(共16张PPT)
29.2 三视图
第1课时 定义及画法
1.三视图
当我们从某一方向观察一个物体时,所看到的平面图形叫做物体的一个 .
对一个物体在三个投影面内进行正投影,在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做 图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做 图;在侧面内得到的由左向右观察物体的视图,称为 图.
视图
主视
俯视
左视
2.三视图与物体的关系
主视图反映物体的 和 ,左视图反映物体的 和 ,俯视图反映物体的 和 .
长
高
高
宽
长
宽
3.画三视图的注意事项
(1)位置:主视图在 ,它的 是俯视图,左视图在主视图的 .
(2)大小:主视图和俯视图要 ;主视图和左视图要 ;左视图和俯视图要 .
(3)画图时规定:看得见部分的轮廓线画成 ,因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成 .
注意:为表示圆柱、圆锥等的对称轴,规定在视图中加画点划线表示对称轴.
左上边
正下方
右边
长对正
高平齐
宽相等
实线
虚线
几何体的三视图
(1)如图,将一个长方体内部挖去一个圆柱,这个几何体的主视图是 ( )
A
B
C
D
A
(2)如图所示的立体图形的俯视图为( )
A
B
C
D
B
(3)将一个大正方体的一角截去一个小正方体,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图是 ( )
D
1.(2024·自贡)下列几何体中,俯视图与主视图形状相同的是 ( )
A
B
C
D
C
2.如图所示的几何体的俯视图是 ( )
C
组合体的三视图
(1)由5个相同的小正方体组成的几何体如图1所示,该几何体的左视图是 ( )
图1
A
B
C
D
D
(2)如图2是由长方体和圆柱体组成的几何体,则它的主视图是 ( )
图2
A
B
C
D
A
3.如图所示的六角螺栓,其俯视图是 ( )
A
4.在桌面上放着一个长方体和一个圆柱,按如图所示的方式摆在一起,那么从左面看到的是 ( )
C
5.一个几何体由大小相同的小立方块搭成,其俯视图如图所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,下面能正确表示该几何体的主视图的是 ( )
B
画几何体的三视图
画出三棱柱和底面是直角梯形的四棱柱(如图所示)的三视图.
解:三棱柱的三视图如答案图1,
(答案图1)
底面是直角梯形的四棱柱的三视图如答案图2.
(答案图2)
6.画出图中几何体的三视图.
解:三视图如图.(共15张PPT)
第2课时
三视图与立体图形
1.由三视图想象立体图形的方法
由三视图想象几何体的形状,首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左面的形状,然后综合起来考虑整体图形.
2.由三视图想象几何体形状的常用途径
(1)根据主视图、俯视图和左视图想象几何体
的 的形状,以及几何体
的 .
前面、上面和左面
长、宽、高
(2)从实线和虚线想象几何体看得见部分和看不见部分的轮廓线.
(3)熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助.
(4)利用由三视图画几何体与由几何体画三视图的互逆过程,反复练习,不断总结方法.
注意:(1)由三视图描述立体图形的形状要对三视图进行综合分析、想象,仅仅一个方向的视图只能反映立体图形的部分信息.
(2)一个摆好的几何体的视图是唯一的,但从视图反过来考虑几何体时,它有多种可能性.
通过三视图确定立体图形
(1)下列图形是某几何体的三视图,则这个几何体是 ( )
A.三棱柱 B.三棱锥
C.圆柱 D.圆锥
C
(2)已知某物体的三视图如图所示,那么与它对应的物体是 ( )
B
(3)(2024·成都外国语)用小立方块搭一个几何体,其主视图和俯视图如图所示,则搭成这个几何体最少需要 个小立方块,最多需要 个小立方块.
[方法点拨] (1)通过三视图联想立体图形,要注意在生活中多观察,才能迅速建立关联,准确想象出图形.(2)求搭成的几何体所需小正方体个数,可利用俯视图,结合主视图或左视图,写出需要小正方体最多、最少的情形的个数.
