华师大版九年级上册相似三角形的性质
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文档简介
(共31张PPT)
华师大版九年级上
学习目标
1、在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比等性质.
2、通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的问题.
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.
（2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；
③三边对应成比例.
A
B
C
A/
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢
课前复习:
（3）相似三角形有何特征？
一个三角形有三条重要线段：
________________
如果两个三角形相似，
那么这些对应线段有什么关系呢？
情境引入
高、中线、角平分线
A
C
B
A′
B′
C′
∽
（1）
A
C
B
A′
B′
C′
∽
（2）
A
C
B
A′
B′
C′
∽
（3）
探索新知
两角对应相等,两三角形相似
∽
∽
已知
所以∠B=∠B′（ ）
相似三角形的对应角相等
∽
（ ）
相似三角形的性质
探索新知
∽
所以
(相似三角形的对应边成比例)
∽
∽
相似三角形的性质
结论：相似三角形对应高的比等于相似比.
类似结论
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
∽
自主思考---
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.
A′
C′
B′
C
B
A
E′
E
∽
类似结论
自主思考---
结论：相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
相似三角形的性质
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为_________,对应角的角平分线的比为______.
2∶ 3
2 ∶ 3
2．两个相似三角形的相似比为0.25, 则对应高的比为_________,对应角的角平分线的比为_________.
0.25
0.25
3．两个相似三角形对应中线的比为 ，
则相似比为______,对应高的比为______ .
问题： 两个相似三角形的周长比
会等于相似比吗？
相似三角形的性质
图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似吗？
(1)
(2)
(3)
1
2
3
用心观察
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的周长比=______
(2)与(3)的相似比=______,
(2)与(3)的周长比=______
1∶ 2
结论： 相似三角形的周长比等于______．
相似比
（都相似）
2∶ 3
1∶ 2
2∶ 3
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积
之间有什么关系呢？
相似三角形的性质
用心观察
1
2
3
1∶ 2
当相似比＝k时，面积比＝k2．
（1）
（2）
（3）
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的面积比=______
(2)与(3)的相似比=______,
(2)与(3)的面积比=______
1∶ 4
2∶ 3
4∶ 9
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
面积的比等于相似比的平方
相似三角形的性质
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于______.
2.相似三角形对应边的比为0.4,
那么相似比为_______,
对应角的角平分线的比为______,
周长的比为_________,
面积的比为_________.
3∶5
0.4
当堂训练
0.4
0.4
0.16
当堂训练
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍。
（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍。
3，两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是________________。（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是______________。
25
10
100cm、40cm
50cm2、40cm2
3.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2 ，这两个三角形相似吗
如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
2 : 1
解：相似．
因为相似比是
所以面积比是
4 : 1
当堂训练
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比.
A
B
C
D
E
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
1∶4
例1、如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
例题赏析
例2、如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
则(1) AEF与 CDF的相似比为______.
(2)若 AEF的面积为5 cm2，
则 CDF的面积为______.
B
F
E
D
C
A
例题赏析
1 : 2
20 cm2
例3：已知△ABC∽ △A B C ，BD和B D 分别是△ABC和△A B C 中线，且AB＝10，A B ＝2，BD＝6。求B D 的长。
解：∵ △ABC∽△A B C
∴
＝
＝
B D ＝1.2
答：B D 的长为1.2。
AB
A B
BD
B D
10
2
6
B D
A
B
C
D
A
B
C
D
例4：已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长。
解：∵ △ABC∽△DEF
∴ BC∶EF＝BG∶EH
6∶4＝4.8∶EH
EH＝3.2(cm)
答：EH的长为3.2cm。
A
G
B
C
D
E
F
H
例5：如图，△ABC∽△A'B'C'，它们的周长分别是60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。
C'
B'
A'
C
B
A
解：因为△ABC~△A'B'C' △ABC~△A'B'C
所以
?
?
?
=
=
?
AB
BC
A'B'
B'C'
60
72
又 AB=15厘米 B'C'=24厘米
所以 A'B'=18厘米 BC=20厘米
故 AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）
1、相似三角形对应边成____,对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于________.
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
课堂小结
相似比的平方
相似三角形的性质
相似多边形也有同样的结论
1、已知两个等边三角形的边长之比为 2 ：3，且它们的面积之和为26cm2，则较小的等边三角形的面积为多少？
拓展训练
拓展训练
2、平行四边形ABCD与平行四边形 相似，
已知AB＝5，对应边 ＝6，平行四边形
ABCD的面积为10，求平行四边形
的面积.
华师大版九年级上
学习目标
1、在理解相似三角形特征的基础上，掌握相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长、面积的比等性质.
2、通过实践体会相似三角形的性质，会用性质解决相关的问题.
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.
（2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等；
②两边对应成比例，且夹角相等；
③三边对应成比例.
