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度．
4．护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地AB进行浇灌，OA＝10m，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知水柱在距出水口A的水平距离为6m时，达到距离地面OB的竖直高度的最大值为13m．设喷出的水柱距出水口的水平距离为x（m），距地面的竖直高度为y（m），以坡底B所在的水平方向为x轴，A处所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，原点为O，如图所示．经过测量，可知斜坡AB的函数表达式近似为．
（1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）若该装置浇灌的最远点C离地面的竖直高度为1m，求此时喷到C处的水柱距出水口的水平距离．
（3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地AB时，安装的支架的高度为多少米？
六、二次函数的综合题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D为抛物线的对称轴上一动点，当△ACD周长最小时，求点D的坐标及周长的最小值．
2．已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点N的坐标．
3．定义：函数图象G上的点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x的差y﹣x叫做点P的“双减差”，图象G上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象G的“幸福值”如：抛物线y＝x2上有点P（4，16），则点P的“双减差”为12；而抛物线y＝x2上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题：
（1）已知函数图象上点P的横坐标x＝1，求点P的“双减差”y﹣x的值；
（2）若直线y＝kx+11（﹣1≤x≤2）的“幸福值”为k2（k＞1），求k的值；
（3）设抛物线y＝x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y＝﹣x+9，当时，抛物线y＝x2+bx+c的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式．
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），作直线AC，点P是抛物线在直线AC上方的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线AC于点D．设PD长为h，点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求h与m之间的函数关系式．
（3）当时，直接写出m的值．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的动点，且满足S△PAO＝6，求出P点的坐标；
（3）连接BC，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
3．定义：对于二次函数y＝ax2+bx+c，当自变量x满足p≤x≤q时，函数值y的取值范围也为p≤y≤q，则称二次函数y＝ax2+bx+c是p≤x≤q上的“等域函数”．
已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B．
（1）若b＝﹣2，且抛物线经过点（1，0），（0，1）．
①求a，c的值；
②若y＝ax2+bx+c是0≤x≤t（t＞2）上的“等域函数”，求t的值；
（2）在a＜b＜c的情况下，记点B的横坐标为xB，经过点B的直线y＝﹣ax+m与抛物线交于点C（xC，yC）．若，是否存在二次函数y＝ax2+bx+c是xB≤x≤xC或xC≤x≤xB上的“等域函数”的情形？若存在，求出抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
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第22章 二次函数
一、二次函数的相关定义
1．下列函数中，是y关于x的二次函数的有（ ）
①y＝3（x﹣1）2+1； ②； ③y＝8x2+1； ④y＝3x2+x3．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数定义依次判断即可．
【解答】解：①y＝3（x﹣1）2+1是y关于x的二次函数；
②不符合二次函数的定义，不是y关于x的二次函数；
③y＝8x2+1是y关于x的二次函数；
④y＝3x2+x3不符合二次函数的定义，不是y关于x的二次函数．
故选：B．
2．若函数是关于x的二次函数，则m＝ ．
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c （a，b，c是常数，a≠0）是二次函数，可得答案．
【解答】解：由题意可得m2﹣m＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
3．已知函数y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：
（1）y是x的一次函数？
（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．
【分析】（1）根据形如y＝kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数；
（2）根据形如y＝ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点．
【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得
，
解得m＝，
当m＝时，y是x的一次函数；
（2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得
，
解得m＝2，m＝﹣2（不符合题意的要舍去），
当m＝2时，y是x的二次函数，
当y＝﹣8时，﹣8＝﹣4x2，
解得x＝，
故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，﹣8）．
1．下列函数中，属于y关于x的二次函数的是（ ）
A． B．y＝ax2+bx+c
C．y＝（x+1）x D．y＝2x﹣3
【分析】直接利用二次函数的定义分别分析得出答案．
【解答】解：y＝3x2+中是分式，则A不符合题意；
当a＝0时，y＝ax2+bx+c不是二次函数，则B不符合题意；
