5.1.2 弧度制 课件（共21张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共21张PPT)
5.1.2 弧度制
学习目标
1.掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数．
2.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．
问题导入
生活中在度量时，会用到不同的单位制.
比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制；
度量质量可以用千克、磅等不同的单位制；
角的度量我们用度进行度量，它是否也能用不同的单位制呢？
是否可以用十进制的实数来度量角的大小？
新课讲授
一、角的度量与角度制
从开始学习角，我们对角的大小的度量就一直是以度作为单位的，这种度量角大小的方法，称为角度制.
用来度量角的单位都是“°”(度)，它的度量依据是，把一个圆周等分成360份，每一份所对的圆心角的大小称为1度(1°)
角度制有它的弱点，比如，它的进位制是60进位制的，1°=60’，
1’=60”。在实数范围内研究时不太方便.
有没有其它度量角大小的更好的方法呢？
如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的一点P （不同于点O）的轨迹是 一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．
设α＝n°，OP＝r，点P所形成的圆弧PP1的长为．
由初中所学知识可知，
于是
想一想：如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O），OQ=r1.在旋转过程 中，点Q所形成的圆弧QQ1的长为1．1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？
Q点
P点
结论：同一圆心角所对的弧长与其所在圆的半径的比值是一个常数，这个比值只与α的大小有关，随α的确定而唯一确定．
因此可以用弧长和半径的比值表示圆心角．
1.弧度制
我们规定：长度等于 长的 所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示，读作弧度，rad 一般可以省略．这种以弧度为单位度量角的制度，称作“弧度制”.
半径
圆弧
2.弧度数的计算
3.用弧度制表示的角是一个实数（比值），α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负．当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于２π或小于－２π的角．这样就可以得到弧度为任意大小的角．
一般地，正角的弧度数是一个正数，
负角的弧度数是一 个负数，
零角的弧度数是０．
请你说说弧度制与角度制有哪些不同？
第一，弧度制以线段长度来度量角，角度制是“以角量角”；
第二，弧度制是十进制，角度制是六十进制；
第四，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值.
第三，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的 ；
练1.下列说法正确的是( )
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角
A
因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，
而圆周角的角度数是360°，
于是我们有了弧度与角度的换算关系.
二、弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360°，于是360°＝2π rad，即π=180°，
1rad= ≈57.3°
1°＝
(2)
0
90°
60°
180°
270°
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起____________关系：
每一个角都有唯一的一个________(即这个角的弧度数)与它对应；
反过来，任一个实数也都有唯一的一个______(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
一一对应
实数
角
例1 将下列角度与弧度进行互化:
初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？
例2 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
（１）；　 （２）；　 （３）．
其中R是圆的半径，α（０＜α＜２π）为圆心角，是扇形的弧长，S是扇形的面积．
证明：由公式可得．
下面我们证明（２）（３）．
初中学过，在角度制下，半径为R，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积
公式分别是 , ，
将圆心角转化为弧度，得，所以代入公式得到，
再将代入得到.
练2. (1)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2 rad,求该扇形的面积;
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.
解：(1)设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,
由圆心角为2 rad,依据弧长公式可得l=2r,
从而扇形的周长为l+2r=4r=8(cm),解得r=2,则l=4,
(2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数.
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)弧度制与角度制如何转化？
(2)扇形的弧长与面积公式.
当堂检测
1.1 920°转化为弧度是(　　)
D
2.如果2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为(　　)
B
当堂检测
C