(共35张PPT)
第26章 反比例函数
26.2 实际问题与反比例函数
1. 反比例函数实际问题的特点
实际问题中存在三个数量：两个变量和一个常量，且两
个变量的乘积恰好等于常量时，则可建立反比例函数模
型解决问题.
常见的与实际相关的反比例关系：
（1）面积一定时，矩形的长与 （三角形的一边
长与这条边上的 ）成反比例；
（2）体积一定时，柱（锥）体的 与高成反
比例；
宽
高
底面积
（3）工作总量一定时，工作效率与 成反
比例；
（4）总价一定时，单价与商品的件数成反比例；
（5） 一定时，平均速度与所用时间成反比例.
工作时间
路程
2. 解决反比例函数实际问题的步骤
（1）在审题的基础上，设出所求的函数关系式；
（2）从题中寻找一对变量的值，把它作为点的坐标，
代入所设的函数关系式，求出常量；
（3）写出所求的函数关系式，并注意自变量的取值
范围.
3. 解决反比例函数实际问题的关键
建立数学模型，列出符合题意的反比例函数关系式，然
后根据函数的性质，结合方程（组）、不等式（组）及
图象信息求解.
4. 物理学中常见的反比例函数关系
（1）当压力F一定时，压强p与物体的受力面积S成反
比例函数关系，可写成 ；
（2）当蓄电池的电压U为定值时，电流I与电阻R成反
比例函数关系，可写成 ；
（3）当物体的质量m一定时，密度ρ与体积V成反比例
函数关系，可写成 .
p＝
I＝
ρ＝
题型一 利用反比例函数解决实际问题
验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜
片焦距x（m）的对应数据如表：
镜片焦距x（m） 1.00 0.50 0.25 0.20 0.10
近视眼镜的 度数y（度） 100 200 400 500 1 000
（1）请写出适当的函数表达式描述近视眼镜的度数y与
镜片焦距x的关系；
（2）小高同学通过科学的视力矫正和良好的用眼习
惯，有效抑制近视度数增长.一年来他的近视眼镜的度
数从原来的150度变化到现在的175度，则他所佩戴眼镜
的镜片焦距增加还是减少了？增加或减少多少？
[分析] （1）根据表格中两个变量的对应值，探索两个
变量的乘积，进而得出两个变量的函数关系式；（2）
分别求出当y＝150和y＝175时对应的x的值，由此可解
答此题.
解：（1）由表格中两个变量的对应值可得，
100×1.00＝200×0.50＝400×0.25＝500×0.20＝
1 000×0.10＝100，
∴y与x成反比例函数关系.
∴y与x的函数关系式为y＝ .
（2）当y＝150时，x＝ ＝ ；
当y＝175时，x＝ ＝ .
∵ － ＝ （m），
∴他所佩戴眼镜的镜片焦距减少了，减少了 m.
1. 某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销
售时售货员发现坚果的日销售量和每斤的利润正好成反
比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销售量为80
斤，那么该坚果的日销售量y（斤）与每斤价格x
（元）之间的函数表达式为 .
y＝ （x＞30）
2. 用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的
残留量近似地满足反比例函数关系.寄宿生小红、小敏
晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗
时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水
（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗
后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣
服中残留的洗衣粉还有2克.
（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留
量y与漂洗次数x的函数关系式；
解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗
次数的函数关系式分别为y1＝ ，y2＝ ，
将和分别代入两个关系式，得
1.5＝ ，2＝ ，解得k1＝1.5，k2＝2.
∴小红衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式
是y1＝ ，小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的
函数关系式是y2＝ .
（2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗
干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法更
值得提倡？为什么？
解：（2）把y＝0.5分别代入两个函数，得
＝0.5， ＝0.5，解得x1＝3，x2＝4，
10×3＝30（升），5×4＝20（升）.
∵30＞20，∴小敏的漂洗方法更值得提倡.
答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的漂洗方
法更值得提倡.
题型二 反比例函数图象在实际生活中的应用
某校对教室采用药薰法进行灭蚊.根据药品使用说
明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量y（mg）
与药物点燃后的时间x（min） 成正比例关系，药物燃
尽后，y与x成反比例关系（如图）.已知药物点燃8
min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6 mg.