y＝（x+1）x＝x2+x，它是二次函数，则C符合题意；
y＝2x﹣3是一次函数，则D不符合题意；
故选：C．
2．若函数y＝（k﹣2）x2﹣4x是y关于x的二次函数，则k应满足 ．
【分析】形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数，由二次函数定义得到k﹣2≠0求解即可得到答案．
【解答】解：根据二次函数的定义，若函数y＝（k﹣2）x2﹣4x是y关于x的二次函数，则k﹣2≠0，
解得k≠2，
所以k应满足的条件是k≠2．
故答案为：k≠2．
3．已知函数y＝（n2﹣1）x2+（n2﹣2n﹣3）x﹣n﹣1．
（1）当n为何值时，y是x的一次函数？
（2）当n为何值时，y是x的二次函数？
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）根据二次函数的定义解答即可求解；
【解答】解：（1）由题意得，，
解得n＝1，
∴当n＝1时，y是x的一次函数；
（2）由题意得，n2﹣1≠0，
∴n≠±1，
∴当n≠±1时，y是x的二次函数．
二、二次函数的图象与性质
1．二次函数y＝（x+2）2+1的图象的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】根据题目中给定的函数顶点式，可以直接写出该函数图象的顶点坐标．
【解答】解：∵二次函数的顶点式为y＝（x+2）2+1，
∴该函数图象的顶点坐标为（﹣2，1），
故选：B．
2．若正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，则二次函数y＝mx2+m的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，推出m＜0，可知二次函数y＝mx2+m的图象的开口向下，与y轴交于负半轴上，由此即可判断，
【解答】解：∵正比例函数y＝mx（m≠0），y随x的增大而减小，
∴m＜0，
∴抛物线y＝mx2+m的开口向下，与y轴交于负半轴上，
故选：D．
3．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣m2的自变量x1、x2、x3对应的函数值分别为y1、y2、y3，当2＜x1＜3，0＜x2＜1，x3＜﹣3时，y1、y2、y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先求得抛物线的对称轴为直线x＝1，根据抛物线开口向上时，图象上的点离对称轴越近，函数值越小，确定出三点离对称轴的远近，即可确定出函数值的大小．
【解答】解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，
∵2＜x1＜3，0＜x2＜1，x3＜﹣3，
则三个点和对称轴之间的距离关系为：|x2﹣1|＜x1﹣1＜|x3﹣1|，
∵二次函数的二次项系数1＞0，即抛物线开口向上，
∴y2＜y1＜y3，
故选：B．
4．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，有下列结论：①a+c＞b；②abc＜0；③2a﹣b＜0；④4a﹣2b+c＜0．其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置可判断a、b、c的符号，然后再根据两根关系和抛物线与x的交点情况逐项判定即可．
【解答】解：①当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故①符合题意；
②∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴对称轴为，
∵a＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴abc＜0，故②不符合题意；
③∵对称轴为，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，故③符合题意；
④由图象可知，当x＝﹣2，y＝4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2b+c＜0，故④不符合题意；
故选：B．
5．抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线 ．
【分析】二次函数y＝（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，据此即可解答．
【解答】解：∵y＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线y＝（x+1）2﹣4对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：x＝﹣1．
6．二次函数y＝（x﹣1）2，当x＜0时，y随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】根据a＝1＞0，得函数图象开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小，即可得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2中a＝1＞0，对称轴为直线x＝1，
∴函数图象开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＜0时，y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
7．在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图．
x … ﹣4 ﹣2 0 2 4 …
… …
（1）补充表格中的y值；
（2）在坐标系中画出图象．
【分析】（1）分别将x的值代入函数解析式，求出对应的y的值即可；
（2）利用描点，连线即可画出图象．
【解答】解：（1）当；
当；
当；
当；
当；
（2）将（1）中的每对x，y的对应值在平面直角坐标系中描出，再连线即可得到函数图象，如图：
8．已知函数y＝﹣x2﹣3x+1．
（1）该函数图象的开口方向是 ；
（2）求出函数图象的对称轴和顶点坐标；
（3）当x取何值时，y随x的增大而减小？
【分析】（1）根据a＝﹣1＜0，即可判定抛物线的开口方向；
（2）根据a＝﹣1，b＝﹣3，c＝1，结合顶点坐标公式进行求解即可；
（3）根据a＜0时，二次函数的增减性进行求解即可．
【解答】解：（1）∵在函数y＝﹣x2﹣3x+1中，a＝﹣1＜0，
∴函数y＝﹣x2﹣3x+1图象的开口方向是向下；
故答案为：向下；
（2）∵a＝﹣1，b＝﹣3，c＝1，
∴，
，
∴函数图象的对称轴是，顶点坐标是；
（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣3x+1开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
