(共20张PPT)
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定（二）
1. 相似三角形的判定定理2
三边 的两个三角形相似.
几何语言：
如图，在△ABC和△A'B'C'中，
∵ ＝ ＝ ，
∴△ABC∽△A'B'C'.
成比例
2. 相似三角形的判定定理3
两边 且夹角 的两个三角形相似.
几何语言：
如图，在△ABC和△A'B'C'中，
∵ ＝ ， ，
∴△ABC∽△A'B'C'.
成比例
相等
∠A＝∠A'
注意：利用该判定定理时，相等的角必须是已知两组对
应边的夹角，否则两个三角形不一定相似.
题型一 利用三边成比例判定两个三角形相似
如图，在大小为4×4的正方形网格中，每个小正方
形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，其中是相
似三角形的是（ C ）
C
A. ①和② B. ②和③
C. ①和③ D. ②和④
[分析] 利用网格和勾股定理求出各三角形的边长，然后
利用“三边成比例的两个三角形相似”判断是否相似.
[方法归纳] 解决网格内三角形相似问题的一般方法是用
勾股定理计算出三角形的三边，根据三组对应边的比是
否相等作判断.
1. 在△ABC和△A'B'C'中，AB＝3 cm，BC＝6 cm，
CA＝5 cm，A'B'＝3 cm，B'C'＝2.5 cm，A'C'＝1.5
cm，则下列说法中，错误的是（ B ）
A. △ABC与△C'A'B'相似
B. AB与A'B'是对应边
C. △ABC与△C'A'B'的相似比为2∶1
D. AB与A'C'是对应边
B
2. 如图，已知 ＝ ＝ ，∠BAD＝20°，∠DAE
＝60°，则∠DAC的度数为 .
（第2题）
40°
3. 如图，四边形ABEG，GEFH，HFCD都是正方
形，请你在图中找出一对相似比不等于1的相似三角
形，并说明理由.
（第3题）
解：△AEF∽△CEA，相似比为 ，理由如下：
设正方形的边长为x，
由勾股定理，可得AE＝ x，AF＝ x，
AC＝ x，且EF＝x，EC＝2x，
∴ ＝ ＝ ＝ .
∴△AEF∽△CEA，且相似比为 .
题型二 利用两边成比例且夹角相等判定两个三角形
相似
如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝
6，AE＝3，AC＝12.
（1）求CD的长；
（1）解：∵AE＝3，AC＝12，
∴CE＝AC－AE＝12－3＝9.
∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，
∴ ＝ ，
∴CD＝ ＝ ＝18.
（2）连接BC，求证：△ABE∽△ACB.
（2）证明：∵ ＝ ＝ ，
＝ ＝ ，∴ ＝ .
又∵∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB.
4. 如图，在△ABC中，P，Q分别为AB，AC边上的
点，且满足 ＝ .根据以上信息，嘉嘉和淇淇给出了
下列结论：嘉嘉说，连接PQ，则PQ∥BC. 淇淇说，
△AQP∽△ABC. 对于嘉嘉和淇淇的结论，下列判断正
确的是（ B ）
A. 嘉嘉正确，淇淇错误
B. 嘉嘉错误，淇淇正确
C. 两人都正确
D. 两人都错误
（第4题）
B
5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA∶OC＝
OB∶OD，则下列结论中一定正确的是（ B ）
A. ①与②相似 B. ①与③相似
C. ①与④相似 D. ②与④相似
（第5题）
B
6. 如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，
CF＝5，DE＝15，DF＝25.
（1）求CE的长；
（1）解：∵DE＝15，
DF＝25.∠E＝90°，
∴EF＝ ＝20，
∴CE＝EF－CF＝15.
（第6题）
（2）求证：△ABC∽△DEF.
（2）证明：∵BF＝3，CF＝5，
∴BC＝BF＋CF＝8.
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ .
又∵∠B＝∠E＝90°，
∴△ABC∽△DEF.
（第6题）
7. 如图，在△ACB中，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点
P从点C出发，沿CA向终点A匀速运动，速度是2
cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC向终点C匀速运
动，速度是1 cm/s.当△CPQ与△CAB相似时，求运动
的时间.
（第7题）
解：设运动的时间为t s，
∵∠C＝∠C，运用相似三角形的判定定理3可得，
①当△CPQ∽△CAB时， ＝ ，
即 ＝ .解得t＝ ；
②当△CPQ∽△CBA时， ＝ ，
即 ＝ .解得t＝ .
综上所述，当△CPQ与△CAB相似时，运动时间为 s
或 s.(共26张PPT)
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.3 相似三角形应用举例
1. 利用相似测量物体的高度
（1）利用影长测量物体的高度
同一时刻的光线互相平行（∠ABC＝∠A'B'C'，
∠ACB＝∠A'C'B'） △ABC∽△A'B'C' ＝
A'C'＝ .