（1）分别求药物燃烧时和药物燃尽后，y与x之间函数
的表达式；
解：（1）设药物燃烧时，y关于x的函
数表达式是y＝kx（k≠0），
将点（8，6）代入，得k＝ ，
∴药物燃烧时，y关于x的函数表达式是
y＝ x，
其中0≤x≤8；
设药物燃尽后，y关于x的函数表达式是y＝ ，
把点（8，6）代入，得m＝48，
∴药物燃尽后，y关于x的函数表达式是y＝ ，
其中x＞8.
（2）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药
量低于1.6 mg时，对人体是安全的，那么从开始药薰，
至少需要经过多长时间后，学生才能进教室？
解：（2）当x＞8，y＝1.6时，代入
y＝ ，得x＝30.
答：至少需要经过 30 min后，学生才能
进教室.
（3）根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药
量不低于3 mg且持续时间不低于10 min时，才能有效杀
灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
解：（3）此次灭蚊有效.理由如下：
将y＝3分别代入y＝ x，y＝ ，
得x＝4和x＝16，
则持续时间是16－4＝12（min）＞10 min，
∴此次灭蚊有效.
3. 为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂开始限产并进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（ C ）
A. 4月份的利润为50万元
B. 治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C. 治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元
D. 9月份该厂利润达到200万元
（第3题）
C
4. 教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10 ℃，待加热到100 ℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降.水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温均为20 ℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）之间的关系如图所示，回答下列问题：
（第4题）
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的
函数关系式；
解：（1）当0≤x≤8时，
设y＝k1x＋b，
将（0，20），（8，100）分别代
入y＝k1x＋b，
得解得
（第4题）
∴当0≤x≤8时，y＝10x＋20.
当8＜x≤a时，设y＝ ，
将（8，100）代入y＝ ，得k2＝800.
∴当8＜x≤a时，y＝ .
综上，当0≤x≤8时，y＝10x＋20；
当8＜x≤a时，y＝ .
（2）求出图中a的值；
解：（2）将y＝20代入y＝ ，
解得x＝40，即a＝40.
（第4题）
解：（3）将y＝40代入y＝10x＋20，得x＝2；
将y＝40代入y＝ ，得x＝20.
∴要想喝到不低于40 ℃的水，x
需满足2≤x≤20，
即李老师要在7：32到7：50之间接水.
（第4题）
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想
在8：10上课前喝到不低于40 ℃的水，则他需要在什么
时间段内接水？
题型三 反比例函数在物理中的应用
如图，取一根长1 m的质地均匀的木杆，用细绳绑
在木杆的中点O处并将其吊起来，在中点的左侧距离中
点30 cm处挂一个重9.8 N的物体，在中点O右侧用一个
弹簧秤向下拉，使木杆保持平衡，改变弹簧秤与中点O
的距离L（单位：cm），看弹簧秤的示数F（单位：
N，精确到0.1 N）有什么变化.小慧在做此活动时，得
到下表的数据：
L/cm 5 10 15 20 25 30 35 40
F/N 58.8 60.2 19.6 14.7 11.8 9.8 8.4 7.4
结果老师发现其中有一个数据明显有错误.
（1）你认为当L＝ cm时所对应的F数据是明显
错误的；
10
（2）在已学过的函数中选择合适的模型求出F与L的函
数关系式；
解：（2）根据杠杆原理知F·L＝30×9.8.
∴F与L的函数关系式为F＝ .
（3）若弹簧秤的最大量程是60 N，求L的取值范围.
解：（3）当F＝60 N时，由F＝ ，得L＝4.9 cm，
根据反比例函数的图象与性质可得L≥4.9 cm.
由题意可知L≤50 cm，
∴L的取值范围是4.9 cm≤L≤50 cm.
5. 如果100 N的压力F作用于物体上，产生的压强p
（Pa）要大于1 000 Pa，则下列关于物体受力面积S
（m2）的说法正确的是（ A ）
A. S小于0.1 m2 B. S大于0.1 m2
C. S小于10 m2 D. S大于10 m2
A
6. 家用电灭蚊器的发热部分使用了PTC发热材料，它
的电阻R（单位：kΩ）随温度t（单位：℃）（在一定
范围内）变化的大致图象如图所示.通电后，发热材料
的温度在由室温10 ℃上升到30 ℃的过程中，电阻与温
度成反比例函数关系，且在温度达到30 ℃时，电阻下
降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升
1 ℃，电阻增加 kΩ.
（第6题）
解：（1）当10≤t≤30时，可设R和t之
间的函数解析式为R＝ （k≠0），
将点（10，6）代入上式中，得6＝ ，
解得k＝60.
