(共13张PPT)
第4课时
用计算器求三角函数值
1.利用计算器求锐角三角函数值的方法:
(1)当锐角的大小以度为单位时,可先按
键,然后输入角度值(可以是整数,也可以是小数),最后按
键,就可以在显示屏上显示出结果;
(2)当锐角的大小以度、分、秒为单位时要借助
键计算,按键顺序是:
度数、
分数、
秒数、
例:用计算器求tan 30°36'的值.
方法①
解:第一步:按计算器 键;
第二步:输入角度值30.6(30°36'=30.6°);
屏幕显示结果tan 30°36'=0.591 398 351.
方法②
解:第一步:按计算器 键;
第二步:输入角度值30、 分值36、
屏幕显示结果tan 30°36'=0.591 398 351.
再按三角函数名称键,输入
2.已知三角函数值求锐角
先按第二功能键
三角函数值,最后按
键,把结果按要求精确即可.
注意:不同的计算器使用方法可能不同,要按照计算器的使用说明进行操作.
利用计算器求非特殊角的三角函数值
用计算器求下列各式的值:
(1)sin 47°;
[分析] 按照用计算器求三角函数值的操作步骤进行计算即可.
解:(1)sin 47°≈0.731 4.
(2)sin 12°30';
(2)sin 12°30'≈0.216 4.
(3)cos 25°18';
(3)cos 25°18'≈0.904 1.
(4)tan 44°59'59″.
(4)tan 44°59'59″≈1.000 0.
1.若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin 36°18‘,按键顺序正确的是 ( )
D
2.用计算器验证,下列不等式中成立的是 ( )
B
3.用计算器求下列各式的值:
(1)cos 63°17’≈ ;
(2)tan 27.35°≈ ;
(3)2cos 40°+sin 35°tan 58°≈ ;
(4)tan 38°15’≈ .(结果精确到0.01)
0.449 6
0.517 2
2.450 0
2.03
已知三角函数值,利用计算器求角度
用计算器求下列各角的度数(精确到1' ):
(1)sin A=0.75,求∠A;
解:(1)∠A≈48°35'.
(2)cos B=0.888 9,求∠B;
(2)∠B≈27°16'.
(3)tan C=45.43,求∠C;
(3)∠C≈88°44'.
(4)tan D=0.974 2,求∠D.
(4)∠D≈44°15'.
[易错提示] 计算时,一定要按要求取近似值.
4.如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板,利用该型号计算器按此顺序输入:
显示屏显示的结果为88.991 020 49,将这个数据精确到0.001后,下列说法正确的是 ( )
A.56.78°的正切函数值约为88.991
B.正切函数值为56.78的角约是88.991°
C.56°78'的正切函数值约为88.991
D.正切函数值为56.78的角约是88°991'
B
5.若α为锐角,且cos α=,则α在( )
A.0°与30°之间 B.30°与45°之间
C.45°与60°之间 D.60°与90°之间
6.如图,有一滑梯AB,其水平宽度AC为5.3 m,铅直高度BC为2.8 m,则∠A的度数约为 .(用科学计算器计算,结果精确到0.1°)
D
27.8°(共16张PPT)
第3课时
特殊角的三角函数值
1.特殊角的三角函数值
锐角α
30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
锐角三角函数
1
观察表格可得出下列结论:
(1)α为锐角,对于sin α与tan α,角度越大,函数值
越 ;对于cos α,角度越大,函数值越 .
(2)互余的两角之间的三角函数关系:
若∠A+∠B=90°,则有:
互余关系:①sin A=cos B;②sin B=cos A;
倒数关系:①tan A·tan B=1;②tan A=;
平方关系:①sin2A+sin2B=1;②sin2A+cos2A=1.
大
小
(3)可按正弦、余弦、正切函数值的增减变化规律记忆特殊角的三角函数值,正弦,,,余弦则反之;正切,,.
2.含有30°,45°角的直角三角形各边数量关系
注意:(1)特殊角的三角函数值可以借助上面两个图形,结合三角函数的定义来记忆.
(2)求某些特殊角的三角函数值时,关键要构造合适的直角三角形.
利用特殊角的三角函数值进行计算
求下列各式的值:
(1)sin 30°cos 45°+cos 60°;
[分析] 先将各特殊角的三角函数值代入化简,再按实数混合运算法则进行计算即可.
解:(1)原式=×+=.
(2)6tan230°-sin 60°+2tan 45°;
(2)原式=6×-×+2×1=2-+2=.
(3)-sin 60°(1-sin 30°).
(3)原式=-×=.
[方法点拨] 正确解决此类问题的关键是熟记特殊角的三角函数值.
1.下面计算中正确的是 ( )
A.sin 60°= B.tan 60°=
C.sin 45°= D.cos 30°=
B
2.下列计算错误的个数是 ( )
①sin 60°-sin 30°=sin 30°;
②sin245°+cos245°=1;
③tan260°=;
④tan 30°=
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
3.计算:
(1)2sin 30°+3cos 60°-4tan 45°;
解:原式=2×+3×-4×1=-.
(2)cos260°-2cos 60°sin 30°+sin230°;
解:原式=(cos 60°-sin 30°)2
==0.
(3)tan230°+cos230°-sin 60°cos 45°+sin 45°.
解:原式=+-×+×
=+-+
=-.