1．抛物线y＝﹣（x+3）2﹣1的顶点是（ ）
A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（3，﹣1） D．（﹣3，﹣1）
【分析】二次函数的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，此时顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．直接根据二次函数图象的顶点式进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣（x+3）2﹣1，
∴其顶点坐标为：（﹣3，﹣1）．
故选：D．
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分当k＞0，b＞0时，当k＞0，b＜0时，当k＜0，b＞0时，当k＜0，b＜0时，四种情况讨论即可．
【解答】解：对于一次函数y＝kx+b和二次函数y＝b（x+k）2的图象，
①当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、三象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意；
②当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，没有选项符合题意；
③当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象过第一、二、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，选项B符合题意；
④当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象过第二、三、四象限，二次函数y＝b（x+k）2的图象开口向下，对称轴在y轴右侧，没有选项符合题意；
故选：B．
3．已知二次函数y＝x2+1的图象上有三点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1
【分析】先判断出函数的对称轴为y轴，再根据函数的对称性，x＝3和﹣3时的函数值相等，再根据x＞0时，y随x的增大而增大解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+1的对称轴为y轴，
∴x＝3和﹣3时的函数值相等，
∵a＝1＞0，
∴x＞0时，y随x的增大而增大，
∵3＞2＞1，
∴y3＞y2＞y1．
故选：D．
4．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2+x1 x2＝﹣5，其中正确的个数有（ ）
A．5个 B．1个 C．3个 D．2个
【分析】首先由对称轴得到，得到b＝2a，然后结合抛物线经过点（1，0），得到c＝﹣3a，然后由开口方向得到a＜0，得到b＜0，c＞0，可判断①；由抛物线的对称性得到（﹣3，0）和（1，0）关于对称轴对称，然后得到x＝﹣2时，y＞0，即可判断②；同理得到x＝﹣4时，y＜0，得到16a﹣4b+c＜0，然后代入b＝2a即可判断③；根据c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a可得c＝3a﹣3b判定④，联立直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c，然后根据根与系数的关系得到，，进而可判断⑤．
【解答】解：①∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过点（1，0），
∴b＝2a，c＝﹣3a
∵a＜0，
∴b＜0，c＞0，
∴ab＞0且c＞0，故①错误，
②∵抛物线对称轴x＝﹣1，经过（1，0），
∴x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，故②正确，
③∵抛物线与x轴交于（﹣3，0），
∴x＝﹣4时，y＜0，
∴16a﹣4b+c＜0，
∵b＝2a，
∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误，
④∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a，
∴c＝3a﹣3b，故④正确，
⑤∵方程ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0的两个根分别为x1、x2，
∴，，
∴，故⑤正确，
综上所述，正确的个数为3个．
故选：C．
5．抛物线y＝﹣3（x﹣4）2的对称轴为直线x＝ ．
【分析】根据抛物线的顶点式y＝﹣3（x﹣4）2可以直接写出它的对称轴．
【解答】解：抛物线y＝﹣3（x﹣4）2的对称轴为直线x＝4．
故答案为：4．
6．已知抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是 ．
【分析】根据二次函数的性质可得，开口向下，对称轴为x＝1，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，即可求解．
【解答】解：由题意可得：a＝﹣3＜0，开口向下，对称轴为：x＝1，
所以当x＞1时，y随x的增大而减小，
故答案为：x＞1．
7．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，完成下列任务．
（1）完成下表，并画出该函数的图象；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … ﹣5 3 …
①当x＞﹣1时，y随x的增大而 ；
②当3≤y≤4时，x的取值范围是 ．
【分析】（1）分别将x的值代入函数解析式求出y值，再描点，连线作出图象；
（2）观察图象即可得到答案．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2﹣2×（﹣3）+3＝0，
当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）2﹣2×（﹣1）+3＝4，
当x＝0时，y＝3．
描点画出函数图象如图：
故答案为：0，4，3；
（2）①当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
②当y＝3时，x＝﹣2或x＝0，当y＝4时，x＝﹣1，
当3≤y≤4时，x的取值范围为﹣2≤x≤0．
故答案为：﹣2≤x≤0．
8．已知抛物线．
（1）把该抛物线写成y＝a（x+m）2+k的形式；
（2）写出该抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（3）当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小？