A
B
C
A/
B/
C/
①相似三角形的对应角_____________
②相似三角形的对应边______________
想一想: 它们还有哪些性质呢
课前复习:
（3）相似三角形有何特征？
一个三角形有三条重要线段：
________________
如果两个三角形相似，
那么这些对应线段有什么关系呢？
情境引入
高、中线、角平分线
A
C
B
A′
B′
C′
∽
（1）
A
C
B
A′
B′
C′
∽
（2）
A
C
B
A′
B′
C′
∽
（3）
探索新知
两角对应相等,两三角形相似
∽
∽
已知
所以∠B=∠B′（ ）
相似三角形的对应角相等
∽
（ ）
相似三角形的性质
探索新知
∽
所以
(相似三角形的对应边成比例)
∽
∽
相似三角形的性质
结论：相似三角形对应高的比等于相似比.
类似结论
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
∽
自主思考---
结论：相似三角形对应中线的比等于相似比.
A′
C′
B′
C
B
A
E′
E
∽
类似结论
自主思考---
结论：相似三角形对应角的角平分线的比等于相似比.
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
相似三角形的性质
填一填
1.相似三角形对应边的比为2∶3,那么相似比为_________,对应角的角平分线的比为______.
2∶ 3
2 ∶ 3
2．两个相似三角形的相似比为0.25, 则对应高的比为_________,对应角的角平分线的比为_________.
0.25
0.25
3．两个相似三角形对应中线的比为 ，
则相似比为______,对应高的比为______ .
问题： 两个相似三角形的周长比
会等于相似比吗？
相似三角形的性质
图中(1)(2)(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似吗？
(1)
(2)
(3)
1
2
3
用心观察
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的周长比=______
(2)与(3)的相似比=______,
(2)与(3)的周长比=______
1∶ 2
结论： 相似三角形的周长比等于______．
相似比
（都相似）
2∶ 3
1∶ 2
2∶ 3
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
相似三角形的性质
问题:两个相似三角形的面积
之间有什么关系呢？
相似三角形的性质
用心观察
1
2
3
1∶ 2
当相似比＝k时，面积比＝k2．
（1）
（2）
（3）
(1)与(2)的相似比=______,
(1)与(2)的面积比=______
(2)与(3)的相似比=______,
(2)与(3)的面积比=______
1∶ 4
2∶ 3
4∶ 9
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
周长的比
相
似
三
角
形
都等于相似比.
面积的比等于相似比的平方
相似三角形的性质
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于______.
2.相似三角形对应边的比为0.4,
那么相似比为_______,
对应角的角平分线的比为______,
周长的比为_________,
面积的比为_________.
3∶5
0.4
当堂训练
0.4
0.4
0.16
当堂训练
3.把一个三角形变成和它相似的三角形，
（1）如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的__________倍。
（2）如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的__________倍。
3，两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米，（1）它们的周长差60厘米，这两个三角形的周长分别是________________。（2）它们的面积之和是58平方厘米，这两个三角形的面积分别是______________。
25
10
100cm、40cm
50cm2、40cm2
3.如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2 ，这两个三角形相似吗
如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.
2 : 1
解：相似．
因为相似比是
所以面积比是
4 : 1
当堂训练
(1)△ADE与△ABC相似吗？如果相似， 求它们的相似比.
A
B
C
D
E
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
1∶4
例1、如图，DE∥BC， DE = 1, BC = 4，
例题赏析
例2、如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
则(1) AEF与 CDF的相似比为______.
(2)若 AEF的面积为5 cm2，
则 CDF的面积为______.
B
F
E
D
C
A
例题赏析
1 : 2
20 cm2
例3：已知△ABC∽ △A B C ，BD和B D 分别是△ABC和△A B C 中线，且AB＝10，A B ＝2，BD＝6。求B D 的长。
解：∵ △ABC∽△A B C
∴
＝
＝
B D ＝1.2
答：B D 的长为1.2。
AB
A B
BD
B D
10
2
6
B D
A
B
C
D
A
B
C
D
例4：已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和 △DEF的角平分线，BC＝6cm,EF＝4cm,BG＝4.8cm.求EH的长。
解：∵ △ABC∽△DEF
∴ BC∶EF＝BG∶EH
6∶4＝4.8∶EH
EH＝3.2(cm)
答：EH的长为3.2cm。
A
G
B
C
D
E
F
H
例5：如图，△ABC∽△A'B'C'，它们的周长分别是60厘米和72厘米，且AB=15厘米，B'C'=24厘米。求：BC、AC、A'B'、A'C'。
C'
B'
A'
C
B
A
解：因为△ABC~△A'B'C' △ABC~△A'B'C
所以
?
?
?
=
=
?
AB
BC
A'B'
B'C'
60
72
又 AB=15厘米 B'C'=24厘米
所以 A'B'=18厘米 BC=20厘米
故 AC=60–15–20=25（厘米）A'C'=72–18–24=30（厘米）
1、相似三角形对应边成____,对应角______.
2、相似三角形对应边上的高、对应边上的中线、
对应角平分线的比都等于________.
3、相似三角形周长的比等于________，
相似三角形面积的比等于______________.
课堂小结
相似比的平方
相似三角形的性质
相似多边形也有同样的结论
1、已知两个等边三角形的边长之比为 2 ：3，且它们的面积之和为26cm2，则较小的等边三角形的面积为多少？
拓展训练
拓展训练
2、平行四边形ABCD与平行四边形 相似，
已知AB＝5，对应边 ＝6，平行四边形
ABCD的面积为10，求平行四边形
的面积.