（2）利用镜子的反射测量物体的高度
反射角等于入射角（∠AEB＝∠CED，∠ABE＝
∠CDE） △ABE∽△CDE ＝ CD＝ .
（3）利用标杆或直尺测量物体的高度
标杆与旗杆平行（CD∥EF） △ACG∽△AEH ＝
EH＝ EF＝ EH＋AB.
2. 利用相似测量物体的宽度
测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离时，常常
构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解.
测量方法：
（1）“X”形：如图1，分别测量出BE，CE和CD的
长，利用△ABE∽△DCE，得 ＝ ，则AB＝
，从而计算出河流宽度AB.
（2）“A”形：如图2，分别测量出AB， CD和BD的
长，利用△ABE∽△CDE，得 ＝ ＝ ，则DE
＝ ，从而计算出池塘宽度DE.
3. 利用三角形相似解决实际问题的一般步骤：
（1）根据题意画出示意图；
（2）将题目中的已知量或已知关系转化为示意图中的
已知线段、已知角；
（3）利用相似三角形建立线段之间的关系，求出未
知量；
（4）写出答案.
4. 常见的利用相似三角形解决实际问题的基本模型：
通过已知物体高度测量被测物体高度（深度）
测量河宽
小孔成像
求影长变化
题型一 利用相似测量高度
小红想测量学校教学大楼AB的高度.如图，在水平
地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE
＝20 m.当她与镜子的距离CE＝2.5 m时，她刚好能从
镜子中看到教学大楼的顶端B. 已知她的眼睛距地面高
度DC＝1.6 m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度
（注：入射角＝反射角）.
[分析] 利用入射角等于反射角，两个直角对应相等，得
出△ABE∽△CDE，再利用相似三角形的对应边成比例
求解.
解：根据光的反射定律知：
∠BEA＝∠DEC.
∵∠BAE＝∠DCE＝90°，
∴△BAE∽△DCE. ∴ ＝ .
∵AE＝20 m，CE＝2.5 m，DC＝1.6 m，
∴ ＝ .∴AB＝12.8 m.
∴大楼AB的高度为12.8 m.
[方法总结] 利用相似测量高度问题，一般有三种方法，
一是利用影子构造相似三角形；二是利用平面镜，根据
入射角等于反射角，构造相似三角形；三是利用标杆构
造相似三角形.
1. 如图，在同一时刻，身高1.6 m的小丽在阳
光下的影长为2.5 m，一棵大树的影长为5 m，则这棵树
的高度为（ C ）
（第1题）
A. 1.5 m B. 2.3 m
C. 3.2 m D. 7.8 m
C
2. 如图，一条河宽40 m，两岸都高出水面1 m，岸边有
一棵大树，对岸的人要估测大树的高度，他先站在岸边
看到对岸大树在水中的像，当他从岸边后退超过6 m
时，就不能看到整个大树的像，若人的身高为1.5 m，
请估计大树的高度为 m.
（第2题）
8
3. 九年级（1）班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆
的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗
杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝
1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，则旗杆AB
的高度为 m.
（第3题）
13.5
题型二 利用相似测量宽度
如图，为了估算河面的宽度，即EP的长，在离河
岸点D处2 m远的点B处，立一根长为1 m的标杆AB，
在河对岸的岸边有一块高为2.5 m的安全警示牌MF，
警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即PM＝PN，
两岸均高出水平面1.25 m，即DE＝FP＝1.25 m.经测
量此时A，D，N三点在同一条直线上，并且点M，
F，P，N共线，点B，D，F共线.若AB，DE，MF
均垂直于河面，则河宽EP是多少米？
解：如答案图，延长AB交PE的延长线于点H，设AN
与EP交于点O，
（答案图）
易知四边形BDEH是矩形，
∴AH＝AB＋BH＝1＋1.25＝2.25（m）.
∵BD∥OH，∴△ABD∽△AHO，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴HO＝4.5 m，∴OE＝OH－HE＝2.5 m.
∵PM＝PN，MF＝2.5 m，FP＝1.25 m，
∴PN＝MF＋FP＝3.75（m）.
∴HE＝BD＝2 m，BH＝DE＝1.25 m，BD∥EH，
即 ＝ ，∴PO＝7.5 m，
∴PE＝PO＋OE＝7.5＋2.5＝10（m）.
答：河宽EP是10 m.
∵AH⊥EP，PN⊥EP，∴AH∥PN.
∴△AHO∽△NPO，∴ ＝ ，
[方法总结] 利用相似测量宽度问题，一般有两种方法，
一是利用对顶角，构造“X”型相似三角形；二是利用
公共角，构造“A”型相似三角形.