（4）抛物线经过第几象限？
【分析】（1）通过配方配成顶点式即可；
（2）根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可求解；
（4）根据二次函数图象即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线，
∴；
（2）由，
∴顶点坐标，对称轴为直线x＝1，
∵，
∴开口方向向下；
（3）当x＜1时，y随x的增大而增大，
当x＞1时，y随x的增大而减小；
（4）如图，
根据图象可知，抛物线经过第一、二、三、四象限．
三、二次函数的平移
1．某抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为y＝（x﹣3）2﹣2，则原抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣1）2+1 B．y＝（x﹣5）2+1
C．y＝（x﹣1）2﹣5 D．y＝（x﹣5）2﹣5
【分析】依据题意，根据平移规律“左键右键，上加下减”即可求解．
【解答】解：由题意，A、y＝（x﹣1﹣2）2+1﹣3＝（x﹣3）2﹣2，故A正确；
B、y＝（x﹣5﹣2）2+1﹣3＝（x﹣7）2﹣2，故B错误；
C、y＝（x﹣1﹣2）2﹣5﹣3＝（x﹣3）2﹣8，故C错误；
D、y＝（x﹣5﹣2）2﹣5﹣3＝（x﹣7）2﹣8，故D错误．
故选：A．
2．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线y＝5x2，则原抛物线解析式为（ ）
A．y＝5（x+2）2+3 B．y＝5（x+2）2﹣3
C．y＝5（x﹣2）2+3 D．y＝5（x﹣2）2﹣3
【分析】根据题意求将抛物线y＝5x2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解．
【解答】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为y＝5x2，
∴y＝5x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线，
∴原抛物线的函数解析式为y＝5（x﹣2）2+3．
故选：C．
3．把二次函数y＝3（x+1）2﹣2的图象关于y轴对称，再向右平移1个单位长度后得到的图象的表达式为 ．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标规律，可得对称的函数图象，根据平移的规律，可得答案．
【解答】解：∵二次函数y＝3（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴（﹣1，﹣2）关于y轴对称坐标为（1，﹣2），
∴把（1，﹣2）再向右平移1个单位长度后的坐标为（2，﹣2），
∴再向右平移1个单位长度后得到的函数图象的顶点坐标为（2，﹣2），
∴所得函数解析式为y＝3（x﹣2）2﹣2，
故答案为：y＝3（x﹣2）2﹣2．
1．把抛物线y＝2（x﹣2）2+1先向左平移3个单位，再向下平移1个单位得到的图象解析式是（ ）
A．y＝2（x+1）2 B．y＝2（x+1）2+2
C．y＝2（x﹣5）2 D．y＝2（x﹣5）2+2
【分析】直接根据图形平移的性质即可得出结论．
【解答】解：由题意，由二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，抛物线y＝2（x﹣2）2+1向左平移3个单位，再向下平移1个单位，即可得到的图象解析式是y＝2（x﹣2+3）2+1﹣1，即y＝2（x+1）2．
故选：A．
2．将抛物线y＝2（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝2x2+4x+4，则正确的平移方式是（ ）
A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度
D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，判断即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2+5向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线的解析式为y＝2（x+1）2+2，即y＝2x2+4x+4，
故选：D．
3．将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移4个单位，那么得到抛物线的解析式为 ．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3（x﹣2）2+1向下平移4个单位，
得到的抛物线的解析式为：y＝3（x﹣2）2﹣3．
故答案为：y＝3（x﹣2）2﹣3．
四、二次函数与一元二次方程
1．若关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，则抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【分析】根据题意，得到抛物线与x轴的两个交点坐标，再根据对称性即可得到对称轴．
【解答】解：∵x2+bx+c＝0的两个实数根分别为x1＝﹣2，x2＝4，
∴抛物线y＝x2+bx+c与x轴的两个交点坐标为（﹣2，0），（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线．
故选：A．
2．如图，二次函数y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），那么关于x的一元二次方程﹣x2+mx+n＝0的解为（ ）
A．x1＝5，x2＝1 B．x1＝5，x2＝﹣1
C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x＝5
【分析】依据题意，根据函数的图象可得，二次函数y＝﹣x2+mx+n的对称轴是直线x＝2，又图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），结合对称性可得图象与x轴的另一个交点坐标为（2﹣3，0），即（﹣1，0），进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，根据函数的图象可得，二次函数y＝﹣x2+mx+n的对称轴是直线x＝2，
又图象与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（2﹣3，0），即（﹣1，0）．
∴关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣n＝0的解为x1＝5，x2＝﹣1．
故选：B．
