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第23章 旋转
一、生活中的旋转
1．下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．荡秋千 B．飞驰的火车
C．传送带移动 D．运动员掷出的标枪
2．图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ．
1．下列运动中不属于旋转的是（ ）
A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动
C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动
2．2024年7月26日至8月11日第33届奥运会在法国巴黎举行，巴黎会徽的标志如图所示，通过一次翻折这个标志得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列现象中属于旋转的有 ．（填序号）
二、旋转的性质
1．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE．下列角中，是旋转角的是（ ）
A．∠ABD B．∠DBC C．∠ABC D．∠ABE
2．如图，在△ABC中，将△ABC绕顶点A顺时针旋转50°，得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AE∥BC，则∠BAC的大小是（ ）
A．65° B．64° C．63° D．62°
3．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是（ ）
A．17 B．18
C．19 D．以上都不对
4．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝8，BC＝4，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为 ．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD．若AB＝3，AC＝2．
（1）求证：点A，C，E在同一条直线上；
（2）求AD的长．
1．如图，△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB'C'重合，连接BB'，则∠ABB′大小为（ ）
A．56° B．57° C．62° D．72°
2．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，此时点B'恰在边AC上，若AB＝2，AC'＝5，则B'C的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，将等腰△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，连结BB′，则△A′BB′的周长为 ．
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．且点A、B、E在同一条直线上；
（1）求证：DA平分∠BDE；
（2）若AC⊥DE，求旋转角α的度数．
三、坐标与旋转
1．已知点A（0，1）、B（2，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B． C． D．（﹣2，3）
2．如图，△ABC绕某点旋转，得到△DEF，则其旋转中心的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（1，﹣1） C．（0，﹣1） D．（0，0）
3．已知点A（2，3），将点A绕原点O逆时针方向旋转90°得点B，则点B的坐标为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1的坐标 ；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出C2的坐标 ．
1．将点（3，﹣1）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（﹣3，1）
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A、B，C的坐标分别为A（﹣3，2），B（0，1），C（﹣2，0），将△ABC绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'，若点B'的坐标为（3，0），则旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（2，0） D．（﹣1，0）
3．在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为 ．
4．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
四、中心对称
1．下列图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
1．在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
五、关于原点对称的点的坐标
1．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ．
3．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
1．已知点A（a，b）与点B（﹣2，﹣3）是关于原点O的对称点，则（ ）
A．A（2，﹣3） B．A（﹣2，3） C．A（2，3） D．A（﹣2，﹣2）
2．在平面直角坐标系中，点（﹣6，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
3．已知点A（a+3，2）与点B（﹣2，2）关于y轴对称，点C（1，3）与点D（﹣1，6b）关于原点对称．
（1）求a、b的值及点A、D的坐标；
（2）顺次连接点A→C→B→D→A，求所得图形的面积．
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第23章 旋转
一、生活中的旋转
1．下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．荡秋千 B．飞驰的火车
C．传送带移动 D．运动员掷出的标枪
【分析】根据旋转的定义得出结论即可．
【解答】解：根据题意可知，
A、荡秋千属于旋转，符合题意；
B、飞驰的火车属于平移，不符合题意；
C、传送带移动属于平移，不符合题意；
D、运动员掷出的标枪属于抛物线，不符合题意．
故选：A．
2．图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90°后的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据旋转的定义进行判断即可．
【解答】解：将它顺时针旋转90°后，只有B选项符合题意．
故选：B．
3．运动“冰壶滑行到终点．直升机螺旋桨的转动．气球冉冉升起．钢架雪车加速前进”属于旋转的是 ．
【分析】根据旋转的定义可得答案．
【解答】解：冰壶滑行到终点属于旋转加平移；直升机螺旋桨的转动属于旋转；气球冉冉升起属于平移；钢架雪车加速前进属于平移，
故答案为：直升机螺旋桨的转动．
1．下列运动中不属于旋转的是（ ）