根据三角函数值求角
(1)在△ABC中,若(3tan A-3)2+2cos B-3=0,则△ABC是( )
A.直角三角形
B.等边三角形
C.含有60°角的任意三角形
D.顶角为钝角的等腰三角形
A
(2)如图,在△ABC中,∠C=90°,tan A=,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=,求AB的长.
[分析] (1)利用完全平方与绝对值的非负性可求出tan A和cos B的值,则可得到∠A和∠B的度数,从而可判断△ABC的形状;(2)由tan A的值可得出∠A的度数,进而得出∠ABC的度数,由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD的度数,进而求出BC的长,最后用三角函数的定义即可求出AB的长.
(2)解:在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,tan A=,
∴∠A=30°,∴∠ABC=60°.
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠CBD=∠ABD=30°.
又∵CD=,∴BC==3,∴AB==6.
[思维点拨] 综合应用数学知识正确求解三角函数值,是顺利解决这类问题的关键.
4.在△ABC中,(2cos A-2)2+1-tan B=0,则△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
D
5.如果∠A是锐角,且sin A=,那么∠A的范围是( )
A.0°<∠A<30° B.30°<∠A<45°
C.45°<∠A<60° D.60°<∠A<90°
6.在△ABC中,∠A,∠B都是锐角,若sin A=,cos B=,则∠C= .
C
60°(共17张PPT)
28.1 锐角三角函数
第1课时 正 弦
1.正弦的定义
在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形大小如何,∠A的对边与斜边的比都是一个固定值,这个值叫∠A的正弦,记作sin A,即sin A=.
注意:(1)正弦的定义是针对直角三角形中的锐角而定义的,其本质是两条线段的比,在求非直角三角形中某个角的正弦时,需添加辅助线,将这个角放在直角三角形中求解.
(2)正弦的表示在书写时需规范:
①sin A、sin 40°、sin α(可省去角的符号);
②sin∠ABC、sin∠1(不能省去角的符号).
(3)sin A是一个比值,是数值,无单位.
(4)sin A的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.
(5)sin A不表示“sin”乘“A”.
2.正弦值变化情况
在0°~90°范围内的角,正弦值随角度的增大(或减小)
而 .
注意:当0°<∠A<90°时,0增大(或减小)
利用正弦的定义求值
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则下列结论不正确的是 ( )
A.sin B= B.sin B=
C.sin B= D.sin B=
图1
C
(2)如图2,AD,BE分别是△ABC中BC,AC边上的
高,BE=4,BC=6,则sin∠DAC= ;
图2
(3)如图3,△ABC的各个顶点都在正方形的格点上,则sin
A的值为 .
图3
[方法总结] 当不易求出直角三角形的边时,可以通过等角转化的方式,在另一个直角三角形中利用正弦的定义求值.
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AC=12,则sin B的值是 ( )
A. B. C. D.
2.如图,在平面直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,4),且OP与x轴正半轴的夹角为α,则sin α的值为 ( )
A. B. C. D.
D
A
3.在平面直角坐标系中,将一块直角三角板按如图放置,直角顶点与原点O重合,顶点A,B恰好分别落在反比例函数y=-(x<0),y=(x>0)的图象上,则sin∠ABO的值为( )
A. B. C. D.
D
利用正弦函数求边长
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,BC=6,则AB等于( )
A.4 B.6 C.8 D.10
D
(2)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,∠C=45°,sin B=,AD=1,求BC的长.
(2)解:在Rt△ABD中,
∵sin B==,AD=1,∴AB=3.
∵BD2=AB2-AD2,
∴BD==2.
在Rt△ADC中,∠C=45°,
∴CD=AD=1,∴BC=BD+DC=2+1.
如图,点M是正方形ABCD的边AD上一点,连接CM,过点D作DE⊥CM于点E,过点B作BF⊥CM于点F.连接BE.
(1)求证:BF=CE;
(1)证明:∵四边形ABCD为正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
∴∠DCE+∠BCF=90°.
∵DE⊥CM,BF⊥CM,
∴∠CFB=∠DEC=90°.
∴∠CBF+∠BCF=90°,∴∠CBF=∠DCE,
∴△CBF≌△DCE(AAS),∴BF=CE.
(2)已知四边形BCDE的面积为20,若sin∠EBF=.
①求正方形ABCD的边长;
(2)解:在Rt△BEF中,∵sin∠EBF==,
∴可设EF=3a,BE=5a,∴BF=CE=4a,
∴CF=DE=CE- EF=4a- 3a=a,
∴S△BCE=CE·BF=8a2,S△CDE=CE·DE=2a2,
∴S四边形BCDE=8a2+2a2=20,即a2=2.
①正方形ABCD的边长=BC
====.
②求sin∠MDE的值.
②∵∠MDE+∠CDE
=∠CDE+∠ECD=90°,
∴∠MDE=∠ECD,
∴sin∠MDE=sin∠ECD
===.
[思维点拨] 在直角三角形中利用正弦函数值求边长时,先根据正弦函数的定义得出两边的比值,然后把已知边长和正弦函数值代入求值即可.
4.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,sin B=,AC=2,则BC的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
C
5.如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC ,垂足为E.若sin∠ADE=,AD=4,则AB的长为 .
3
6.如图,点E在矩形ABCD的边CD上,将△ADE沿AE折叠,点D恰好落在边BC上的点F处.若BC=10,sin∠AFB=,则DE= .