3．下表是一组二次函数y＝x2+2x﹣4的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y ﹣1 ﹣0.59 ﹣0.16 0.29 0.76
那么方程x2+2x﹣4＝0的一个近似根是（精确到0.1）（ ）
A．1.1 B．1.2 C．1.3 D．1.4
【分析】理解二次函数y＝x2+2x﹣4与x的交点横坐标就是方程x2+2x﹣4＝0根，从而在交点左右两侧取得的自变量x值代入函数求得y异号，即可得到近似根的范围，结合选项即可得到答案．
【解答】解：y＝x2+2x﹣4，
由表可知，当x＝1.2时，y＝﹣0.16＜0；
当x＝1.3时，y＝0.29＞0；
∴方程x2+2x﹣4＝0的一个近似根1.2＜x＜1.3，
∵0.16，0.29两个数中，0.16更接近于0，
∴方程x2+2x﹣4＝0的一个近似根是1.2，
故选：B．
1．抛物线y＝ax2﹣4ax+c与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（3，0） B．（﹣1，0） C．（2，0） D．（4，0）
【分析】把点（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+c得，c＝3a，于是解析式变为：y＝ax2﹣4ax+3a，令ax2﹣4ax+3a＝0，由于a≠0，于是x2﹣4x+3＝0，解方程即可．
【解答】解：把点（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+c得，c＝3a，
∴解析式变为：y＝ax2﹣4ax+3a，
令ax2﹣4ax+3a＝0，由于a≠0，于是x2﹣4x+3＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
故选：A．
2．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，可知方程ax2+bx+c＝0的一个根为x＝5，则方程的另一个根为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝2
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），从而可确定方程ax2+bx+c＝0的另一个根．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝5，
即方程的另一个根为﹣1．
故选：A．
3．下表示用计算器探索函数y＝x2+5x﹣3时所得的数值：
x 0 0.25 0.5 0.75 1
y ﹣3 ﹣1.69 ﹣0.25 1.31 3
则方程x2+5x﹣3＝0的一个解x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜0.25 B．0.25＜x＜0.5
C．0.5＜x＜0.75 D．0.75＜x＜1
【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+5x﹣3中a＝1＞0，
∴抛物线开口方向向上，
∵对称轴x＝﹣＝﹣，
∴x＞﹣时y随x的增大而增大，
∵当x＝0.5时，y＝﹣0.25＜0，当x＝0.75时，y＝1.31＞0，
∴方程x2+5x﹣3＝0的一个正根：0.5＜x＜0.75，
故选：C．
五、二次函数的应用
1．巴黎奥运会上，一个运动员踢足球．若球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为，则足球在飞行过程中的最大高度为（ ）
A．6m B．8m C．10m D．12m
【分析】把函数表达式化为二次函数顶点式，开口向下，即可求出足球在飞行过程中的最大高度．
【解答】解：，
∵﹣＜0，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴当x＝20时，y有最大值为8．
则足球在飞行过程中的最大高度为8m．
故选：B．
2．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，建立如图所示的平面直角坐标系，使抛物线的顶点A落在x轴上，桥洞底部左边端点B落在y轴上，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是 米．
【分析】根据题意可得抛物线的顶点A的坐标为（5，0），B点坐标为（0，﹣4），设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣5）2，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把x＝6代入求出y的值，进而即可求解．
【解答】解：抛物线形的拱形桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，
∴顶点A的坐标为（5，0），B点坐标为（0，﹣4），
设抛物线的函数解析式为y＝a（x﹣5）2，把点B坐标代入得：
﹣4＝a（0﹣5）2，
解得，
∴抛物线的函数解析式为，
当x＝6时，，
∴桥洞离水面的高是（米），
故答案为：3.84．
3．如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【分析】（1）先求出点A，点B，点P的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式进行求解即可；
（2）求出当y＝5时x的值，然后计算出两个对应的x的值之间的差的绝对值即可得到答案．
【解答】解：（1）由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣10）2+6，
把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，
解得，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为；
（2）此船不能通过，理由：
当y＝2+3＝5时，，
解得x＝5或x＝15，
∵15﹣5＝10＜12，
∴此船不能通过桥洞．
4．掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处A距离地面的高度AO是2m，实心球的落地点为C处，以O为原点，OC所在直线为x轴，AO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3m时，达到最大高度3m的B处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4m，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？
【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（3，3），用顶点式设出抛物线解析式，把点A（0，2）代入可得抛物线二次项的系数，即可求得抛物线的解析式；