9
13
1.几何体的三视图如图所示,这个几何体是 ( )
C
2.如图是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图,则组成这个几何体的小正方体的个数最多是 ( )
A.7个 B.6个 C.5个 D.4个
C
利用三视图解决立体图形的相关计算
(1)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的侧面积是 ( )
A.12π B.15π
C.18π D.24π
B
(2)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为 ( )
A.1 B.2
C. D.4
B
(3)如图是一个几何体的三视图及相关数据,则下列判断正确的是 ( )
A.a2+b2=c2
B.a2+b2=4c2
C.a2+c2=b2
D.a2+c2=b2
C
[分析] (1)先根据三视图推测几何体为圆锥,再确定圆锥的尺寸,最后代入侧面积公式S=πrl计算即可;(2)由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱,根据体积=底面积×高,把相关数值代入即可求解;(3)根据三视图推测几何体为圆锥,则主视图与左视图为全等的等腰三角形,根据勾股定理即可得到a,b,c之间的关系.
[易错提示] 解此类题要将三视图中的尺寸与立体图形建立准确的对应关系.
3.如图是一个几何体的三视图(图中尺寸单位:cm),根据图中所示数据可计算出该几何体的侧面积为 ( )
A.60π cm2 B.66π cm2
C.69π cm2 D.78π cm2
A
4.如图是某几何体的三视图,根据图中数据,求得该几何体的体积为 ( )
A.800π+1 200 B.160π+1 700
C.3 200π+1 200 D.800π+3 000
D
5.某物体的三视图如图:
(1)此物体是 体;
(2)求此物体的表面积.(结果保留π)
解:(2)根据圆柱的表面积公式可得,
此物体的表面积为
20π×40+2×π×102=1 000π.
圆柱(共18张PPT)
第2课时 投影作图
思考:观察下图,并填空.
(1)图①与图②③的投影线有什么区别
图①投影线集中于一点,属于 投影;
图②③投影线互相平行,属于 投影.
中心
平行
(2)图②③的投影线与投影面的位置关系有什么区别
图②投影线与投影面 ;
图③投影线与投影面 .
不垂直
垂直
1.正投影
投影线垂直于投影面产生的投影叫做 .
(1)当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小 .
(2)当物体的某个面倾斜于投影面时,这个面的正投影与这个面的形状、大小 .
(3)当物体的某个面垂直于投影面时,这个面的正投影为 .
注意:正投影是一种特殊的平行投影.
正投影
完全相同
不完全相同
一条线段
2.投影作图
(1)在平行投影的情况下,物体顶端、影子顶端的连线与太阳光线是平行的,根据这一特点,可以作出同一时刻阳光下不同高度的物体的影子,也可以根据一个物体的影子,绘制出太阳光线,再利用太阳光线互相平行的特点作出其他物体的影子.
(2)在中心投影的情况下,点光源、物体顶端、影子顶端在同一条直线上,根据其中的两个点,就可以确定第三个点的位置,灯光下物体的影长与物体的高度不一定成比例;分别过两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线,这两条直线的交点即为光源的位置.
正投影
(1)下列说法正确的是 ( )
A.三角形的正投影一定是三角形
B.长方体的正投影一定是长方形
C.球的正投影一定是圆
D.圆锥的正投影一定是三角形
C
(2)一个圆柱的轴截面平行于投影面,圆柱的正投影是边长为4的正方形.求这个圆柱的表面积和体积.
解:由题意,得
圆柱的底面半径r==2,高h=4.
S侧=2π rh=2π×2×4=16π,
S表=S侧+2S底=16π+2×π×22=16π+8π=24π .
V=π r2h=π×22×4=16π .
[思维点拨] (1)物体的正投影可看作是从观察方向看到的物体的最大截面图形;(2)正投影计算的关键是找准物体与其正投影之间的对应关系,然后根据图形的相关计算公式进行计算.
1.下列说法正确的是 ( )
A.物体在太阳光下产生的投影是物体的正投影
B.正投影一定是平行投影
C.物体在灯光下产生的投影是物体的正投影
D.正投影可能是中心投影
B
2.下列投影中,正投影有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
3.在阳光下,一个矩形木框在地面上形成的投影不可能是 ( )
A
B
C
D
A
4.当投影线从物体的左方射到右方时,画出下列图形的正投影.
解:作图如答案图:
投影相关的计算
如图,棱长为的正方体的侧棱与平面H平行,其上下底面的对角线AC,A1C1与平面H垂直.
(1)作出正方体六个面在平面H上的正投影;
解:(1)如答案图,正方体六个面在平面H上的正投影为矩形MNPQ.