A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动
C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动
【分析】根据旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合解答即可．
【解答】解：A．摩天轮的转动，属于旋转，故不符合题意；
B．酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意；
C．气球升空的运动，属于平移，故符合题意；
D．电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意；
故选：C．
2．2024年7月26日至8月11日第33届奥运会在法国巴黎举行，巴黎会徽的标志如图所示，通过一次翻折这个标志得到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据翻折的定义可得答案．
【解答】解：通过一次翻折这个标志得到的图形是：
故选：B．
3．下列现象中属于旋转的有 ．（填序号）
①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．
【分析】旋转变化就是把一个图形绕着某点旋转一定的角度，得到另一个图形；平移变化，就是把一个图形沿着一定方向移动一定距离，据此解答即可．
【解答】解：①火车在笔直行驶，属于平移现象；
②荡秋千运动，属于旋转现象；
③地下水位下降，属于平移现象；
④钟摆的运动，属于旋转现象；
⑤圆规画圆，属于旋转现象．
故答案为：②④⑤．
二、旋转的性质
1．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE．下列角中，是旋转角的是（ ）
A．∠ABD B．∠DBC C．∠ABC D．∠ABE
【分析】根据旋转角的定义即可解决问题．
【解答】解：因为△DBE由△ABC绕点B顺时针旋转得到，
所以点A和点D，点C和点E是旋转前后的对应点，
所以∠ABD和∠CBE都是旋转角，
只有A选项符合题意．
故选：A．
2．如图，在△ABC中，将△ABC绕顶点A顺时针旋转50°，得到△ADE．若点D恰好落在边BC上，且AE∥BC，则∠BAC的大小是（ ）
A．65° B．64° C．63° D．62°
【分析】根据旋转的性质可得AB＝AD，根据等腰三角形的性质得，由AE∥BC得，∠DAE＝∠ADB＝65°，由旋转得∠BAC＝∠DAE＝65°．
【解答】解：由题意可得：AB＝AD，旋转角∠BAD＝50°，∠BAC＝∠DAE，
∴，
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠ADB＝65°，
∴∠BAC＝∠DAE＝65°．
故选：A．
3．如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD．将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED．若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是（ ）
A．17 B．18
C．19 D．以上都不对
【分析】由旋转的性质可得BD＝BE，CD＝AE，∠DBE＝60°，可得△BDE是等边三角形，即可求DE＝BD＝BE＝9，根据△AED的周长＝AE+AD+DE＝AE+CD+DE＝AC+BD，可求△AED的周长．
【解答】解：∵由旋转变换的性质可知：BD＝BE，CD＝AE，∠DBE＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝BD＝BE＝9，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝10，
∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝AD+CD+DE＝AC+BD，
∴△AED的周长＝19．
故选：C．
4．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，CD＝8，BC＝4，若将△CDE绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段BE的长为 ．
【分析】分两种情况：①当点E在CA的延长线上时，②当点E在AC的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AC＝BC＝4，
∵△CDE是等边三角形，
∴CE＝CD＝8，
①当点E在CA的延长线上时，如图，过点B作BG⊥AC于G，则，
在Rt△CBG中，∠CBG＝30°，BC＝4，
∴，
∴，
∴EG＝CE﹣CG＝8﹣2＝6，
∴；
②当点E在AC的延长线上时，如图，过点B作BH⊥AC于H，则，
在Rt△CBH中，∠CBH＝30°，BC＝4，
∴，
∴，
∴EH＝CE+CH＝8+2＝10，
∴，
故答案为：或．
5．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，以BC为边作等边△BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD．若AB＝3，AC＝2．
（1）求证：点A，C，E在同一条直线上；
（2）求AD的长．
【分析】（1）根据旋转的性质以及角度之间的转化求得∠2+∠3+∠5＝180°即可得证；
（2）先证明出△ADE为等边三角形，再根据AD＝AE＝AC+AB即可求解．
【解答】（1）证明：如图所示：
∵△BCD为等边三角形，
∴∠3＝∠4＝60°，DC＝DB，
由题意可得：
∴∠5＝∠1+∠4＝∠1+60°，
∴∠2+∠3+∠5＝∠2+∠1+120°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠2+∠3+∠5＝60°+120°＝180°，
∴点A，C，E在同一条直线上；
（2）∵点A，C，E在一条直线上，而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，
∴∠ADE＝60°，DA＝DE，
∴△ADE为等边三角形，
∵点A，C，E在一条直线上，
∴AE＝AC+CE，
由题意可得：
∴CE＝AB，
∴AE＝AC+AB＝2+3＝5，
∴AD＝AE＝5．
1．如图，△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB'C'重合，连接BB'，则∠ABB′大小为（ ）
A．56° B．57° C．62° D．72°
【分析】由△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB'C'重合，可得∠BAB'＝56°，AB＝AB'，即得∠ABB'＝∠AB'B＝（180°﹣56°）÷2＝62°．
【解答】解：∵△ABC绕点A按顺时针方向旋转56°后与△AB'C'重合，
∴∠BAB'＝56°，AB＝AB'，
∴∠ABB'＝∠AB'B＝（180°﹣56°）÷2＝62°；
故选：C．
2．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，此时点B'恰在边AC上，若AB＝2，AC'＝5，则B'C的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由旋转的性质可得AB＝AB'＝2，AC＝AC'＝5，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C'，