4. 如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目
标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线
上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a
上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b
的交点为R. 如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80
m，则河的宽度PQ为（ C ）
A. 40 m B. 60 m
C. 120 m D. 180 m
（第4题）
C
5. 如图，小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算
河面上的桥AF的长.该桥两侧河岸平行，他们在河的对
岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B
和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得
DE∥BC. 经测量，BC＝120米，DE＝210米，且点E
到河岸BC的距离为60米.已知AF⊥BC于点F，请你根
据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度.
（第5题）
解：如答案图所示，过点E作EG⊥BC于点G.
（答案图）
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
∴ ＝ ＝ .∴ ＝ .
∴AF∥EG. ∴△ACF∽△ECG.
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得AF＝80米.
∴桥AF的长度为80米.
∵AF⊥BC，EG⊥BC，(共20张PPT)
第27章 相似
27.3 位 似
第1课时 位似图形的概念、性质及应用
1. 位似图形的概念
两个相似图形，如果对应顶点的连线 ，
对应边 或在一条直线上，像这样的两个图
形叫位似图形，这一点叫 .
相交于一点
互相平行
位似中心
注意：（1）位似图形是一种特殊的相似图形，它的每
组对应点连线交于一点；相似图形不一定是位似图形.
（2）位似中心可能在两个位似图形的同侧，也有可能
在两个位似图形之间，还有可能在两个位似图形的内部
或边上.
（3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小.
2. 位似图形的性质
（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之
比等于 .
（2）位似图形对应点的连线或延长线 .
（3）位似图形对应线段 .
（4）位似图形的对应角 .
相似比
相交于一点
平行或共线且成比例
相等
3. 位似图形的画法
（1）确定位似中心；
（2）连接图形各顶点与位似中心；
（3）按相似比进行取点；
（4）顺次连接各点，所得图形就是所求的图形.
题型一 位似图形的概念及性质
（1）如图，△ABC和△A'B'C'是位似图形，点O是
位似中心，若OA＝2OA'，△ABC的面积为9，则
△A'B'C'的面积为（ D ）
D
A. 1 B. C. D.
（2）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位
似中心为点O，且 ＝ ，则四边形EFGH的周长与四
边形ABCD的周长之比是（ D ）
D
A. B. C. D.
（3）如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO，
BO，CO，并取它们的中点D，E，F，顺次连接得到
△DEF，下列结论：
①△ABC与△DEF是位似图形；
②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长之比为1∶2；
④△ABC与△DEF的面积之比为2∶1.
其中正确的有（ B ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
[思维点拨] 判断两个图形是否为位似图形，要先看两
个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一
点，这两方面缺一不可；位似图形具有相似图形的所
有性质.
1. 如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为
原来的2倍得到△A'B'C'，以下说法中错误的是（ D ）
A. BC∥B'C'
B. 点A，O，A'在同一条直线上
C. S△ABC∶S△A'B'C'＝1∶4
D. AO∶AA'＝1∶2
（第1题）
D
2. 如图所示，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位
似中心.若AD＝3OA，△ABC的周长为5，则△DEF的
周长为（ A ）
A. 10 B. 15 C. 25 D. 45
（第2题）
A
3. （1）如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的
位似图形.若OA∶OD＝2∶3，则△ABC与△DEF的面积
比是 ；
[第3（1）题]
4∶9
（2）如图，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O.
△ABC与△A'B'C'的面积之比为9∶1，若OA'＝2，则
OA的长为 .
[第3（2）题]
6
题型二 利用位似作图
如图，已知四边形ABCD，画一个四边形
A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD成位似图
形，且相似比为5∶2.
[分析] 要使所画图形与原图形的相似比为5∶2，也就是
说，新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应
顶点到位似中心的距离之比为5∶2，位似中心可取在图
形外或图形内或某一条边上或某一顶点处.
解：如答案图.（答案不唯一，画出一种即可）
（答案图）
[知识总结] 位似图形的性质是作放大、缩小图形的理论
依据，位似中心和位似比是决定位似图形的位置和大小
的关键.
4. 如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确
的有（ D ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
（第4题）
D
5. 利用位似的方法把图缩小为原来的 ，要求所作的图
形在原图内部.
（第5题）
解：如答案图，在五边形ABCDE内部任取一点O，连
接OA，OB，OC，OD，OE，分别在线段OA，
OB，OC，OD，OE上取点A'，B'，C'，D'，E'，使
OA∶OA'＝OB∶OB'＝OC∶OC'＝OD∶OD'＝OE∶OE'＝2，连接A'B'，B'C'，C'D'，D'E'，E'A'，则五边形
A'B'C'D'E'即为所求作的图形.