(答案图)
(2)计算正投影的面积.
(2)∵正方体的棱长为 ,
∴BD==2.
∴MQ=BD=2,PQ=DD1=.
∴正投影的面积为2×=2.
5.如图,A1B1是线段AB在投影面P上的正投影,AB=20 cm,∠ABB1=70°,则投影A1B1的长为 ( )
A.20sin 70° cm
B.20cos 70° cm
C.20tan 70° cm
D. cm
A
6.如图,已知AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5 m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=4 m.
(1)请你画出此时DE在阳光下的投影;
解:(1)如答案图,连接AC,过点D作DF∥AC,交直线BE于点F,则EF就是此时DE在阳光下的投影.
(答案图)
(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6 m,请计算DE的长.
(2)∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.
又∵∠ABC=∠DEF=90°,
∴△ABC∽△DEF.
∴=.
∵AB=5 m,BC=4 m,EF=6 m,
∴DE==7.5 m.
7.如图,在路灯下,小高的身高如图中线段AB,他在地面上的影子如图中线段AC,小亮的身高如图中线段FG,路灯灯泡在线段DE上.
(1)请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子;
解:(1)如答案图,点O为灯泡所在的位置,线段FH为小亮在灯光下形成的影子.
(答案图)
(2)如果小高的身高AB=1.6 m,他的影子长AC=1.4 m,且他到路灯的距离AD=2.1 m,求灯泡的高.
(2)由已知,可得=,即=,
解得DO=4(m).
∴灯泡的高为4 m.(共27张PPT)
29.1 投 影
第1课时
平行投影与中心投影
1.投影
一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的 ,照射光线叫做 ,投影所在的平面叫做 .
投影
投影线
投影面
注意:(1)形成投影应该具备的条件:①要有光源;②需要有一个呈现投影的平面;③要有物体存在且物体处于光源与投影面之间.这三者缺一不可.(2)一般情况下,光线移动时,物体投影的大小、方向也随之变化,在同等条件下(相同的投影线与投影面),不同形状的物体的投影可能相同.
2.平行投影
(1)平行投影:由 形成的投影叫做 .例如,太阳光可以看成平行光线,物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影.
平行光线
平行投影
(2)平行投影的特征:
①同一地点,等高的物体垂直于地面放置时,它们在太阳光下的投影长度相等,如图1所示.
②同一地点,等长的物体平行于地面放置时,它们在太阳光下的投影长度相等.如图2所示.
③同一地点,不等高的物体垂直于地面放置时,它们在太阳光下的投影长度与物高成比例,即=.如图3所示.
注意:平行投影中物体与其投影的对应点的连线是相互平行的.判断投影是不是平行投影的方法是看光线是否平行,如果光线是平行的,所得到的投影就是平行投影;反之,就不是.
3.中心投影
(1)中心投影:由 形成的投影叫做中心投影.例如,物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影.
同一点(点光源)发出的光线
(2)在同一点光源下,中心投影的物高与投影长度的关系:①在灯光下,等高的物体垂直地面放置时,物体离点光源越近,投影长度越短;离点光源越远,投影长度越长;②在灯光下,等长的物体平行于地面放置时,离点光源越近,投影长度越长;离点光源越远,投影长度越短,但不会比物体本身的长度短.
注意:(1)中心投影的光线相交于一点,这个交点即为点光源的位置.(2)在中心投影下,点光源、物体边缘上的点以及它在投影上的对应点在 ,根据其中两个点,就可以找出第三个点的位置.
同一条直线上
4.平行投影与中心投影的比较
平行投影 中心投影
性 质 投影线 投影线
判 断 方 法 分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线,若 ,则为平行投影 分别自两个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线,若 ,则为中心投影,其交点为点光源的位置
互相平行
交于一点
平行
相交
平行投影与中心投影的区别与联系
以下两幅图片中,请你判断各是什么情况下的投影 请仔细观察,并讨论它们有哪些异同点,为什么会有这些差异.
[分析] 根据两个物体的影子方向,结合平行投影和中心投影的特点作出判断即可.
解:图(a)中影子方向不一致,而图(b)中影子方向一致,故图(a)为灯光下产生的影子,图(b)为太阳光下产生的影子.其原因是灯光是从同一点发出的光线,而太阳光是平行光线.