5(共16张PPT)
第2课时 余弦、正切
1.余弦、正切的定义
三边为a,b,c的Rt△ABC中,∠C=90°,当锐角∠A确定时,∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比都是确定的,其中,我们把∠A的 的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A== ;把∠A的 的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A== .
邻边与斜边
对边与邻边
2.对于任意锐角α,有cos α=sin(90°-α),sin α=cos(90°-α).
3.锐角三角函数的定义
锐角A的 、 、 都是∠A的锐角三角函数.
注意:(1)∠A是自变量,范围是0°<∠A<90°;当∠A确定时,三个比值都是唯一确定的;当∠A变化时,三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.
(2)00.
正弦
余弦
正切
余弦、正切的定义及其运用
(1)如图1,CD是Rt△ABC斜边上的高,AC=4,BC=3,则cos∠BCD的值是 ( )
A. B. C. D.
图1
D
(2)在△ABC中,∠C=90°,如果tan A=,那么cos B的值是( )
A. B. C. D.
(3)如图2,在6×6正方形网格中,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,则tan A的值为 ( )
A. B. C.2 D.2
图2
A
A
[方法点拨] 由于锐角三角函数值实质上就是直角三角形两边的比值,所以有时需将锐角三角函数转化为线段比,通过设定一个参数k,并用含k的代数式表示出直角三角形的各边长,然后结合相关条件解决问题.另外,由于三角函数值的大小与角的大小有关,与边的长短无关,所以当一个锐角的三角函数值不能直接求解时,往往采用转化手段,通过求其等角的三角函数值来解答.
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,则下列结论中,正确的是 ( )
A.tan B= B.tan A=
C.sin A= D.cos B=
C
2.(1)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB边的中点,
连接CD.若BC=4,CD=3,则cos∠DCB的值为 ;
(2)如图,已知AB为☉O的直径,∠ADC=30°,则tan∠CAB的值为 .
3.在平面直角坐标系中,Rt△ABC的顶点A,B的坐标分别是(0,3),(4,0),∠ABC=90°,tan∠CAB=,点C在第一象限.如图,若反比例函数y=的图象恰好经过点C,则k的值为( )
A.10 B.11
C.12 D.13
B
锐角三角函数的应用
如图,在△ABC中,点D是AB的中点,DC⊥AC,且tan∠BCD=,求sin A,cos A,tan A的值.
(答案图)
解:如答案图,过点D作DE⊥CD,交BC于点E.在Rt△CDE中,tan∠BCD==,
∴设DE=x,则CD=3x.
又∵DC⊥AC,∴DE∥AC.
∵点D是AB的中点,∴==,
∴AC=2DE=2x.
在Rt△ACD中,AC=2x,CD=3x,根据勾股定理,得AD===x.
∴sin A==,cos A==,
tan A==.
(答案图)
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=1,现给出下列结论:①sin A=;②cos B=;③tan A=2;④sin B=.其中正确的是 .(填序号)
②③
5.如图,AD,AE分别是△ABC的边BC上的高和中线,已知BC=8,tan B=,∠C=45°.求:
(1)AD的长;
解:(1)∵AD是△ABC的边BC上的高,∠C=45°,
∴△ACD是等腰直角三角形,AD=DC.
∵tan B==.
设AD=x,则DC=x,BD=3x.
∵BD+DC=BC=8,∴3x+x=8,解得x=2,
∴AD的长为2.
(2)sin∠BAE的值.
(2)如答案图,过点E作EF⊥AB于点F.
∵AE是△ABC的边BC上的中线,BC=8,
∴BE=EC=BC=4.
由(1)知,DC=2,∴ED=EC-DC=4-2=2,
∴AE===2.
在Rt△BEF中,∵tan B==,
∴设EF=y,则BF=3y.
(答案图)
∵EF2+BF2=BE2,∴y2+(3y)2=42,
解得y=(负值已舍去),∴EF=,
∴sin∠BAE===.
(答案图)(共22张PPT)
28.2 解直角三角形及其应用
28.2.1 解直角三角形
1.解直角三角形的概念
直角三角形中有6个元素,分别是三条边和三个角,由直角三角形中的已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.
2.直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
(1)三边之间的关系: ;
(2)两锐角之间的关系: ;
(3)边角之间的关系:
sin A= =cos B,cos A= =sin B,tan A= =;
(4)面积公式:
S△ABC= ab= ch(h为斜边上的高).
a2+b2=c2
∠A+∠B=90°
3.解直角三角形的一般解法
在直角三角形除直角外的五个元素中,若已知其中的两个元素(至少有一条边),就可以求出另外三个元素,有如下四种类型:
在Rt△ABC中,∠C=90°
已知 选择的边角关系
斜边和一 直角边 c,a 由sin A=,求∠A;∠B=90°-∠A;
b=
两直角边 a,b 由tan A=,求∠A;∠B=90°-∠A;
c=
斜边和一 锐角 c,∠A ∠B=90°-∠A;a=c·sin A;b=c·cos A
一直角边 和一锐角 a,∠A ∠B=90°-∠A;
b=;c=
注意:(1)在解非直角三角形的问题中,往往是通过作三角形的高,构成直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高;对于较复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法,构造直角三角形.
(2)在选择边角关系时常遵循以下原则:①尽量选可以直接用原始数据的关系式;②设法选择便于计算的关系式,若能用乘法计算就避免用除法计算.
解直角三角形
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,
∠C的对边,根据下列条件解直角三角形:
(1)c=8,∠A=60°;
解:(1)∠B=90°-∠A=90°-60°=30°.
