(共16张PPT)
5.2.1 课时2
三角函数的性质
学习目标
1.从三角函数的定义认识其定义域、函数值在各个象限的符号.
2.根据定义理解公式一，初步解决与三角函数值有关的一些简单问题.
复习导入
正弦函数、余弦函数、正切函数
设角α是一个任意角，P(x，y)是终边上的任意一点，
点P与原点的距离r=＞0，
新课讲授
探究1：三角函数的值在各个象限的符号
+
+
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
O
x
y
O
x
y
O
x
y
记法：
一全正
二正弦
三正切
四余弦
例1 求证：角θ为第三象限角的充要条件为.
证：首先证明充分性，即如果①②都成立，那么θ为第三象限角.
因为sinθ<0成立，所以θ角的终边位于第三或者第四象限，也可能和
y轴的负半轴重合；
又因为tanθ＞0成立，所以θ角的终边位于第一或者第三象限，
综合可知θ为第三象限角.
再证明必要性，因为θ是第三象限角，根据定义有sinθ<0， tanθ>0，
所以必要性成立，即充要性成立.
练1.下列选项中，符号为负的是( )
A.sin(－100°) B.cos(－220°)
C.tan 10 D.cos 220°
练2.下列4个实数中，最小的数是( )
A.sin 1 B.sin 2
C.sin 3 D.sin 4
ABD
D
解析：sin 1>0，sin 2>0，sin 3>0，sin 4<0，故选D.
练3.当α为第二象限角时，的值是( )
A.1 B.0
C.2 D.-2
C
分析：∵α为第二象限角，∴sin α >0，cos α<0，
探究2：终边在坐标轴上的三角函数值
-1
O
x
y
O
x
y
O
x
y
0
0
1
0
1
-1
0
0
不存在
0
不存在
思考：根据三角函数的定义可知，只要知道角α终边上任意一点的坐标，就可以求得角α的三角函数值，那么角不同，同一三角函数值就不相等吗
问题：什么情况下角不同，三角函数值会相等
终边相同的时候.
终边相同的角，同一三角函数的值相等.
三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.由此得到一组公式：
。
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
其中k∈Z
例2 计算下列各式的值：
(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°.
解：(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋＝.
(2)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°.
(2)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×
＝＋＝.
练4. 求下列各式的值:
a2sin(-1 350°)+b2tan 405°-(a-b)2tan 765°-2abcos(-1 080°).
解：原式=a2sin(-4×360°+90°)+b2tan(360°+45°)-(a-b)2tan(2×360°+45°)
-2abcos(-3×360°)
=a2sin 90°+b2tan 45°-(a-b)2tan 45°-2abcos 0°
=a2+b2-(a-b)2-2ab=0.
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)三角函数值在各象限内的符号.
(2)诱导公式一.
函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关；正切函数的定义域为
当堂检测
1.(多选)若sin θ·cos θ>0，则θ的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
AC
A
B(共18张PPT)
5.2.1 课时1
三角函数的定义
学习目标
1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义．
2.利用三角函数的定义求角的三角函数值.
复习回顾
在RABC三角形中，定义：
A
B
C
sinA=
cosA=
tanA=
都是以锐角为自变量，
以边长比为函数值的
函数.
角的概念推广以后，角的范围从0~2，推广到任意角，任意角度的三角函数该如何定义呢？
=
=
新课讲授
本章开头我们提到过三角函数是刻画现实世界中周期变化规律的函数模型，匀速圆周运动是这类现象的代表，下面我们以匀速圆周运动为代表，通过建立函数模型，来描述圆周上点P位置变化情况. (设点P以点A为起点做逆时针方向旋转)
A
P
O
想一想：如何确定点P的位置？
α
点P的位置由角射线OP旋转所形成的角α确定
我们已经知道，当角的大小确定时，角的弧度数不会随着半径的变化而变化，为了研究问题的方便，我们以单位圆（半径为1的圆）为例，展开研究.
A(1，0)
P(x，y)
O
x
α
为了建立函数模型，我们需要建立平面直角坐标系.
以单位圆的圆心为原点， 以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系.
则A(1，0)，P(x，y)，射线OA从x轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
把该问题抽象为一个点P，从点A开始在单位圆上的运动.
y
问题1：建立坐标系以后，我们除了可以用角α刻画点P的位置，还能用什么刻画点P的位置？
问题2: 你能将P点的坐标用角α表示出来吗 ？
先取特殊值看一看
P点的坐标
A(1，0)
P(x，y)
O
x
α
y
当α= 时，点P的坐标是什么？
A(1，0)
P
O
x
α
M
y
方法：过点P向x轴做垂线，得到Rt OPM
所对的边是斜边的一半
当α= 或α= 时，点P的坐标又是什么？
给定一个角α，它的终边OP与单位圆交点P点的坐标是唯一确定的吗？
A(1，0)
P
O
x
α
y
A(1，0)
P
O
x
α
y
点P的横、纵坐标都能唯一确定.
y
O
x
1
M
以原点O为圆心，以单位
长度为半径的圆，称为单位圆.
锐角三角函数（在单位圆中）
概念讲解
设α是一个任意角，α∈R， 它的终边与单位圆交于点P(x，y)，
那么:（1）y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α；
任意角的三角函数定义
A(1，0)
P(x，y)
O
x
α
y
（2）x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α；
（3）叫做α的正切函数， 记作tan α，即=tan α(x≠0).
正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.
通常将它们记为：
正弦函数
余弦函数
正切函数
y=sin x，x∈R
y=cos x，x∈R
y=tan x，x≠+kπ(k∈Z)
注意
x
y
o
的终边
（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点
横坐标的比值.
的横坐标，
正切就是
交点的纵坐标与
（2）正弦、余弦总有意义.当α的终边在y轴上时，点P 的
横坐标等于0，
无意义，此时
（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，
三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
例1 求的正弦值、余弦值和正切值.
解：在直角坐标系中，作∠AOB=，
易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为(，)，
所以sin ，cos =，tan =.
求角的三角函数值的方法：
①把角放在平面直角坐标系中；
②构造直角三角形；
③求出角的终边与单位圆的交点坐标；
④利用定义来确定三角函数的值；
归纳总结
只要知道角α终边上任意一点P的坐标，就可以求得角α的各个三角函数值，并且这些函数值不会随点P位置的改变而改变.
设角α是一个任意角，P(x，y)是终边上的任意一点，
点P与原点的距离r=＞0，
定义推广：
那么①叫做α的正弦，即
②叫做α的余弦，即
③叫做α的正弦，即
任意角α的三角函数值仅与α有关，而与点P在角的终边上的位置无关.
例2 已知角的终边过点P(-12，5)，求的三个三角函数值.
解：由已知可得：r===13，
于是sin ==，
cos ===-，
tan ===-.
练1.已知角β的终边经过点M(-3，-1)，则sin β= ，cos β= .
练2.若角α的终边经过点P(x，－3)且sin α＝-，则x的值为( )
A.－ B.－1 C.1 D.
BC
课堂总结
利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况
(1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值.
(3)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论.
当堂检测
D
A