（答案图）(共20张PPT)
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定（一）
1. 相似三角形的概念
在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A＝∠A'，∠B＝
∠B'，∠C＝∠C'， ＝ ＝ ＝k，即它们的
三个角 ，三条边 ，则△ABC
和△A'B'C'相似，记作 ，相似比
为k.
分别相等
成比例
△ABC∽△A'B'C'
注意：（1）用符号“∽”表示相似，读作“相似于”；
书写两个三角形相似时，对应点的位置要一致；探索对
应角和对应边的方法与全等三角形类似.
（2）相似三角形的顺序性：相似有顺序，若
△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k，则△A'B'C'与△ABC
的相似比为 .
（3）当相似比k＝1时，△ABC≌△A'B'C'.
（4）相似三角形的传递性：若△ABC∽△A'B'C'，且
△A'B'C'∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″.
2. 平行线分线段成比例定理
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线
段 .
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的
延长线），所得的对应线段 .
成比例
成比例
[拓展] 平行线分线段成比例基本事实的常见变形：
3. 相似三角形的判定定理1
于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似.
几何语言：
如图，DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.
平行
注意：（1）定理中“和其他两边相交”是指和其他两
边所在直线相交；（2）这个定理的本质是利用平行线
得出三角形的三边比例关系，如图，由DE∥BC ，得
△ABC∽△ADE，可得 ＝ ＝ ，但其中的线段不
能写成三角形边的一部分，如不能写成 ＝ ＝ .
题型一 平行线分线段成比例定理的应用
（1）如图1，已知AB∥CD∥EF，则下列结论正
确的是（ C ）
图1
C
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
（2）如图2，已知AD∥BE∥CF，若AB＝3cm，AC
＝7cm，EF＝5cm，则DE的长为 .
图2
cm
1. 如图是一架梯子的示意图，其中
AA1∥BB1∥CC1∥DD1，且AB＝BC＝CD，为了使其
更加稳固，在A，D1两点间加绑一条安全绳（线段
AD1），量得AE＝0.4 m，则AD1的长度为（ A ）
A. 1.2 m B. 1 m
C. 0.8 m D. 0.6 m
（第1题）
A
2. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点
A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，
若AB＝2，BC＝3，则 的值为 .
（第2题）
题型二 利用平行线判定三角形相似
如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，
DE∥AC，DF∥BC，AC＝8，BC＝12，求四边形
DECF的周长.
解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE＝FC，DF＝EC.
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，∴ ＝ ＝ ＝ .
∵AC＝8，BC＝12，∴AF＝2，DF＝3.
∴FC＝AC－AF＝8－2＝6，
∴四边形DECF的周长为
2（FC＋DF）＝2×（3＋6）＝18.
（1）如图1，BD是△ABC的中线，点E在线段BC
上，连接AE交BD于点F，点G为AE的中点，连接
DG，若 ＝ ，则 ＝ ；
图1
（2）如图2，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长
线交AB于点F，若AF＝2， ED＝3AE. 则AB的长
为 .
图2
14
[方法点拨] 利用“平行线”判断三角形相似是一种比较
适用、简单的方法，常用于解决与平行四边形、梯形、
三角形中位线有关的问题.
3. 如图，直线AB与 MNPQ的四边所在直线分别交于
点A，B，C，D，则图中的相似三角形有（ C ）
A. 4对 B. 5对 C. 6对 D. 7对
（第3题）
C
4. 如图，F是 ABCD对角线BD上的点，BF∶FD＝
1∶3，则BE∶EC等于（ A ）
A. B. C. D.
（第4题）
A
5. 如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC
于点E，F，G，已知AD＝5，BC＝10，AE＝9，AB
＝12.求EG，FG的长.
（第5题）
解：∵在△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC，
∴ ＝ .
∵BC＝10，AE＝9，AB＝12，
∴ ＝ .∴EG＝ .
∵在△BAD中，EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD. ∴ ＝ .
∵AD＝5，AE＝9，AB＝12，
∴ ＝ .∴EF＝ .
∴FG＝EG－EF＝ － ＝ .(共13张PPT)
第27章 相似
27.1 图形的相似
第1课时 生活中的相似图形
1. 相似图形的定义
定义 把形状相同的图形叫做相似图形
举例 （1）用同一张底片洗出的不同尺寸的照片；
（2）一辆汽车与它的模型
注意 （1）相似图形是形状相同的图形，与图形的大
小、位置无关，大小可以相同，也可以不同，
若大小相同，则两个图形全等；
（2）两个图形相似，其中一个图形可以看作由
另一个图形放大或缩小得到
2. 全等图形与相似图形的关系
全等图形是相似图形的一种特殊形式.