∵sin A=,∴a=c·sin A=8× =4.
∵cos A=,∴b=c·cos A=8× =4.
(2)b=2,c=4.
(2)∵a2+b2=c2,
∴a===2.
∵cos A===,∴∠A=45°,
∴∠B=90°-∠A=45°.
如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,sin C=.
(1)求BC的长;
解:(1)如图,过点A作BC边上的垂线,垂足为D.
在Rt△ADC中,sin C==,
∴AD=AC·sin C=15×=12.
由勾股定理,得CD=
==9,
BD===5,
∴BC=BD+CD=14.
(2)求tan B的值.
(2)在Rt△ABD中,tan B==.
[方法归纳] 解直角三角形的关键:(1)找到与已知和未知相关联的直角三角形;(2)当图形中没有直角三角形时,要通过作辅助线构造直角三角形(作某边上的高是常用的辅助线);(3)在求解直角三角形中未知元素时,首先要分析出直角三角形中的已知元素,再根据已知元素利用勾股定理、三角函数等知识进行求解.一般要选择题目中的原始数据,尽量避免中间所得的结果参与计算.
1.在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,试根据下列条件解直角三角形.
(1)a=31,c=31;
解:(1)∵sin A===,
∴∠A=45°,∠B=90°-∠A=45°,
∴b=a=31.
(2)∠B=60°,a+b=6.
(2)∵tan B=tan 60°==,∴b=a,
∴a+b=a+a=6,解得a=3-3,
∴b=6-a=6-(3-3)=9-3.
又∵∠B=60°,
∴∠A=90°-∠B=30°,c==6-6.
2.如图,在△ABC中,BD⊥AC,AB=8,AC=6,∠A=30°.
(1)求线段AD的长度;
解:(1)在Rt△ABD中,
∵∠ADB=90°,AB=8,
∠A=30°,
∴AD=AB·cos A=4.
(2)请求出sin C的值.
(2)∵AC=6,AD=4,
∴CD=AC-AD=2.
∵∠A=30°,AB=8,∠ADB=90°,∴BD=4.
在Rt△CBD中,BC==2,
∴sin C===.
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,cos A=,点D是AB边的中点,连接CD,过点D作CD的垂线,与边BC相交于点E.
(1)求线段CE的长;
解:(1)∵∠ACB=90°,AC=6,cos A==,
∴AB==10,∴BC==8.
又∵点D为AB的中点,∴AD=BD=CD=AB=5,
∴∠DCB=∠B,∴cos∠DCB=cos B==.
∵CD⊥DE,∴cos∠DCB=,∴CE==.
(2)求sin∠BDE的值.
(2)如图,过点E作EF⊥AB于点F,
由(1)知CE=,
则BE=8-=,DE==,
∴EF=BE·sin B=,
∴sin∠BDE==.
解直角三角形的应用
如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC,BC.测得BC=221 m,∠ACB=45°,∠ABC=58°.根据测得的数据,求AB的长.(结果取整数,参考数据:sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60)
[分析] 通过作高,构造直角三角形,利用直角三角形的边角关系,列方程求解即可.
解:如答案图,过点A作AD⊥BC,垂足为D.
∵∠ACB=45°,∴AD=CD.设AB=x,
在Rt△ADB中,AD=AB·sin 58°≈0.85x,
BD=AB·cos 58°≈0.53x.
又∵BC=221 m,即CD+BD=221 m,
∴0.85x+0.53x=221,
解得x≈160.
答:AB的长约为160 m.
(答案图)
[思维点拨] 添加辅助线解非直角三角形时,注意要将已知的特殊角放在直角三角形中.
4.如图,某研究性学习小组为测量学校A到对岸凉亭B之间的距离,在学校附近选一点C,利用测量仪器测得∠A=α,∠C=90°,AC=4 km,则学校与凉亭之间的距离AB等于 ( )
A.4sin α km
B. km
C. km
D.4tan α km
C
5.如图,某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照,计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬.已知苗圃的(南北)宽AB=6.5米,该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是∠DAE=76.5°,最小夹角是∠DBE=29.5°.求遮阳蓬的宽CD和到地面的距离CB.
解:如答案图,过点D作DF⊥EB于点F,
在Rt△ADF中,∠AFD=90°,
∴DF=AF·tan∠FAD=AF·tan 76.5°≈AF.
在Rt△BDF中,∠BFD=90°,
∴DF=BF·tan∠FBD=(AF+AB)·tan 29.5°
≈(AF+6.5),
∴AF=(AF+6.5),解得AF=1(米),
∴DF=×1=4.2(米),
(答案图)
∴BF=AB+AF=6.5+1=7.5(米).
∵∠AFD=∠ABC=∠C=90°,
∴四边形BCDF是矩形,
∴CD=BF=7.5米,BC=DF=4.2米.
答:遮阳蓬的宽CD为7.5米,遮阳蓬到地面的距离CB为4.2米.
(答案图)(共25张PPT)
第2课时 应用举例(二)
1.方向角问题
方向角:正北或正南方向线与目标方向线所形成的小于90°的角叫做方向角.如图,目标方向线OA,OB,OC的方向角分别可以表示为北偏东45°,南偏东60°,南偏西30° ,其中南偏东45°习惯上叫做东南方向,北偏东45°习惯上叫做东北方向,北偏西45°习惯上叫做西北方向,南偏西45°习惯上叫做西南方向.