故当10≤t≤30时，函数解析式为
R＝ .
（第6题）
（1）写出当10≤t≤30时，R和t之间的函数解析式；
（2）求温度在30 ℃时，电阻R的值，并求出当t≥30
时，R和t之间的函数解析式；
解：（2）将t＝30代入R＝ 中，
得R＝ ＝2（kΩ）.
∴温度在30 ℃时，电阻R的值为2 kΩ.
由题意知，当t≥30时，
R＝2＋ （t－30）＝ t－6.
（第6题）
（3）家用电灭蚊器在使用过程中，温度在什么范围内
时，发热材料的电阻不超过6 kΩ？
解：（3）把R＝6代入R＝ t－6中，得
t＝45.
∴温度在10 ℃～45 ℃时，发热材料的电
阻不超过6 kΩ.
（第6题）(共25张PPT)
第26章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时 反比例函数的图象和性质（一）
1. 反比例函数图象的画法
画反比例函数图象分三步： 、 和 .
在如图的平面直角坐标系中分别画出反比例函数y＝
、y＝－ 的图象.
列表
描点
连
线
列表：（将表中数据补充完整）
x … －8 －4 －2 －1 1 2 4 8 …
y＝ … －1 －2 －4 －8 8 4 2 1 …
y＝－ … 1 2 4 8 －8 －4 －2 －1 …
－1
－2
－4
－8
8
4
2
1
1
2
4
8
－8
－4
－2
－1
描点连线：（以表中各对对应值为坐标，画出各点，并
用平滑的曲线顺次将这些点连接起来）
注意：（1）反比例函数y＝ （k≠0）中，x的取值范
围是 ，则y的取值范围是 ，故反比例
函数图象不会与坐标轴相交.画图时，要体现出图象和
坐标轴无限接近的趋势.
（2）反比例函数图象是关于原点对称的 ，
可以先画一支，再利用对称性画出另一支.
x≠0
y≠0
双曲线
2. 反比例函数的图象和性质
函数 y＝ （k＞0） y＝ （k＜0）
大致 图象
所在 象限 分别位于第
象限 分别位于第 象限
增减
性 在每一个象限内，y
随x的增大而
在每一个象限内，y随x的增大而
一、
三
二、四
减小
增大
[温馨提示] 反比例函数图象既是中心对称图形，又
是 对称图形，其对称中心是 ，对称轴是
直线 ，且随着 的不断增大（或减
小），反比例函数的图象（双曲线）越来越接近于坐标
轴，但与坐标轴永不相交.
轴
原点
y＝x和y＝－x
题型一 反比例函数图象上的点的坐标特征
（1）已知反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点
（3，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（ C ）
A. B. （2，5）
C. （4，3） D. （2，－3）
C
（2）已知两点A（3，n），B（n－4，n＋3）均在反
比例函数y＝ 的图象上，则k的值等于 .
[分析] （2）由点A，B的坐标，利用反比例函数图象上
点的坐标特征可得到k＝3n＝（n－4）·（n＋3），解
得n的值即可确定k的值.
18或－6
1. 反比例函数y＝－ 的图象一定经过的点是
（ C ）
A. （1，4） B. （－1，－4）
C. （－2，2） D. （2，2）
C
2. 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝
（k≠0）的图象经过点A（1，2）和点B（－1，n），
则n的值为 .
－2
3. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B
（4，2），C（4，4）.若反比例函数y＝ 在第一象限
内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围
是 .