3. 相似图形具有传递性
如果图形A与图形B相似，图形B与图形C相似，那么
图形A与图形C相似.
题型一 相似图形的特征与识别
在实际生活和学习中，我们常常会看到许多形状相
同的图形，请从下图中找出形状相同的图形.
[分析] 根据相似图形的定义将形状相同的图形挑选出来
即可.
解：（1）与（3），（2）与（13），（4）与（11），
（5）与（10），（6）与（7）（8）（9），分别是形
状相同的图形.
1. 观察下列各组图形，其中不相似的是（ C ）
A B
C D
C
2. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ B ）
A. 平移变换 B. 相似变换
C. 旋转变换 D. 对称变换
（第2题）
B
3. 观察下列图形，哪些是相似图形？
解：（1）和（8），（2）和（6），（3）和（7）分别
是相似图形.
题型二 常见平面几何图形的相似
下列各组图形：
①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个
内角是80°的两个等腰三角形；⑤两个正六边形；⑥两
个等腰直角三角形.
其中一定相似的是 .（填序号）
②⑤⑥
[分析] 平行四边形、矩形、有一个内角是80°的两个等
腰三角形都是形状不唯一确定的图形，而圆、正六边
形、等腰直角三角形的形状是唯一确定的，据此可判断
出哪几组图形相似.
[方法点拨] 当图形的形状唯一确定时，它们才相似.
4. 下列各组图形有可能不相似的是（ A ）
A. 各有一个角是50°的两个等腰三角形
B. 各有一个角是100°的两个等腰三角形
C. 各有一个角是50°的两个直角三角形
D. 两个等腰直角三角形
A
5. 下列说法中正确的是（ B ）
A. 所有的矩形都相似
B. 所有的正方形都相似
C. 所有的菱形都相似
D. 所有的等腰梯形都相似
B
6. 下列结论中，正确的有（ B ）
①所有的五边形都相似；②放大镜下的图形与原图形不
一定相似；③等边三角形都相似；④有一个角为110°
的两个三角形相似；⑤两个矩形不一定相似.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B(共20张PPT)
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.2 相似三角形的性质
相等
成比例
相似比
相似比
相似比的平方
相似三角形的性质
例：若两个相似三角形对应边的比为1∶4，那么这两个
三角形的相似比为 ，对应角平分线的比
为 ，对应高的比为 ，对应中线的比
为 ，对应周长的比为 ，对应面积的比
为 .
1∶4
1∶4
1∶4
1∶4
1∶4
1∶16
题型一 相似三角形对应线段及周长比
（1）已知△ABC∽△DEF，其对应中线的比为
1∶3，若△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（ C ）
A. 1 B. 3 C. 9 D. 27
C
（2）如图，在△ABC中，AC＝BC，矩形DEFG的顶
点D，E在AB边上，顶点F，G分别在BC，AC边上，
若CF＝4，BF＝3，且DE＝2EF，则EF的长
为 .
[思维点拨] 相似三角形的性质对相似多边形也适用.利
用相似的性质求周长一般涉及整体思想，我们不能孤立
地考虑每一个元素，否则无法求解.
1. 若两个相似三角形对应周长的比为1∶8，则这两个三
角形对应边的比是（ C ）
A. 1∶2 B. 1∶4
C. 1∶8 D. 1∶16
C
2. 如图，在 ABCD中，E为BC上一点，AE交BD于
点F，BF∶FD＝2∶5，则BE∶EC＝ .
（第2题）
2∶3
题型二 相似三角形的面积比
（1）如图1，已知△ADE∽△ABC，且AD∶DB＝
2∶1，则S△ADE∶S△ABC＝（ D ）
图1
A. 2∶1 B. 4∶1 C. 2∶3 D. 4∶9
D
（2）如图2，在 ABCD中，E是AB上一点，且BE＝
2AE，连接DE交AC于点F，已知S△AFE＝1，则S△ADC
的值是（ C ）
图2
A. 9 B. 10 C. 12 D. 14
C
3. 如图，△ABC∽△ADE，S△ABC∶S四边形BDEC＝1∶3，
BC＝ ，则DE的长为（ B ）
A. B. 2 C. 3 D. 4
（第3题）
B
4. 如图，在平行四边形ABCD中，如果CM＝2DM，
AM与BD相交于点N，那么△DMN与平行四边形
ABCD的面积之比为（ A ）
A. 1∶24 B. 1∶15 C. 1∶12 D. 1∶9
（第4题）
A
5. 如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，
△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点.若
＝ ，则 ＝ .
（第5题）
题型三 相似三角形性质的综合
一块直角三角形木板的面积为1.5 m2，一条直角边
AB为1.5 m，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方
形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用
学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽
略不计，计算结果中的分数可保留）.