例:如图,渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上,渔船向正东方向航行了12 km到达B 处,在B 处看到灯塔C在正北方向上,则A处与灯塔C的距离是 km.(结果保留根号)
8
2.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);
(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.
利用方向角解决距离问题
(2024·重庆)如图,A,B,C,D分别是某公园四个景点,B在A的正东方向,D 在A的正北方向,且在C 的北偏西60° 方向,C在A的北偏东30°方向,且在B的北偏西15° 方向,AB=2千米.(参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(1)求BC的长度(结果精确到0.1千米);
解:(1)如答案图,过点B作BE⊥AC于点E.
由题意可知,∠DAB=90°.
∵∠DAC=30°,
∴∠EAB=60°,∠EBA=30°,
∴AE=AB·sin∠EBA=1千米,
BE=AB·cos∠EBA=千米.
∵C在B的北偏西15°方向,
∴∠EBC=90°-30°-15°=45°,
∴△EBC是等腰直角三角形,
∴CE=BE=千米,BC=BE=≈2.5千米,
∴BC的长度约为2.5千米.
(答案图)
(2)甲、乙两人从景点D出发去景点B,甲选择的路线为:D-C-B,乙选择的路线为:D-A-B.请计算说明谁选择的路线较近
(2)如答案图,过点C作CF⊥AD于点F.
由(1)知,AE=1千米,CE=千米,
∴AC=AE+CE=(1+)千米.
在Rt△ACF中,CF=AC·sin 30°=(千米),
AF=AC·cos 30°=(千米).
∵D在C的北偏西60°方向,∴∠DCF=30°,
∴DF=CF·tan 30°=(千米),
(答案图)
CD==(千米),
∴AD+AB=++2=≈5.15(千米),
CD+BC=+≈4.03(千米).
∵4.03<5.15,
∴甲选择的路线比较近.
(答案图)
1.如图,小兵同学从A处出发向正东方向走x米到达B处,再向正北方向走到C处.已知∠BAC=α,则A,C两处相距 ( )
A.米 B.米
C.x·sin α米 D.x·cos α米
B
2.如图,一条自西向东的道路上有两个公交站点,分别是B和C,在B的北偏东60°方向上有另一公交站点A.经测量,A在C的北偏西30°方向上,一辆公交车从B出发,沿BC行驶(1 500-1 500)米到达D处,此时D在A的西南方向.(参考数据:≈1.414,≈1.732)
(1)求CD的距离;(结果保留根号)
解:(1)如答案图,过点A作AE⊥BC于点E,
根据题意可得,∠DAE=45°,∠ABE=30°,
∠ACE=60°,
在Rt△ABE中,BE=AE,
在Rt△ADE中,AE=DE,
在Rt△AEC中,EC=AE.
∵BD=BE-DE=AE-AE=(-1)AE=1 500-1 500,
∴AE=1 500米,
∴CD=DE+EC=AE+AE=×1 500=(1 500+500)米.
(答案图)
(2)该公交车原计划由D→C行驶,其平均速度为400米/分,但当行驶到D点时,接到通知,DC段道路正在维修,需要沿D→A→C绕道行驶,为了尽快到达C站点,绕道时其平均速度提升到500米/分.那么原计划所用时间和实际所用时间相比,哪个更少 请说明理由.(结果保留1位小数)
(2)在Rt△ADE中,AD=AE,
在Rt△AEC中,AC==AE,
∴DA+AC=AE+AE=(1 500+1 000)米,
沿D→C行驶原计划所需时间为:
≈5.9(分),
沿D→A→C绕道行驶实际所需时间为:
≈7.7(分).
∵7.7>5.9,
∴原计划所用时间更少.
(答案图)
利用方向角中解决航行问题
湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病,需要救援.位于湖面点B处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该游客,再沿CA方向行驶,与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.已知C在A的北偏东30°方向上,B在A的北偏东60°方向上,且在C的正南方向900 m处.
(1)求湖岸A到码头C的距离;(结果精确到1 m,参考数据:≈1.732)
解:(1)如答案图,延长CB到点D,过点A作AD⊥CD于点D,
根据题意可知,∠NAC=∠CAB=∠BAD=30°,BC=900 m,BC∥AN,
∴∠C=∠NAC=30°=∠CAB,
∴AB=BC=900 m.
∵∠BAD=30°,∠D=90°,
∴AD=AB·cos 30°=AB=450 m,
∴AC=2AD=900≈1 559 m.
答:湖岸A到码头C的距离约为1 559 m.
(答案图)
(2)救援船的平均速度为150 m/min,快艇的平均速度为400 m/min,在接到通知后,快艇能否在5 min内将该游客送上救援船 请说明理由.(接送游客上下船的时间忽略不计)
(2)设快艇在x min内将该游客送上救援船.
∵救援船的平均速度为150 m/min,快艇的平均速度为400 m/min,
∴150x+(400x-900)=1 559,解得x≈4.5.
∵4.5<5,
∴快艇能在5 min内将该游客送上救援船.
3.如图,海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行,在点B测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12 n mile到达点C,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,则小岛A到航线BC的距离是 n mile.(≈1.73,结果精确到0.1)
10.4
4.如图,避风港M在岛礁P的正东方向上.一艘渔船在AB航线上正以40海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在北偏东45°方向上,继续航行1.8小时后到达B处时测得岛礁P在北偏东22°方向上,避风港M在北偏东53°方向上,求此时渔船离避风港的距离BM.(参考数据:tan 22°≈0.40,sin 53°≈0.80,cos 53°≈0.60,tan 53°≈1.33)
解:过点P,M分别作PC⊥AB,MD⊥AB,交AB的延长线于点C,D,如答案图.