1.日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器,它由“晷面”和“晷针”组成.当太阳光照在日晷上时,晷针的影子就会投向晷面.随着时间的推移,晷针的影子在晷面上慢慢地移动,以此来显示时刻.则晷针在晷面上形成的投影是 ( )
A.中心投影
B.平行投影
C.既是平行投影又是中心投影
D.不能确定
B
2.宋代诗人释惠明在《手影戏》中写道:“三尺生绡作戏台,全凭十指逞诙谐.有时明月灯窗下,一笑还从掌握来.”手影戏是一种独特的艺术形式,它的表演全部靠手部动作投影的改变,幻化形成各种不同的形象(影像).“手影戏”中的手影属于 .(填“平行投影”或“中心投影”)
中心投影
中心投影在生活中的应用
小明有一根长2 m的竹竿,他想测出自己家门前的马路旁一盏路灯的高度,但又不能直接测量,他采用了如下办法:①一天晚上,他先走到路旁的一个地方,竖直放好竹竿,测量出此时影长为1 m;②小明沿竹竿影子的方向向远处走了两根竹竿的长度,即4 m,然后又竖直放好竹竿,测量出此时竹竿的影长正好为2 m.小明说他可以计算出路灯的高度,请问小明是如何进行计算的
解:如答案图所示,OP为路灯,AE为第一次竖起的竹竿,BF为第二次竖起的竹竿,AC,BD分别为它们的影长.
设OP=x m,由题意可知△AEC∽△POC,△BFD∽△POD,
AE=2 m,AC=1 m,
BF=2 m,DB=2 m,BA=4 m.
由△AEC∽△POC,得==,
则PC=OP=x m.
∴AP=CP-CA=m.
(答案图)
由△BFD∽△POD,
得=,即=,∴DP=OP=x m.
又∵DP=DB+BA+AP=2+4+
=m,
∴x=5+x,解得x=10,即OP=10 m.
∴路灯的高度为10 m.
(答案图)
[方法总结] 光源与竹竿的上端点所在直线就是光线所在直线,找出光线所在直线是测量物体高度问题中常见的辅助线之一.
3.小明的身高比小强身高多了0.1 m,那么在同一路灯的灯光下 ( )
A.小明的影子比小强的影子长
B.小明的影子比小强的影子短
C.小明的影子和小强的影子一样长
D.无法判断谁的影子长
D
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,点P(2,3)是一个光源,木杆AB两端的坐标分别为A(0,1),B(3,1),则木杆AB在x
轴上的投影CD的长为 .
5.(2024·成都石室)在长、宽都为4 m、高为3 m的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡,为了集中光线,加上了灯罩(如图所示).已知灯罩深AN=8 cm,灯泡离地面2 m,为了使光线恰好照在相对的墙角D,E处,灯罩的直径BC约为多少 (结果保留两位小数,≈1.414)
解:如答案图,光线恰好照在墙角D,E处时,延长AN交DE于点M.
由题意可知,AN=0.08 m,AM=2 m,
由于房间的地面为边长为4 m的正方形,
则DE=4 m.
∵BC∥DE,∴△ABC∽△ADE.
∴=,即=.
∴BC≈0.23(m).
∴灯罩的直径BC约为0.23 m.
(答案图)
平行投影在生活中的应用
如图是一天中四个不同时刻两个建筑物的影子.
(1)将它们按时间先后顺序进行排列,并说一说你的理由;
解:(1)排列为CDAB,理由:太阳东升西落,随着太阳渐渐西去,影子也由正西方向向正东方向偏移.
(2)一天当中,物体在太阳光下的影子的方向是如何变化的
(2)一天当中,物体在太阳光下的影子是按正西、北偏西、正北、北偏东、正东的次序变化的.
[方法点拨] 要观察生活,注意利用太阳升降的方向来确定影子的变化方向.
6.如图是小高在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片(上午8时至下午5时之间),这五张照片拍摄时间的先后顺序是 ( )
A.①②③④⑤
B.②④①③⑤
C.⑤④①③②
D.⑤③①④②
B
7.校园中一棵树的高度为8 m,下午某一时刻它在水平地面上形成的树影长为10 m,身高1.6 m的小高想在树荫下乘凉,那么他最多可以离开树干 m才可以不被阳光晒到.(结果保留整数)
8
8.在“测量物体的高度”活动中,某数学兴趣小组的两名同学选择了测量学校里的两棵树的高度,在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作:
小芳:测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,甲树的影长为4.08米(如图1).