解：针对甲木匠的加工方法：过点B作BH⊥AC于点
H，交DE于点M，如答案图.
（答案图）
∵S△ABC＝ AB·BC＝ AC·BH＝1.5 m2，AB＝1.5 m，
∴BC＝ ＝2（m）.
∴AC＝ ＝ ＝2.5（m），
∴BH＝1.2 m.
又∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴ ＝ .
设甲图中正方形的边长为x m，
∴ ＝ ，解得x＝ .
针对乙木匠的加工方法：
设乙图中的正方形的边长为y m.
∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴ ＝ .
∴ ＝ ，解得y＝ .
∵ ＞ ，
∴乙木匠的加工方法符合要求.
6. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD
边上，若AE＝3，EF＝1，AF＝ ，则正方形
ABCD的面积为 .
（第6题）
7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角
顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函
数y＝ （x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点
D，连接CD. 若△ACD的面积是2，则k的值是 .
（第7题）
解析：如答案图，连接OD，过点C作CE∥AB，交x
轴于点E. ∵∠ABO＝90°，反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过OA的中点C，∴ ＝ ＝ k， ＝ ＝2.∵CE∥AB，∴△OCE∽△OAB，∴ ＝ ，∴4 ＝ ，
即4× k＝2＋2＋ k，解得k＝ .
（答案图）(共24张PPT)
第27章 相似
27.1 图形的相似
第2课时 相似多边形
1. 比例线段
对于四条线段a，b，c，d，如果其中两条线段的比
（即它们长度的比）与另两条线段的比 ，如
（即ad bc），我们就说这四条线段成
比例.
相等
＝
＝
注意：（1）若已说明四条线段a，b，c，d成比例，
则有顺序性，只能写成 ＝ （或a∶b＝c∶d）而不能写
成 ＝ .
（2）判断四条线段是否成比例时，需要先将四条线段
的长度单位统一，再按大小顺序排列，分别计算前两条
线段和后两条线段的比，看它们是否相等.
[拓展] （1）基本性质： ＝ ad＝bc.
（2）在 ＝ 中，当b＝c时，b2＝ad，线段b叫做a，
d的比例中项.
（3）合比性质： ＝ ＝ 或 ＝
（a±b，c±d均不为0）.
（4）等比性质：如果 ＝ ＝ ＝…＝ （b＋d＋f
＋…＋n≠0），那么 ＝ .
2. 相似多边形
（1）定义：两个 的多边形，如果它们的
角分别 ，边 ，那么两个多边形叫做
相似多边形.
（2）性质：相似多边形的对应角 ，对应
边 .
（3）判定：如果两个多边形的
，那么这两个多边形相似.
（4）相似多边形 称为相似比.
边数相同
相等
成比例
相等
成比例
对应角相等，对应边
成比例
对应边的比
注意：（1）求相似多边形对应边的比，即求相似比时
要注意先后顺序.（2）当两个相似多边形的相似比为1
时，这两个多边形全等.
题型一 比例线段与性质
（1）下列四组长度的线段中，是成比例线段的是
（ C ）
A. 4cm，5cm，6cm，7cm
B. 3cm，4cm，5cm，8cm
C. 3cm，5cm，9cm，15cm
D. 1cm，3cm，4cm，8cm
C
（2）四条线段a，b，c，d成比例，其中a＝1 cm，b
＝3 cm，c＝3 cm，则线段d＝ ；
（3）已知三个数为3，4，12，若再添加一个数，使这
四个数成比例，那么这个数是 ；
（4）若 ＝ ，则 ＝ ；
若 ＝ ＝ ＝ ，且b－2d＋3f≠0，则
＝ .
9 cm
16或9或1
1. 下列各组线段中，能成比例的是（ D ）
A. 3 cm，6 cm，8 cm，9 cm
B. 3 cm，5 cm，6 cm，9 cm
C. 3 cm，6 cm，7 cm，9 cm
D. 3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
D
2. 在比例尺为1∶1 000 000的地图上，量得甲、乙两地的
距离是15 cm，则甲、乙两地的实际距离是 km.
150
3. 如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B
固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割
点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，
D之间的距离为 cm.（结果保留根号，
注：黄金分割点把一条线段分为长短两部分，其中短的
一部分与长的一部分之比等于长的一部分与总长之比，
比值为 ）
80 －160
（第3题）
题型二 相似多边形的性质
如图所示，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形
DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
（1）求AD的长；
解：（1）设AD＝x，则DM＝ .
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝4 ，
即AD的长为4 .
（2）求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.
[分析] 相似多边形对应边的比相等，其比值就是相似
比.
解：（2）由（1）可知，矩形DMNC与矩
形ABCD的相似比为4∶4 ＝1∶ .