由题意可知,AB=40×1.8=72(海里).
易知四边形PCDM为矩形,∴PC=MD.
设PC=x海里,
在Rt△APC中,AC=PC·tan45°=x海里,
在Rt△BPC中,
∠BPC=22°,BC=PC·tan22°≈0.4x海里.
∵AC-BC=AB,∴x-0.4x=72,
(答案图)
解得x=120,∴MD=120海里,
在Rt△BMD中,∠BMD=53°,
BM=≈=200(海里).
答:此时渔船离避风港的距离BM为200海里.
(答案图)
5.如图,一艘渔船以每小时30海里的速度自东向西航行,在点B处测得补给站点C在北偏西30°方向上,继续航行2小时后到达点A处,测得补给站点C在北偏东60°方向上.
(1)求此时渔船到补给站点C的距离;(结果保留根号)
解:(1)由题意,得AB=30×2=60(海里),
∠CAB=90°-60°=30°,
∠CBA=90°-30°=60°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=90°.
在Rt△ACB中,
AC=AB·sin 60°=60×=30(海里),
∴此时渔船到补给站点C的距离为30海里.
(2)此时渔船发现在点A的北偏西15°方向上的点D处有大量鱼群,渔船联系了补给站,决定调整方向以原速前往作业,与此同时补给站点C测得点D在北偏西75°方向上,并立即派出补给船给渔船补给食物和淡水,若两船恰好在点D处相遇,求补给船的速度.(精确到十分位,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45)
(2)如答案图,过点A作AE⊥CD,垂足为E,
∴∠AEC=∠AED=90°.
由题意,得∠DAC=15°+60°=75°,FA∥CG.
∴∠ACG=∠FAC=60°,
∴∠ACD=180°-75°-60°=45°,
∴∠EAC=90°-∠ACD=45°,
∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=30°.
在Rt△AEC中,AC=30海里,
∴AE=AC·sin 45°=30×=15(海里),
(答案图)
CE=AE=15海里.
在Rt△ADE中,
DE=AE·tan 30°=15×=15(海里).
∴AD==30海里,
∴DC=DE+CE=(15+15)海里.
∴渔船到达点D处共需=(小时),
∴补给船的速度为
=15+15≈41.0(海里/时).
(答案图)(共19张PPT)
28.2.2 应用举例
第1课时 应用举例(一)
仰角与俯角
测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做 ,视线在水平线下方的角叫做 .
铅垂线:重力线方向的直线.
仰角
俯角
水平线:与铅垂线垂直的直线.一般情况下,地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线.
例:如图, ∠ BCA= ∠ DEB=90°,FB∥AC∥DE.
(1)从A看B的仰角是 ;
(2)从B看A的俯角是 ;
(3)从B看D的俯角是 ;
(4)从D看B的仰角是 .
∠BAC
∠FBA
∠FBD
∠BDE
利用仰角、俯角解决实际问题
如图,明明在居民楼ABCD前面空旷的广场上放飞无人机.已知,居民楼高90米(AB=90米),明明站在广场上的点E处测得点A的仰角为45°,E,B,C在同一水平线上,然后,明明将无人机竖直向上飞到点F处,此时测得点A的俯角为30°.(不考虑明明的身高)
(1)求无人机竖直飞行的高度;(结果保留根号)
解:(1)延长BA,交FM于点G,如答案图,
由题意,得∠AEB=45°,∠GFA=30°,
∠FEB=∠EBA=∠FGB=90°,
∴四边形EFGB是矩形,∴EF=GB,EB=FG.
∵∠AEB=45°,∠EBA=90°,
∴∠EAB=∠AEB=45°,
∴AB=BE=90米,∴EB=FG=90米.
∵∠GFA=30°,∠FGA=90°,
∴AG=FG×tan∠GFA=90×tan 30°=30(米),
∴EF=BG=AG+AB=(90+30)米.
答:无人机竖直飞行的高度为(90+30)米.
(答案图)
(2)若无人机到达点F处后,立即水平向右沿着射线FM的方向飞行,速度为3米/秒,请问,无人机在水平方向上飞行多少秒后会进入明明的视线盲区 (结果精确到0.1秒.参考数据:≈1.414,≈1.732)
(2)延长EA,交FM于点N,如答案图,
结合图形可知,当无人机飞过N点后,即进入明明的视线盲区.
由(1)得,EF=(90+30)米,
∠EAB=∠AEB=45°,∠EFG=∠FEB=90°,
(答案图)
∴∠FEA=45°,
∴∠FEA=∠FNA=45°,
∴FN=EF=(90+30)米,
∴飞行时间为:FN÷3=≈47.3(秒).
答:无人机在水平方向上飞行47.3秒后会进入明明的视线盲区.