（2）实心球出手处至球落地处的水平距离为OC的长，让y＝0，求出点C的坐标即可求得OC的长，与8.4比较即可判断小鹏此次投掷的成绩能否上80分．
【解答】解：（1）由题意得：点B（3，3）为抛物线的顶点坐标．
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3．
∵抛物线经过点A（0，2），
∴9a+3＝2．
解得：a＝﹣．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+3；
（2）当y＝0时，﹣（x﹣3）2+3＝0．
∴（x﹣3）2＝27．
∴x﹣3＝±3．
∴x1＝3+3，x2＝3﹣3（不合题意，舍去）．
∴点C的坐标为：（3+3，0）．
∴OC＝3+3．
∵3+3＜8.4，
∴小鹏此次投掷的成绩不会上80分．
1．某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣5t2，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了（ ）m．
A．6 B．45 C．35 D．25
【分析】汽车从刹车后到停下来时所行进的距离最远，即S最大，据此把解析式化为顶点式即可得到答案．
【解答】解：将二次函数的一般式化为顶点式可得：
s＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∴遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了45m．
故选：B．
2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．若水面再上升1.5m，则水面的宽度为 m．
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决．
【解答】解：如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣0.5时，﹣x2＝﹣0.5，
解得x＝±1，
此时水面的宽度为2m，
故答案为：2．
3．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似地看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线x＝10．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），其图象如图②所示．已知坡地OB所在直线经过点（10，1）．
（1）C的值为 ；
（2）若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度．
【分析】（1）把点（0，1）代入y＝ax2+bx+c即可；
（2）先求出抛物线与直线OB的解析式，再设抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交OB于点Q，则，求出PQ的长度，再用函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为y＝ax2+bx+c（a≠0），已知坡地OB所在直线经过点（10，1）．把点（0，1）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝1，
故答案为：1；
（2）设抛物线的解析式为，将点（0，1）代入得：
k＝6，
∴抛物线的解析式为，
即，
∵坡地OB经过点（10，1），
∴OB的解析式为，
如图，
设抛物线上一点，过点P作PQ⊥x轴交OB于点Q，
则，PQ的长为，
∵，
∴函数图象开口向下，d有最大值，最大值为5.05，
∴水柱与坡面之间的最大铅直高度为5.05米．
4．护林员在一个斜坡上的点A处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地AB进行浇灌，OA＝10m，点A处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形．已知水柱在距出水口A的水平距离为6m时，达到距离地面OB的竖直高度的最大值为13m．设喷出的水柱距出水口的水平距离为x（m），距地面的竖直高度为y（m），以坡底B所在的水平方向为x轴，A处所在的竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，原点为O，如图所示．经过测量，可知斜坡AB的函数表达式近似为．
（1）求图中水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）若该装置浇灌的最远点C离地面的竖直高度为1m，求此时喷到C处的水柱距出水口的水平距离．
（3）给该浇灌装置安装一个支架，可调节浇灌装置的高度，则水柱恰好可以覆盖整个坡地AB时，安装的支架的高度为多少米？
【分析】（1）由题意可得A（0，10），抛物线的顶点坐标为（6，13），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+13，再利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）把y＝1代入或，再求解即可；
（3）设安装的支架高度为h米，即抛物线向上平移h个单位长度．可得平移后的抛物线表达式为．求解B（20，0）．将B（20，0）代入，再进一步求解即可．
【解答】解：（1）由题意，可知A（0，10），抛物线的顶点坐标为（6，13），
∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+13．
把A（0，10）代入，得36a+13＝10，解得．
∴水柱所在抛物线的函数表达式为．
（2）对于直线AB：，
当y＝1时，，解得x＝18．
∴喷到C处的水柱距出水口的水平距离为18m．
解法二：将y＝1代入，
可得，解得x＝18或x＝﹣6（舍去）．
∴喷到C处的水柱距出水口的水平距离为18m．
（3）设安装的支架高度为h米，即抛物线向上平移h个单位长度．
∴平移后的抛物线表达式为．
对于，当y＝0时，，
解得x＝20．
∴B（20，0）．
将B（20，0）代入，
得，
解得．
∴水柱恰好可以覆盖整个坡地AB时，安装的支架的高度为米．
六、二次函数的综合题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0），点B（4，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点D为抛物线的对称轴上一动点，当△ACD周长最小时，求点D的坐标及周长的最小值．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC交对称轴于点D，连接AD，此时AD+CD最小，得出直线BC的解析式为，当时，，得出，进而根据勾股定理求得AC，BC的长，即可求得△ACD周长．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于点A（﹣1，0），点B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）∵点A（﹣1，0），点B（4，0），