[易错提示] 超过三边的多边形相似必须满足对应角相
等、对应边成比例这两个条件，缺一不可；求相似多边
形的边、角时，一定要找准对应边、对应角，否则容易
出错.
4. 如图所示，已知四边形ABFE与四边形EFCD相似，
AB＝2，EF＝3，则DC的长是（ C ）
A. 6 B.
C. D. 4
（第4题）
C
5. （1）如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，
则边x＝ ，y＝ ，α＝ ；
[第5（1）题]
12
83°
（2）如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，剪去一
个矩形AEFD后，余下的矩形EBCF与矩形BCDA相
似，则CF的长为 .
[第5（2）题]
1
题型三 相似多边形的判定
在AB＝30 m，AD＝20 m的矩形花坛四周修筑小
路.
（1）如果四周的小路的宽均相等，如图1，那么小路四
周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似吗？请说明
理由；
解：（1）如果四周的小路的宽均相等，那么小路四
周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相似.理由
如下：
设四周的小路的宽为x m.
∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ≠ .
∴小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD不相
似.
（2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图2，试问
小路的宽x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成
的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似？请说明理由.
解：（2）小路的宽x与y的比值为 时，能使小路四周
所围成的矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似，理由如下：
当 ＝ 时，小路四周所围成的矩形A'B'C'D'和
矩形ABCD相似，
解得 ＝ .
∴小路的宽x与y的比值为 时，能使小路四周所围成的
矩形A'B'C'D'和矩形ABCD相似.
6. 如图有三个矩形，其中是相似矩形的是（ B ）
（第6题）
A. 甲与乙 B. 甲与丙
C. 乙与丙 D. 以上都不对
B
7. 如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作
GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F. 求证：四
边形AFGE与四边形ABCD相似.
（第7题）
证明：∵∠GEA＝∠EAF＝∠GFA ＝ 90°，
∴四边形AFGE为矩形.
∵四边形ABCD为正方形，
∴ AC平分∠DAB.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴GE＝GF.
∴四边形AFGE为正方形.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似.(共24张PPT)
第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 相似三角形的判定（三）
1. 相似三角形的判定定理4
两角 的两个三角形相似.
几何语言：
如图，在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠A＝∠A'，
∠B＝∠B'，
分别相等
∴△ABC∽△A'B'C'.
2. 两个直角三角形相似的判定方法：
（1）若两个直角三角形有一个锐角对应相等，则这两
个直角三角形 .
几何语言：
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∵∠C＝∠C'，
相似
∠A＝∠A'，
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
（2）若两个直角三角形的两组直角边的比相等，则这
两个直角三角形 .
几何语言：
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∵ ＝ ，
相似
∠C＝∠C'＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
（3）如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一
个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这
两个直角三角形 . 简称“斜边、直角边对应成
比例的两直角三角形相似”.
几何语言：
如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
相似
∵ ＝ ，
∠C＝∠C'＝90°，
∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.
题型一 利用两角分别相等判定三角形相似
（1）如图，在△ABC纸片中，∠A＝76°，∠B
＝34°.将△ABC纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪
下的阴影三角形与原三角形相似的是（ C ）
C
A. ①② B. ②④
C. ①③ D. ③④
（2）如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC边上一
点，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝
∠B. 求证：△ADF∽△DEC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C＋∠B＝180°，
∠ADF＝∠DEC.
∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，CB＝
5，D是BC边上一点，且DB＝1，点E是AC边上的一
个点，且AE＝ ，过点E作EF∥CB交AD于点F，连
接DE.
（1）解：∵CB＝5，DB＝1，
∴CD＝CB－DB＝5－1＝4.
∵EF∥CB，
∴△AEF∽△ACD. ∴ ＝ ，
∴EF＝ ＝ ＝ .
（1）求EF的长；
（2）求证：△DEF∽△ABD.
（2）证明：∵CE＝AC－AE＝3－ ＝ ，
∴ ＝ ＝ .
∵ ＝ ，∴ ＝ .
又∵∠C＝∠C，
∴△CED∽△CAB，∴∠EDC＝∠B，
∴DE∥AB，∴∠EDF＝∠BAD.
∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DEF，
∴∠DEF＝∠B，
∴△DEF∽△ABD.
1. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝
∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为 .
（第1题）
5
2. 已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边
AB，AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线
于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
（第2题）
（第2题）
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB.
∵DF＝BE，∴△CDF≌CBE（SAS）.
∴∠DCF＝∠BCE.
∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF.
∴∠BCE＝∠H.
∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH.
（1）求证：△BEC∽△BCH；
（2）如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.
证明：（2）∵BE2＝AB·AE，
∴ ＝ .