2≤k≤16
（第3题）
题型二 反比例函数的图象
（1）如果反比例函数y＝ （a是常数）的图象
在第一、三象限，那么a的取值范围是（ D ）
A. a＜0 B. a＞0
C. a＜2 D. a＞2
D
（2）一次函数y＝ax－a与反比例函数y＝ （a≠0）
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ D ）
A B
D
C D
4. 反比例函数y＝ 的图象位于（ A ）
A. 第一、三象限 B. 第二、三象限
C. 第一、二象限 D. 第二、四象限
A
5. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图
所示，则反比例函数y＝ 与一次函数y＝－x＋b在同
一平面直角坐标系内的图象可能是（ B ）
（第5题）
B
A B
C D
6. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx2－k（k≠0）与y＝ 的图象可能是（ B ）
A B C D
B
7. 如图是三个反比例函数y＝ ，y＝ ，y＝
（k1≠0，k2≠0，k3≠0）在x轴上方的图象，由此观察
得到k1，k2，k3的大小关系为（ C ）
A. k1＞k2＞k3
B. k3＞k1＞k2
C. k2＞k3＞k1
D. k3＞k2＞k1
（第7题）
C
题型三 反比例函数的性质
（1）已知反比例函数y＝－ ，下列说法中错误的
是（ D ）
A. 图象经过点（1，－4）
B. 图象位于第二、四象限
C. 图象关于直线y＝x对称
D. y随x的增大而增大
D
（2）已知反比例函数y＝ 图象上有三点A（x1，
y1），B（x2，y2），C（x3，y3）且x1＞x2＞0＞x3，
则y1，y2，y3的大小关系为（ C ）
A. y1＞y2＞y3 B. y1＞y3＞y2
C. y2＞y1＞y3 D. y2＞y3＞y1
C
（3）在反比例函数y＝ 的图象上有两点A（x1，
y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m
的取值范围是（ C ）
A. m＜0 B. m＞0
C. m＜ D. m＞
C
函数y＝ 的图象可以由函数y＝ 的图象左右平
移得到.
（1）将函数y＝ 的图象向右平移4个单位长度得到函
数y＝ 的图象，则a＝ ；
－4
（2）下列关于函数y＝ 的性质：①图象关于点
（－a，0）对称；②y随x的增大而减小；③图象关于
直线y＝－x＋a对称；④y的取值范围为y≠0.其中说
法正确的是 ；（填序号）
解：（2）提示：y＝ 可以看作是由y＝ 向左平移
a（a＞0）个单位长度得到的.
①④
（3）根据（1）中a的值，写出不等式 ＞ 的解集.
解：（3）∵a＝－4，∴不等式 ＞ .
如答案图所示，在第三象限内和第一象限内， ＞
时，x＜0或x＞4.
（答案图）
8. （2024·成都石室）已知点（－1，a），（2，b），
（3，c）在反比例函数y＝ （k＞0）的图象上，则下
列判断正确的是（ A ）
A. a＜c＜b B. b＜c＜a
C. c＜b＜a D. a＜b＜c
A
9. （1）已知点A（－2，y1），B（－1，y2）均在反
比例函数y＝－ 的图象上，则y1，y2的大小关系是
；（用“＜”号连接）
（2）对于反比例函数y＝2x－1，下列说法：①点（－
2，－1）在它的图象上；②它的图象在第一、三象限；
③当x＜2时，y＞1；④当x＜0时，y随x的增大而减
小.其中正确的有 .（填序号）
y1
＜y2
①②④ (共33张PPT)
第26章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质（二）
1. 若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝ 交于两点，
则两点关于原点对称，即若一个交点坐标为（a，
b），则另一个交点坐标为 .
（－a，－b）
2. k的几何意义（一）：如下图，过反比例函数y＝
（k≠0）图象上任意一点分别向x轴、y轴作垂线段，
两条垂线段以及两坐标轴围成的矩形的面积为 .
3. k的几何意义（二）：如下图，在反比例函数y＝
（k≠0）的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和
垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 .
注意：在利用k的几何意义时，一定要注意图象所处的
象限，从而决定k的正负性.
4. 关于k的几何意义的常用模型及结论
S△ACP＝ S△ABC＝
S△AOE＝S四边形ECDB S△AOB＝S梯形AEFB
S ACBD＝2 S矩形ABCD＝ －
－
S△AOB＝
（ － ）
S△ABC＝S△AOB＝
题型一 反比例函数图象对称性的应用
（1）反比例函数y1＝ 和正比例函数y2＝mx的图
象如图1所示，根据图象可以得到满足y1＜y2的x的取值
范围是（ C ）
C
图1
A. x＞1
B. 0＜x＜1或x＜－1
C. －1＜x＜0或x＞1
D. x＞2或x＜1
（2）如图2，点P（3a，a）是反比例函数y＝ （k＞
0）与☉O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则
反比例函数的解析式为 .
图2
y＝
[分析] （1）由双曲线的中心对称性可得直线与双曲线
的交点坐标，再由反比例函数和正比例函数图象的性质
即可求出满足条件的x的取值范围；（2）根据圆的对称
性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于
圆的面积的 ，即可求得圆的半径，再根据点P在反比
例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值.