小华:发现乙树的影子不全落在地面上,
有一部分影子落在教学楼的墙壁上
(如图2),墙壁上的影长为1.2米,落在地
面上的影长为2.4米.
(1)在横线上直接填写甲树的高度为 米;
解:(1)设甲树的高度为x米,根据题意,得
=,解得x=5.1,
故答案为5.1.
5.1
(2)画出测量乙树高度的示意图,并求出乙树的高度.
(2)示意图如答案图,假设AB是乙树,CD所在直线为墙壁.
∴BC=2.4米,CD=1.2米,
∴=,即=,
∴CE=0.96(米),
∴=,
∴AB=4.2(米).
答:乙树的高度为4.2米.
(答案图)(共15张PPT)
29.3 课题学习
制作立体模型
1.根据三视图制作立体模型的两种方法
(1)先根据三视图想象出立体模型,画出立体模型的各个侧面,再将它们粘合起来.
(2)先根据三视图想象出立体模型,再用实物刻制出来.
2.由展开图制作立体图形
(1)熟悉常见几何体的平面展开图;
(2)弄清展开图与几何体的关系,熟记常见几何体的表面积和体积的计算公式.
由三视图制作立体模型
一组合体的三视图如图所示,该组合体是由哪几个几何体组成 并求出该组合体的表面积(单位:cm2).
解:由图形可知,该组合体是由上面一个圆锥和下面一个圆柱组成,
上面的圆锥的表面积为
×10π×5=25π(cm2),
下面的圆柱的表面积为
10π×20+π×52=225π(cm2),
故该组合体的表面积是(225π+25π)cm2.
1.(1)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的侧面积为 cm2;
4π
(2)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的
体积为 cm3.
2.如图是一个上下底密封纸盒的三视图,请回答下列问题:
(1)说出该几何体的形状;
解:(1)该几何体是六棱柱.
(2)请你根据图中数据,计算这个密封纸盒的侧面积为多少
(2)∵其高为12 cm,底面多边形
边长为5 cm,
∴其侧面积为6×5×12=360(cm2).
答:这个密封纸盒的侧面积为360 cm2.
由展开图制作立体图形
用一块边长为60 cm的正方形薄钢片制作一个长方体盒子.
(1)如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形(如图1),然后把四边折合起来(如图2).
①求做成的盒子底面积y(cm2)与截去的小正方形边长x(cm)之间的函数关系式(注明自变量取值范围);
解:(1)①由题意,得盒子底面的边长为(60-2x)cm,
∴y=(60-2x)2(0②当做成的盒子的底面积为900 cm2时,试求该盒子的容积.
②当y=900时,即(60-2x)2=900,
解得x1=15,x2=45(舍去),
∴当y=900时,小正方形的边长为15 cm,此时盒子的容积=900×15=13 500(cm3).
(2)如果要做成一个有盖的长方体盒子,其制作方案要求同时符合下列两个条件:
①必须在薄钢片的四个角上各截去一个四边形(其余部分不能裁截);
②折合后薄钢片既无空隙又不重叠地围成各盒面.
请你画出符合上述制作方案的一种草图(不必说明画法与根据),并求当表面积为2 800 cm2时,该盒子的高.
(2)由题意,得截去的四个四边形的各边如答案图所示.
根据题意,得602-4x2-2x(30-x)=2 800,
整理,得x2+30x-400=0,
解得x1=10,x2=-40(舍去).
答:当表面积为2 800 cm2时,
该盒子的高为10 cm.
(答案图)
3.如图是一个几何体的展开图.
(1)写出该几何体的名称 ;
(2)用一个平面去截该几何体,截面形状可能是 (填序号);
①三角形;②四边形;③五边形;④六边形.
长方体
①②③④
(3)根据图中标注的长度,求该几何体的表面积和体积.
解:(3)S=3×1×2+3×2×2+2×1×2=22(m2),
V=3×2×1=6(m3),
∴该几何体的表面积为22 m2,体积为6 m3.