∴对称轴为直线，
点A关于对称轴的对称点为点B，连接BC交对称轴于点D，连接AD，此时AD+CD最小，
在y＝ax2+bx+2中，当x＝0时，y＝2，
∴点C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+2，
把B（4，0）代入y＝kx+2得4k+2＝0，
∴，
∴直线BC的解析式为，
当时，，
∴点，
∵点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，2），
∴，
∴△ACD周长最小值为．
2．已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积的最大值及此时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请求出点N的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数表达式，进而可求出点A坐标；
（2）连接AD、CD，求出直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，过点D作x轴的垂线，交AC于点G，得，可知当DG取最大值时，△ACD的面积最大，设D（m，m2+2m﹣3），则G（m，﹣m﹣3），可得﹣3＜m＜0，DG＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，即得，最后利用二次函数的性质解答即可求解；
（3）先求出OB的长及二次函数的对称轴，再分OB为平行四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质解答即可求解．
【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0）；
（2）连接AD、CD，
设直线AC的表达式为y＝kx+n，把A（﹣3，0）、C（0，﹣3）代入得：
，
解得，
∴直线AC的表达式为y＝﹣x﹣3，
过点D作x轴的垂线，交AC于点G，
则，
∴当DG取最大值时，△ACD的面积最大，
设D（m，m2+2m﹣3），则G（m，﹣m﹣3），
∵点D位于第三象限，
∴﹣3＜m＜0，DG＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴，
∴当时，△ACD的面积最大，最大值为，
此时，点D的坐标为；
（3）在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
∵B（1，0），
∴OB＝1，
由y＝x2+2x﹣3得，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形，
当OB为平行四边形的边时，MN＝OB＝1，
设点N的横坐标为t，
∵MN∥x轴，
∴|t﹣（﹣1）|＝1，
解得t＝0或t＝﹣2，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）；
当OB为平行四边形的对角线时，
则，
解得t＝2，
∴点N的坐标为（2，5）；
综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．
3．定义：函数图象G上的点P（x，y）的纵坐标y与横坐标x的差y﹣x叫做点P的“双减差”，图象G上所有点的“双减差”中最小值称为函数图象G的“幸福值”如：抛物线y＝x2上有点P（4，16），则点P的“双减差”为12；而抛物线y＝x2上所有点的“双减差”，即该抛物线的“幸福值”为．根据定义，解答下列问题：
（1）已知函数图象上点P的横坐标x＝1，求点P的“双减差”y﹣x的值；
（2）若直线y＝kx+11（﹣1≤x≤2）的“幸福值”为k2（k＞1），求k的值；
（3）设抛物线y＝x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y＝﹣x+9，当时，抛物线y＝x2+bx+c的“幸福值”是5，求该抛物线的解析式．
【分析】（1）根据题目对于“双减差”的定义即可代数求解．
（2）根据题目对于“幸福值”的定义即可求解．
（3）此时根据给出的抛物线顶点在直线上的条件可得到顶点坐标，进而可根据“幸福值”的定义进行求解m的值，此时需注意m有取值范围，排除不符合题意的即可得到抛物线方程．
【解答】解：（1）当x＝1时，y＝4，
∴y﹣x＝3，
即点P的“双减差”为3．
（2）y＝kx+11可得：y﹣x＝（k﹣1）x+11，
令W＝y﹣x，则W＝（k﹣1）x+11，
∵k＞1，
∴W随x的增大而增大，
∵﹣1≤x≤2，
∴x＝﹣1时，W取最小值﹣（k﹣1）+11，
∴k2＝﹣（k﹣1）+11，
∴k＝3或k＝﹣4，
∵k＞1，
∴k＝3．
（3）∵抛物线y＝x2+bx+c顶点的横坐标为m，且该抛物线的顶点在直线y＝﹣x+9上，
∴顶点坐标为（m，﹣m+9），
∴抛物线为y＝（x﹣m）2﹣m+9＝x2﹣2mx+m2﹣m+9，
令w＝y﹣x＝x2﹣（2m+1）x+m2﹣m+9，对称轴是直线，
∵，
∴，
当时，即m＞5，不合题意舍去；
当，即，
此时当x＝2m﹣1，w取最小值5，
∴（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）+m2﹣m+9＝5，
解得m＝2或m＝3，
∵，
∴m＝2，
∴y＝x2﹣4x+11．
当，即，
此时当，w取最小值5，
∴，
解得，与矛盾，舍去．
综上所述，该抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+11．
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），作直线AC，点P是抛物线在直线AC上方的一点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线AC于点D．设PD长为h，点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求h与m之间的函数关系式．
（3）当时，直接写出m的值．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得直线AC的解析式，用m表示出P（m，﹣m2﹣2m+3），D（m，m+3），利用h＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）求解即可；
（3）先求得B（1，0），利用，列得一元二次方程，解之取其负值即可求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），把点A，点C坐标代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）设直线AC的解析式为y＝kx+3，把A（﹣3，0），C（0，3）代入得：