∴AB＝AB'，AC＝AC'，
∵AB＝2，AC'＝5，B'C＝AC﹣AB'＝5﹣2＝3，
故选：B．
3．如图，将等腰△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，若∠A＝100°，则∠α的度数是（ ）
A．50° B．60° C．40° D．30°
【分析】根据三角形内角和定理求出角BOA的度数，再根据旋转的性质得出角BOD的度数即可求解．
【解答】解：∵∠A＝100°，△ABO是等腰三角形，
∴∠BOA＝∠B＝＝40°，
∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠BOD＝80°，
∴∠AOD＝∠BOD﹣∠BOA＝40°，
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，此时点A′恰好在AB边上，连结BB′，则△A′BB′的周长为 ．
【分析】根据旋转的性质得到CA＝CA′，CB＝CB′，∠ACA′＝∠BAB′，则可判断△CAA′为等边三角形，所以∠ACA′＝60°，证明A′B＝A′C＝1，求出AB，BC，然后判断△CBB′为等边三角形，从而得到BB′的长，于是得到结论．
【解答】解：由题意可知：CA＝CA′，CB＝CB′，
∵CA＝CA′，∠A＝60°，
∴△CAA′为等边三角形，
∴∠ACA′＝∠AA′C＝60°，AA′＝AC＝2，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝4，∠A′CB＝∠CA′A﹣∠ABC＝60°﹣30°＝30°，
∴BA′＝AB﹣AA′＝2，
∴，
∵∠B′CA′＝∠ACB＝90°，∠A′CB＝30°，
∴∠BCB′＝60°，
∵CB＝CB′，，
∴周长为，
故答案为：．
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一个角度α，得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．且点A、B、E在同一条直线上；
（1）求证：DA平分∠BDE；
（2）若AC⊥DE，求旋转角α的度数．
【分析】（1）根据旋转的性质可得：∠1＝∠B，AD＝AB，然后利用等边对等角可得∠2＝∠B，从而可得∠1＝∠2，即可得到结论．
（2）设AC与DE交于点O，根据题意及旋转的性质可得∠C＝∠E＝90°﹣α，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质得α＝∠4＝∠B+∠C，最后解方程即可．
【解答】（1）证明：如图：
由旋转的性质得：∠1＝∠B，AD＝AB，
∴∠2＝∠B，
∴∠1＝∠2，
∴DA平分∠BDE．
（2）解：如图，设AC与DE交于点O，
由旋转的性质得：AB＝AD，∠3＝∠4＝α，∠C＝∠E，
∵AC⊥DE，
∴∠AOE＝90°，
∴∠C＝∠E＝90°﹣∠4＝90°﹣α，
∵AB＝AD，
∴，
∵∠4＝∠B+∠C，
∴，
解得：α＝72°，
∴旋转角α的度数为72°．
三、坐标与旋转
1．已知点A（0，1）、B（2，3），将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则点C的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B． C． D．（﹣2，3）
【分析】根据题意画出示意图，再根据图形旋转的性质即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
过点B作y轴的垂线，垂足为M，
∵点A坐标为（0，1），点B坐标为（2，3），
∴BM＝2，AM＝3﹣1＝2，
∴AM＝BM，
∴∠MAB＝∠B＝45°．
由旋转可知，
AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴∠CAM＝∠MAB＝45°，
∴点B和点C关于y轴对称，
∴点C的坐标为（﹣2，3）．
故选：D．
2．如图，△ABC绕某点旋转，得到△DEF，则其旋转中心的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（1，﹣1） C．（0，﹣1） D．（0，0）
【分析】根据对应点线段的垂直平分线的交点就是旋转中心，通过作图可得结果．
【解答】解：作线段AD、BE的垂直平分线，交点O′即为旋转中心．O′（1，﹣1），
故选：B．
3．已知点A（2，3），将点A绕原点O逆时针方向旋转90°得点B，则点B的坐标为 ．
【分析】作出图形更形象直观．作出图形，连接OA，过点A作AH⊥x轴于H，过点B作BC⊥y轴于C，连接OB，然后根据点A的坐标求出AH、OH，再根据旋转的性质求出BC、OC，然后写出点B的坐标即可．
【解答】解：如图，连接OA，过点A作AH⊥x轴于H，过点B作BC⊥y轴于C，连接OB，
∵A（2，3），
∴AH＝3，OH＝2，
∵将点A绕原点O逆时针方向旋转90°得点B，
∴BC＝AH＝3，OC＝OH＝2，
∴点B（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
4．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1的坐标 ；
（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，写出C2的坐标 ．
【分析】（1）根据三角形的面积等于长方形的面积减去三个小三角形的面积解答即可；
（2）根据平移的方向和距离为：向下平移3个单位，向右平移5个单位，即可得到顶点B1的坐标；
（3）根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝；
故答案为：3；
（2）∵△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点C1的坐标为（4，0），
∴平移的方向和距离为：向下平移3个单位，向右平移5个单位，
∴顶点A1的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）；
（3）如图所示，△A2B2C2即为所求，
C2的坐标为（3，1），
故答案为：（3，1）．
1．将点（3，﹣1）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（3，﹣1） D．（﹣3，1）
【分析】根据将点（a，b）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（﹣b，a），即可得将点（3，﹣1）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（1，3）．
【解答】解：根据将点（a，b）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（﹣b，a），
得将点（3，﹣1）绕原点逆时针旋转90°得到的点的坐标是（1，3）．
故选：B．
2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A、B，C的坐标分别为A（﹣3，2），B（0，1），C（﹣2，0），将△ABC绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到△A'B'C'，点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C'，若点B'的坐标为（3，0），则旋转中心的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（2，0） D．（﹣1，0）