(答案图)
1.如图,距离地面高m米的点A处,用测倾仪测得树顶端C点的仰角为α,测得树底端D点的俯角为45°,则树的高CD为 ( )
A.(m+mtan α)米
B.(m+mcos α)米
C.(m+msin α)米
D.米
A
2.如图,为了测量某风景区内一座古塔CD的高度,某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处测得古塔顶部C的仰角为45°和30°.已知高楼AB的高为24 m,则古塔CD的高度约是 m.(≈1.732,≈1.414,结果保留一位小数)
56.8
3.如图所示,在大楼AB的正前方有一斜坡CD(坡角∠DCE=45°),在它们之间有一片水域,现要测量大楼AB的高度.小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为60°;当热气球探测器竖直向上上升到点F处,测得楼顶点B处的仰角为30°.已知CD=30米,DF=60米,其中点A,C,E在同一直线上.(参考数据:≈1.414,≈1.732)
(1)求斜坡CD的高度DE(精确到十分位);
解:(1)∵CD=30米,∠DCE=45°,
∠DEC=90°,
∴DE=CD·sin∠DCE=30×≈21.2(米).
答:斜坡CD的高度DE的长为21.2米.
(2)求大楼AB的高度(精确到十分位).
(2)如答案图,过点F作FG⊥AB于点G,过点D作DH⊥AB于点H.
∵∠FDH=∠DFG=90°,
∠BFG=30°,∠BDH=60°,
∴∠FDB=30°,
∠DFB=90°+30°=120°,
∴∠FBD=180°-120°-30°
=30°,
(答案图)
∴∠FDB=∠FBD=30°,
∴FD=FB=60米.
在△BFG中,∠BFG=30°,∠FGB=90°,
∴BG=FB=30米.
∵∠FDH=∠DFG=∠FGH=90°,
∴四边形DFGH是矩形,
∴FD=GH=60米.
同理可得,DE=AH=21.2米,
∴AB=BG+GH+AH=30+60+21.2=111.2(米).
答:大楼AB的高度为111.2米.
(答案图)
如图,某校科技节当天,无人机兴趣小组在操场上展开活动,此时无人机在离地面30 m的点D处,操控者从点A处观测无人机D的仰角为30°,无人机D测得教学楼BC顶端点C处的俯角为37°,又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为64 m,点A,B,C,D都在同一平面上.
(1)求此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE;(结果保留根号)
解:(1)如图,过点C作CF⊥DE,垂足为F.
由题意,得CF=BE,BC=EF,AB=64 m,DE=30 m.
在Rt△ADE中,∠DAE=30°,
∴AE===30(m),
∴CF=BE=AB-AE=(64-30)m.
∴此时无人机D与教学楼BC之间的水平距离BE为(64-30)m.
(2)求教学楼BC的高度.(结果取整数)
(参考数据:≈1.73,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
(2)在Rt△DCF中,∠DCF=∠GDC=37°,
∴DF=CF·tan 37°≈(64-30)×0.75
=m,
∴BC=EF=DE-DF=30-
=-18≈21(m),
∴教学楼BC的高度约为21 m.
4.如图,某政府为了测量建在山上的信号塔BC的高度,先在附近一办公楼底端点D处测得信号塔BC的顶端点C的仰角为56°,然后在办公楼顶端点E处测得信号塔BC的底端点B的俯角为18°.若山高AB为60 m,办公楼DE的高为90 m,则信号塔BC的高度为 .(参考数据:tan 56°≈1.5,tan 18°≈0.3)
90 m
5.如图,在小山的东侧点A处有一热气球,由于受风力影响,它以20 m/min的速度沿着与水平线成75°角的方向飞行,30 min后到达点C处,此时热气球上的人发现热气球与山顶点P及小山西侧的点B处在一条直线上,同时测得点B处的俯角为30°.在点A处测得山顶点P的仰角为60°,求小山的高度.(结果保留根号)
解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,过点P作PE⊥AB于点E.由题意,
得∠ACD=75°-30°=45°,AC=20×30=600(m),
则AD=AC·sin∠ACD=600×=300(m).
∵∠DCF=∠B=30°,∴AB=2AD=600 m.
设PE=x m,
∵∠PAE=60°,∴AE=x m.
∵∠B=30°,∴BE=x m,∴x+x=600,
解得x=150,即PE=150 m.
答:小山的高度为150 m.(共22张PPT)
第3课时 应用举例(三)
1.坡角
坡面与 的夹角.
2.坡度
坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(坡比).一般情况下,我们用h表示坡的铅直高度,用l表示水平宽度,用i表示坡度,则坡度i与坡角α的关系为i==tan α,即坡度是坡角的正切值,坡角越大,坡度也就越大.
水平面
注意:(1)坡度是两条线段的比,不是度数,即i=一般写成1∶m的形式(比的前项是1,后项可以是整数,也可以是小数或根式).
(2)在直线y=kx+b(k≠0)中,=直线的坡度,直线与x轴的夹角是坡角.
例:如图,某河坝的横断面为等腰梯形ABCD,坝顶宽10米,坝高12米,斜坡AB的坡度i=1∶1.5,则坝底AD的长度为 米.
46
利用坡度解决实际问题
为了防洪需要,某地决定新建一座拦水坝,如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比.已知斜坡CD长度为20米,∠C=18°,求斜坡AB的长.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 18°≈0.31,cos 18°≈0.95,tan 18°≈0.32)
解:如答案图,过点D作DE⊥BC,垂足为E,
由题意,得AF⊥BC,DE=AF.
∵斜面AB的坡度i=3∶4,
∴=,
∴设AF=3x米,则BF=4x米,
在Rt△ABF中,
AB===5x(米).