∴0＝﹣3k+3，
解得k＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∵点P的横坐标为m，
∴P（m，﹣m2﹣2m+3），D（m，m+3），
∴h＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m；
（3）令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴B（1，0），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∵，
∴﹣m2﹣3m＝2，
整理得m2+3m﹣2＝0，
解得m＝或（不合题意，舍去），
∴m的值为．
2．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的动点，且满足S△PAO＝6，求出P点的坐标；
（3）连接BC，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标．
【分析】（1）根据待定系数法直接将A（﹣3，0），B（1，0）两点待入y＝ax2+bx+3求解即可；
（2）设点P（x，﹣x2﹣2x+3），根据S△PAO＝6可得﹣x2﹣2x+3＝4或﹣x2﹣2x+3＝﹣4，解一元二次方程即可求解；
（3）根据平行四边形的性质分别讨论若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形时，若BC为边，且四边形BCEF是平行四边形时，若BC为对角线，则四边形BECF是平行四边形时三种情况即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为∵y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵点P是抛物线上的动点，
∴设点P（x，﹣x2﹣2x+3），
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵S△PAO＝6，
∴，
∴﹣x2﹣2x+3＝4或﹣x2﹣2x+3＝﹣4，
对于方程﹣x2﹣2x+3＝4，
解得x1＝x2＝﹣1，
∴P点的坐标为（﹣1，4）；
对于方程﹣x2﹣2x+3＝﹣4，
解得，
∴P点的坐标为或，
综上所述，P点的坐标为或或（﹣1，4）；
（3）若BC为边，且四边形BCFE是平行四边形，
∴CF∥BE，
∴点F与点C纵坐标相等，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝﹣2，x2＝0，
∴点F（﹣2，3），
若BC为边，且四边形BCEF是平行四边形，
∴BE与CF互相平分，
∵BE中点纵坐标为0，且点C纵坐标为3，
∴点F的纵坐标为﹣3，
∴﹣3＝﹣x2﹣2x+3，
∴，
∴点或；
若BC为对角线，则四边形BECF是平行四边形，
∴BC与EF互相平分，
∵BC中点纵坐标为，且点E的纵坐标为0，
∴点F的纵坐标为3，
∴点F（﹣2，3），
综上所述，点F坐标（﹣2，3）或或．
3．定义：对于二次函数y＝ax2+bx+c，当自变量x满足p≤x≤q时，函数值y的取值范围也为p≤y≤q，则称二次函数y＝ax2+bx+c是p≤x≤q上的“等域函数”．
已知抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B．
（1）若b＝﹣2，且抛物线经过点（1，0），（0，1）．
①求a，c的值；
②若y＝ax2+bx+c是0≤x≤t（t＞2）上的“等域函数”，求t的值；
（2）在a＜b＜c的情况下，记点B的横坐标为xB，经过点B的直线y＝﹣ax+m与抛物线交于点C（xC，yC）．若，是否存在二次函数y＝ax2+bx+c是xB≤x≤xC或xC≤x≤xB上的“等域函数”的情形？若存在，求出抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①利用待定系数法求解即可；
②在0≤x≤t上，当x＝t时，函数取得最大值（t﹣1）2，由题意得（t﹣1）2＝t，据此求解即可；
（2）根据题意求得|xB﹣xC|＝3，分①当xB＞xC时，②当xB＜xC时，两种情况讨论，得到不存在二次函数y＝ax2+bx+c是xB≤x≤xC，或xC≤x≤xB上的“等域函数”的情形．
【解答】解：（1）①当b＝﹣2时，
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），（0，1），
∴，
解得；
②∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∵t＞2，
∴（t﹣1）2＞1，
∴在0≤x≤t上，当x＝t时，函数取得最大值（t﹣1）2；
当x＝1时，函数取得最小值0；
若y＝（x﹣1）2是0≤x≤t的“等域函数”，
∴（t﹣1）2＝t，
解得或（舍去），
∴；
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A，过点A作轴的平行线，交抛物线于点B，
∴点B的坐标为，
∵点B在直线y＝﹣ax+m上，
∴b+m＝c，
即m＝c﹣b，
∴y＝﹣ax+c﹣b，
∵经过点B的直线y＝﹣ax+c﹣b与抛物线交于点C，B，
联立，
∴ax2+bx+c＝﹣ax+c﹣b，
即ax2+（a+b）x+b＝0，
∴（ax+b）（x+1）＝0，
∴，xC＝﹣1，
∵直线y＝﹣ax+c﹣b与y轴交点的纵坐标为c﹣b，其中b＜c，
∴S△BOC＝，
又∵S△BOC＝，
∴，
∴|xB﹣xC|＝3，
当xB＞xC时，则xB﹣xC＝3，
解得xB＝2，即b＝﹣2a，
∵a＜b，
∴a＜0，此时函数解析式为y＝ax2﹣2ax+c，
∵函数在﹣1≤x≤1上随x的增大而增大，在1≤x≤2上随x的增大而减少，
∴当x＝﹣1时，ymin＝a+2a+c＝﹣1，
当x＝1时，ymax＝a﹣2a+c＝2，
解得，，，不满足a＜b＜c，
∴y＝ax2﹣2ax+c不是在﹣1≤x≤2上的“等域函数”；
②当xB＜xC时，则xB﹣xC＝﹣3，
解得xB＝﹣4，即b＝4a，
∵a＜b，
∴a＞0，此时函数解析式为y＝ax2+4ax+c，
∵函数在﹣4≤x≤﹣2上随x的增大而减少，在﹣2≤x≤﹣1上随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2时，ymin＝4a﹣8a+c＝﹣4，
当x＝﹣4时，ymax＝16a﹣16a+c＝﹣1，
解得，b＝3，c＝﹣1，不满足a＜b＜c，
∴y＝ax2﹣2ax+c不是在﹣4≤x≤﹣1上的“等域函数”；
综上，不存在二次函数y＝ax2+bx+c是xB≤x≤xC或xC≤x≤xB上的“等域函数”的情形．
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