【分析】根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心即可解决问题．
【解答】解：如图所示，
∴旋转中心的坐标为（2，2）．
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O逆时针旋转90°得到点P′，则P′的坐标为 ．
【分析】如图，过点P作PA⊥x轴于点D，过点P′A′⊥y轴于点A′，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答．
【解答】解：过点P作PA⊥x轴于点D，过点P′A′⊥y轴于点A′，
∵P（2，3），
∴OA＝2，PA＝3，
∵∠A′OP′+∠OP′A′＝90°，∠A′OP+∠POA＝90°，
∴∠P′OA′＝∠POA，
∠PAO＝∠P′A′O，OA＝OA′，∠POA＝∠P′OA′，
∴△PAO≌△P′A′O（AAS），
∴OA′＝OA＝2，A′P′＝AP＝3，
∴P′（﹣3，2）．
故答案为：（﹣3，2）．
4．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1，平移△ABC，对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．
【分析】（1）根据性质的性质得到A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0），再描点；由于点A2的坐标为（0，﹣4），即把△ABC向下平移6个单位，再向右平移3个单位得到△A2B2C2，则B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4），然后描点；
（2）观察图象得到将△A1B1C1绕某一点旋转180°可以得到△A2B2C2，然后连接对应点可确定旋转中心的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：A1（3，2）、C1（0，2）、B1（0，0）；B2（3，﹣2）、C2（3，﹣4）．
（2）将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，旋转中心的P点坐标为（，﹣1）．
四、中心对称
1．下列图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
2．下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、C、D是中心对称图形，B不是中心对称图形，
故选：B．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
1．在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．下面关于新能源汽车新势力品牌的图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．找不到一点旋转180°后与原图重合，不是中心对称图形，故该项不符合题意；
B．找不到一点旋转180°后与原图重合，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C．可以找到一点旋转180°后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
D．找不到一点旋转180°后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：C．
2．下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
五、关于原点对称的点的坐标
1．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：点（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，2），
故选：A．
2．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为 ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点即可求得．
【解答】解：∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，
∴点关于原点中心对称的点的坐标是，
故答案为：．
3．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；
（2）把这些点按A﹣D﹣B﹣C﹣A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，
∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2，
解得a＝1，b＝﹣1，
∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1），
∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（﹣3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积为：．
1．已知点A（a，b）与点B（﹣2，﹣3）是关于原点O的对称点，则（ ）
A．A（2，﹣3） B．A（﹣2，3） C．A（2，3） D．A（﹣2，﹣2）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：∵关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反，点A（a，b）与点B（﹣2，﹣3）是关于原点O的对称点，
∴a＝2，b＝3，
∴A（2，3），
故选：C．
2．在平面直角坐标系中，点（﹣6，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
【分析】关于原点对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数，据此进行作答即可．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点（﹣6，3）关于原点对称的点的坐标是（6，﹣3）．
故答案为：（6，﹣3）．
3．已知点A（a+3，2）与点B（﹣2，2）关于y轴对称，点C（1，3）与点D（﹣1，6b）关于原点对称．
（1）求a、b的值及点A、D的坐标；
（2）顺次连接点A→C→B→D→A，求所得图形的面积．
【分析】（1）利用关于y轴对称的点的特点（横坐标互为相反数，纵坐标不变）可得a的值，再根据关于原点对称的点的特点可得b的值，即可得出答案；
（2）把这些点按点A→C→B→D→A顺次连接起来，再根据矩形的面积减去四个三角形的面积计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（a+3，2）与点B（﹣2，2）关于y轴对称，点C（1，3）与点D（﹣1，6b）关于原点对称，
∴a+3＝2，6b＝﹣3，
解得a＝﹣1，b＝﹣，
∴点A（2，2），点D（﹣1，﹣3）；
（2）如图所示：
四边形ACBD的面积为：4×6﹣×5×1﹣×3×5﹣×1×1﹣×1×3＝12．
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