1. 若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝ 的图象交
于点（1，－2），则另一个交点的坐标为（ B ）
A. （2，1） B. （－1，2）
C. （－2，－1） D. （－2，1）
B
2. 若直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝ 的交点为
（x1，y1），（x2，y2），则2x1y2－5x2y1的值为 .
6
题型二 反比例函数系数k的几何意义
（1）若图中反比例函数的表达式均为y＝ ，请直
接写出下列各图中阴影部分的面积：
S阴影＝ S阴影＝
4
2
S阴影＝ S阴影＝
4
8
（2）如图1，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意
一点，BC∥x轴，分别交y＝ （x＞0），y＝－ （x
＜0）的图象于B，C两点.若△ABC的面积是3，则k的
值为 ；
图1
5
（3）如图2，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反
比例函数y＝ 的图象经过点C和AD的中点E. 若AB＝
2，则k的值为 .
图2
4
3. 如图， 直线y＝kx（k＞0）与双曲线y＝ 交于A，
B两点，BC⊥x轴于点C，连接AC交y轴于点D，下列
结论：①点A，B关于原点对称；②△ABC的面积为定
值；③D是AC的中点；④S△AOD＝ .其中正确结论的
个数为（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第3题）
C
4. 如图，过y＝ （x＞0）的图象上一点A，分别作x
轴、y轴的平行线交y＝－ 的图象于B，D两点，以
AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩
形，面积分别记为S1，S2，S3，S4.若S2＋S3＋S4＝ ，
则k的值为（ C ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
（第4题）
C
题型三 反比例函数与一次函数的综合问题
如图，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与反比
例函数y＝ 的图象交于A（m，1），B（－2，n）两
点.
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标
系中画出这个一次函数的图象；
解：（1）将点A（m，1），
B（－2，n）分别代入y＝ ，
得m＝ ＝4，n＝ ＝－2，
∴A（4，1），B（－2，－2），
代入y＝kx＋b，得解得
∴一次函数的表达式为y＝ x－1.
作图如图所示.
（2）观察图象，直接写出不等式kx＋b＜ 的解集；
解：（2）由图象可知，不等式kx＋b＜ 的解集为
x＜－2或0＜x＜4.
（3）设直线AB与x轴交于点C，若P（0，a）为y轴
上的一动点，连接AP，CP，当△APC的面积为 时，
求点P的坐标.
解：（3）设P（0，a）.
当点P1在y轴正半轴上时，如图.
设直线AB与y轴交于点D.
对于y＝ x－1，当x＝0时，
y＝－1；当y＝0时，x＝2，
∴C（2，0），D（0，－1），∴P1D＝a＋1，
∴ ＝ － ＝ （a＋1）×4－
（a＋1）×2＝ ，解得a＝ ，
∴P1 ；
当点P2在y轴负半轴上时，如图.
则P2D＝ ，
∴ ＝ － ＝ × ×4－
× ×2＝ ，
解得a＝－ 或a＝ （不合题意，舍去），
∴P2 .
综上，点P的坐标为 或 .
5. 如图，在平面直角坐标系中，直线y1＝k1x＋b与双
曲线y2＝ （其中k1·k2≠0）相交于A（－2，3），B
（m，－2）两点，过点B作BP∥x轴，交y轴于点P，
则△ABP的面积是 .
（第5题）
6. 一次函数y＝k1x＋b的图象与x轴交于点A（－2，
0），反比例函数y＝ 的图象与一次函数y＝k1x＋b交
于点B（2，2），C（－4，n）.
（第6题）
（1）求一次函数的表达式和反比例函数的表达式，并
在网格中作出一次函数与反比例函数的图象；
解：（1）将A（－2，0），
B（2，2）代入y＝k1x＋b，
得解得
∴一次函数的表达式为y＝ x＋1.
（第6题）
将B（2，2）代入y＝ ，得
2＝ ，解得k2＝4，
∴反比例函数的表达式为
y＝ .
画出一次函数与反比例函数
的图象如图.
（2）求△OBC的面积；
解：（2）将C（－4，n）代入
y＝ ，得n＝－1，
∴点C的坐标为（－4，－1）.
如图，连接OB，OC，
S△OBC＝S△OAC＋S△OAB＝
OA·（yB－yC）＝ ×2×（2
＋1）＝3.
（3）请结合图象，直接写出不等式k1x＋b≥ 的解集.
解：（3）x≥2或－4≤x＜0.