在Rt△DEC中,∠C=18°,CD=20米,
∴DE=CD·sin 18°≈20×0.31=6.2(米),
(答案图)
∴AF=DE=6.2米,
∴3x=6.2,解得x=,
∴AB=5x≈10.3(米),
∴斜坡AB的长约为10.3米.
(答案图)
1.如图,在外力的作用下,一个滑块沿坡度为i=1∶3的斜坡向上移动了10 m,此时滑块上升的高度是 ( )
A. m
B. m
C.3 m
D.10 m
A
2.安徽浮山是中国第一文山,爬山是居民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一.如图,某个周末小明同学从浮山山底沿斜坡AB爬了260米到达B处,紧接着又向上爬了坡角为45°的山坡90米,最后到达山顶P处.若AB的坡度为1∶2.4,请你计算浮山的高度PC.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.414)
解:如图,过点B作BE⊥AC于点E,则四边形DCEB为矩形,
∴DC=BE.
∵AB的坡度为1∶2.4,
AB=260米,
∴设BE=5x米,则AE=12x米,
在Rt△ABE中,AB=
=13x=260,
解得x=20,
则BE=20×5=100(米).
在Rt△PBD中,∠PBD=45°,PB=90米,
∴PD=PB×sin 45°
=90×=45≈63.6(米),
∴PC=PD+DC=163.6米.
答:浮山的高度PC约为163.6米.
仰角、俯角及坡度问题的综合应用
“轻轨飞梭如影重,上天入地驶楼中”,8D魔幻城市重庆吸引了全国各地的游客,而李子坝的“轻轨穿梭”成了游客们争相打卡的热门景点.如图,已知斜坡CD的底端C距离轻轨所穿楼栋AB的底端A处30米远,斜坡CD长为42米,坡角为30°,且DE⊥CE.为了方便游客拍照,现需在距斜坡底端C处12米的M处挖去部分坡体,修建一个平行于水平线CE的观景平台MN和一条新的坡度为1∶1的斜坡DN.
(1)求观景平台MN的长;
(结果保留根号)
解:(1)如图,由题意,得MF⊥DE,FM∥EC,
∴∠DMF=∠DCE=30°.
∵DC=42米,CM=12米,
∴DM=CD-CM=30米.
在Rt△DFM中,
DF=DM·sin 30°=15米,
FM=DM·cos 30°=15米.
在Rt△DFN中,DF=FN=15米.
∴MN=FM-FN=(15-15)米.
答:观景平台MN的长为(15-15)米.
(2)小高在N处测得轻轨所穿楼栋AB顶端B的仰角为30°,点A,B,C,D,E在同一个平面内,点A,C,E在同一条直线上,且AB⊥AE,求轻轨所穿楼栋AB的高度.(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732)
(2)如图,过点N作NH⊥AB于点H.由题意,得
FN=EP=15米,EF=AH,FH=EA.
在Rt△DEC中,
∠DCE=30°,CD=42米,
∴DE=CD·sin 30°=21米,
CE=CD·cos 30°=21米.
∵AC=30米,
∴FH=AE=AC+CE=(30+21)米,
∴NH=FH-FN=30+21-15=(21+15)米.
在Rt△BNH中,∠BNH=30°,
∴BH=NH·tan 30°=(21+15)×=(21+5)米.
∵DF=15米,
∴EF=AH=DE-DF=21-15=6(米),
∴AB=BH+AH=27+5≈35.7(米).
答:轻轨所穿楼栋AB的高度约为35.7米.
3.如图,小明在距离地面30 m的P处测得斜坡A处的俯角为15°,B处的俯角为60°.若斜面坡度为1∶,则斜坡AB的长是 m.
20
4.周末,小明和小红相约爬山到山顶点C处观景(山脚处的点A,B在同一水平线上).小明在A点处测得山顶点C的仰角为30°,他从点A出发,沿AC爬山到达山顶C.小红从点B出发,先爬长为400米的山坡BD到达点D,BD的坡度为∶1,然后沿水平观景步道DE走了900米到达点E,此时山顶C正好在点E的东北方向1 800米处,最后爬山坡EC到达山顶C(点A,B,C,D,E在同一平面内,小明、小红的身高忽略不计).(参考数据:≈1.414,≈1.732)
(1)求山顶C到AB的距离(结果保留整数);
解:(1)如答案图,过点D作DH⊥AB于点H,过点C作CM⊥AB于点M,交DE的延长线于点K.
由题意,得DH=KM,CK⊥EK,
∵BD的坡度为∶1,
∴∠B=60°.
在Rt△DBH中,sin B==,
BD=400米,
∴DH=BD·sin B=400×=600(米).
(答案图)
在Rt△ECK中,∠CEK=45°,EC=1 800米,
∴CK=EC·sin∠CEK=900米,
∴CM=KM+CK=DH+CK=600+900≈1 873(米).
答:山顶C到AB的距离约为1 873米.
(2)若小明和小红分别从点A,B同时出发,小明的爬山速度为70米/分,小红的爬山速度为60米/分(小红在山坡BD和山坡EC段的速度相同),小红的平路速度为90米/分,请问谁先到达山顶C处 请通过计算说明理由.
(2)小红先到达山顶C处,理由如下:
在Rt△ACM中,∠CAM=30°,
∴AC=2CM=(1 200+1 800)米,
∴小明到达山顶所需时间为:
≈53.5(分),
小红到达山顶所需时间为:
+≈51.5(分).
∵53.5>51.5,
∴小红先到达山顶C处.