∵AG∥BC，∴ ＝ .∴ ＝ .
∵DF＝BE，BC＝AB，
∴BE＝AG＝DF.
∴AG＝DF.
（第2题）
题型二 判定直角三角形相似
（1）如图，在△ABC中，高BD，CE相交于点F.
图中与△AEC一定相似的三角形有（ C ）
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
C
（2）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC上
的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：
△ADQ∽△QCP.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
BP＝3PC，Q是CD的中点，
∴QC＝QD＝ AD，
CP＝ AD.
∴ ＝ .
又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，∴△ADQ∽△QCP.
3. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列
条件中不能判定这两个三角形相似的是（ C ）
A. ∠A＝55°，∠D＝35°
B. AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8
C. AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8
D. AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
C
4. 如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝ ，
AC＝2，当AD的长为 时，图中两直角三角
形相似.
（第4题）
3或3
5. 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E.
（1）求证：AC⊥BD；
（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴ ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
（第5题）
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长.
（2）解：由（1）可知，
OA＝OC＝ AC＝8，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴OB＝ ＝ ＝6.
∵BE⊥AB，∴∠EBA＝90°，
（第5题）
∴∠BEO＋∠BAO＝∠ABO＋∠BAO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△BOE∽△AOB，∴ ＝ ，
即 ＝ ，解得OE＝ .
即OE的长为 .(共18张PPT)
第27章 相似
27.3 位 似
第2课时 平面直角坐标系中的位似图形
1. 位似图形对应点的坐标变化规律
在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一
个与原图形位似的图形，使它与原图形的 为
k，那么与原图形上的点 对应的位似图形
上的点的坐标为 或 .
注意：这里是以原点为位似中心的位似变换中图形的坐
标变化规律.
相似比
（x，y）
（kx，ky）
（－kx，－
ky）
2. 平移、轴对称、旋转、位似的坐标变化规律
一点或图形上的某点→变换→对应点
注意：当k＞1时，图形扩大为原来的k倍；当0＜k＜1
时，图形缩小为原来的k.
题型一 根据位似确定点的坐标
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，边
AB在x轴上且AB＝12，以O为位似中心作△A1B1C1与
△ABC位似，若点C（4，6）的对应点为点C1（2，
3），则点A1的坐标为（ B ）
B
图1
A. （－2，0） B. （－4，0）
C. （－6，0） D. （－8，0）
（2）如图2，在Rt△ABO中，直角边BO落在x轴的负
半轴上，点A的坐标是（－4，2），以点O为位似中
心，按2∶1把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标
为 .
图2
（－2，1）或（2，－1）
1. 如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，1）为位似
中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形
△AB'C'，若点B的坐标为（－1，3），则点B的对应点
B'的坐标为（ C ）
A. （2，－4） B. （1，－4）
C. （2，－3） D. （1，－3）
（第1题）
C
2. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的顶
点O（0，0），B（2，0），已知△OA'B'与△OAB位
似，位似中心是原点O，且△OA'B'的面积是△OAB面
积的4倍，则点A的对应点A'的坐标为（ D ）
A.
B. （2 ，2）或（－2 ，－2）
C. （4，4 ）
D. （2，2 ）或（－2，－2 ）
（第2题）
D
3. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位
似图形，它们顶点的横坐标、纵坐标都是整数，则位似
中心的坐标为 .
（3，1）
（第3题）
题型二 在直角坐标系中利用位似变换作图
如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－1，
3），B（－1，1），C（－3，2）.
（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形.
（2）以原点O为位似中心，将△A1B1C1放大为原来的2
倍，得到△A2B2C2，请在第三象限内画出△A2B2C2，并
求出 ∶ 的值.
解：（2）如图，△A2B2C2即
为所求作的三角形.
解法1：
∶ ＝ ∶ ＝ .
解法2：∵△A1B1C1∽△A2B2C2，
∴ ∶ ＝ ＝ .
[方法总结] 利用网格作图的关键是正确理解轴对称、位
似、平移、旋转变换的意义，先确定能代表所作图形的
关键点，然后顺次连接各点即可得到所求的图形.
4. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标
系，已知△ABC的三个顶点分别为A（－1，2），B
（2，1），C（4，5）.
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作的三角形.
（2）以原点O为位似中心，在x轴的上方画出
△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为
2∶1，并求出△A2B2C2的面积.
解：（2）如图，△A2B2C2即为所求作的三角形.
∵A（－1，2），B（2，1），C（4，5），△A2B2C2
在x轴上方，与△ABC位似，且相似比为2∶1，
∴A2（－2，4），B2（4，2），C2（8，10）.
∴ ＝ ×（2＋8）×10－ ×6×2－ ×4×8
＝28.