（第6题）(共18张PPT)
第26章 反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
1. 反比例函数的定义
定义 一般地，形如y＝ （k为常数，k≠0）的函
数，叫做反比例函数，其中x是自变量，y是函数
解析式 y＝ 或y＝kx－1或xy＝k（k≠0）
注意 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数，函数值y的取值范围也是非零实数
2. 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤
（1）设解析式→（2）代入→（3）解方程→（4）回代
[温馨提示] 反比例函数解析式的确定方法为待定系数
法，由于反比例函数y＝ （k为常数，k≠0）只有一个
待定系数，所以只需要一个条件就可以确定k.这个条件
可以是一组x，y的对应值或图象上的一个点.
题型一 反比例函数的概念
（1）下列关系式中，表示y是x的反比例函数的
有 个；
①y＝－ ；②y＝ ；③y＝x－1；④y＝ ；⑤xy＝
1；⑥ ＝2.
（2）如果函数y＝（k2－k） 是x的反比例函
数，那么k的值是 .
3
－2
[分析] （1）直接根据反比例函数的定义判断即可，注
意变形；（2）由反比例函数的定义，知k2＋k－3＝－
1，且k2－k≠0.
[思维点拨] 反比例函数的三种形式是判断一个函数是否
为反比例函数的理论依据.
1. 下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是
（ C ）
A. y＝3x＋1 B. y＝3x2
C. y＝ D. y＝
C
2. 已知函数y＝（m＋2） 是反比例函数，则m的
值为 .
2
题型二 用待定系数法求反比例函数解析式
已知y与x2成反比例，且当x＝3时，y＝4.
（1）写出y关于x的函数解析式；
解：（1）设y与x的函数关系式为y＝ ，
代入x＝3，y＝4，得4＝ ，
解得k＝36，则y关于x的函数解析式为y＝ .
（2）当x＝1.5时，求y的值；
解：（2）把x＝1.5代入y＝ ，得y＝ ＝16.
（3）当y＝6时，求x的值.
解：（3）把y＝6代入y＝ ，得x2＝ ，∴x＝± .
3. （2024·重庆）已知点（－3，2）在反比例函数y＝
（k≠0）的图象上，则k的值为（ C ）
A. －3 B. 3 C. －6 D. 6
C
4. 已知y＝y1＋y2，其中y1与x成反比例，y2与x－2成
正比例.当x＝1时，y＝－1； 当x＝3时，y＝5.求：
（1）y与x的函数关系式；
解：（1）设y1＝ （m≠0），
y2＝n（x－2）（n≠0），
∴y＝y1＋y2＝ ＋n（x－2）.
将x＝1，y＝－1；x＝3，y＝5代入上式中，可得
－1＝ ＋n· （1－2），5＝ ＋n· （3－2）.
联立求解，得m＝3，n＝4.
∴y与x之间的函数关系式为
y＝ ＋4（x－2）.
（2）当x＝4时，y的值.
解：（2）将x＝4代入y＝ ＋4（x－2）中，得
y＝ ＋4×（4－2）＝ .
∴当x＝4时，y＝ .
题型三 根据实际问题列反比例函数的解析式
已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地
后开始卸货.设平均卸货速度为v（吨/时），卸完这批
货物所需的时间为t（时）.
（1）求v关于t的函数表达式；
[分析] （1）利用vt＝100得出答案；（2）将t≤5代入
（1）中解析式，即可求出v的取值范围.
（2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平
均每小时至少要卸货多少吨？
（2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物，
∴t≤5，则v≥ ＝20.
答：平均每小时至少要卸货20吨.
解：（1）由题意，得100＝vt，∴v＝ .
5. 一司机驾驶汽车从甲地开往乙地，他以平均80千米/
时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回
时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（时）的函数关
系是（ B ）
A. v＝320t B. v＝
C. v＝20t D. v＝
B
6. 在某一电路中，保持电压U（V）不变，电流I
（A）与电阻R（Ω）成反比例，当电阻R＝5 Ω时，
电流I＝2 A.
（1）求I与R之间的函数关系式；
解：（1）∵I＝ ，当R＝5 Ω时，I＝2 A，
∴2＝ ，解得U＝10.∴I＝ .
（2）当电流I＝0.5 A时，求电阻R的值.
解：（2）当I＝0.5 A时，0.5＝ ，解得R＝20.
∴电阻R的值为20 Ω.
