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5.2 运动的合成和分解
（1）会根据研究问题的需要建立合适的平面直角坐标系，并用函数描述直线运动。
（2）理解合运动与分运动的概念，能对简单平面运动进行合成与分解。
（3）通过运动的合成与分解，初步体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想，并能用这个思想解决类似的简单问题。
若人在河中始终保持头朝正前方游向对岸，你认为他会在对岸的正前方到达，还是会偏向上游或下游？为什么？
知识点1 一个平面运动的实例——观察蜡块的运动
1．建立坐标系
研究蜡块在平面内的运动，可以选择建立平面直角坐标系．
如图所示，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系．
2．蜡块运动的位置：以vx表示玻璃管向右匀速移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管匀速上升的速度，则在某时刻t，蜡块的位置P的坐标：x＝vxt，y＝vyt.
3．蜡块运动的轨迹：在x、y的表达式中消去t，得到y＝x，可见此式代表的是一条过原点的直线，即蜡块的运动轨迹是直线．
4．蜡块运动的速度：大小v＝，方向满足tan θ＝.
（2024春 东城区期末）如图所示，将一蜡块置于注满清水的长玻璃管中，封闭管口后将玻璃管竖直倒置，在蜡块以速度v0匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速移动，蜡块由管口上升到顶端。如果玻璃管以2v的水平速度移动，当蜡块由管口上升到顶端时，下列说法正确的是（ ）
A．蜡块速度增大 B．蜡块速度不变
C．蜡块位移减小 D．蜡块位移不变
（2024春 大兴区期末）如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由玻璃管的下端上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L。在t时间内下列说法正确的是（ ）
A．v增大时，L减小 B．v增大时，L不变
C．v增大时，t减小 D．v增大时，t不变
（2024春 中牟县期末）如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝1cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测得某时刻R的x、y坐标值分别为6cm和2cm，从开始移动到该时刻的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．该过程所用时间为6s
B．玻璃管运动的加速度为3cm/s2
C．该时刻小圆柱体的速度大小为6cm/s
D．该时刻小圆柱体的速度方向与y轴夹角的正切值为
知识点2 运动的合成与分解
1．合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动(选填“合运动”或“分运动”)，同时参与的几个运动就是分运动．
2．运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解．
3．运动的合成与分解遵从矢量运算法则．
4．分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断．
5．曲、直判断：
加速度(或合力)与速度方向
6．是否为匀变速运动的判断：
加速度(或合力)
[深度思考] 互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动的轨迹向哪个方向弯曲？
答案 轨迹在合初速度v0与合加速度a之间，且向合加速度一侧弯曲．
不在一条直线上的两个直线运动的合运动的几种可能情况
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
（2024秋 朝阳区校级月考）质量为m的物体从某一高度由静止开始下落，除了重力之外还受到水平方向的恒力F的作用，下列说法正确的是（ ）
A．物体的运动轨迹是抛物线
B．若物体运动到某一位置（落地前）撤去力F，此后物体运动轨迹是直线
C．若在物体运动过程中增大水平力F，则物体从开始运动到落地的时间增大
D．物体落地时速度方向与水平方向夹角的正切值等于
（多选）（2024春 清远期末）如图所示，一气象气球正返回地面，开始时气象气球在无风的条件下匀速下落。当接近地面时，受到水平方向的风力作用，则下列说法正确的是（ ）
A．气象气球运动的轨迹将会是一条曲线
B．气象气球运动的轨迹将会是一条直线
C．风力不影响气象气球的落地时间
D．风力不影响气象气球的落地速度
（多选）（2023 回民区校级开学）质量为1kg的质点在xoy平面上做曲线运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．质点的初速度为3m/s
B．质点所受的合外力大小为1.5N
C．质点做曲线运动
D．质点初速度方向与合外力方向相同
（2024春 石景山区期末）在研究某些复杂的曲线运动时，可以采用运动的合成与分解的方法。在水平面内建立xOy坐标系，以点O为坐标原点。从t＝0开始，质量为m＝2.0kg的滑块从坐标原点O出发，初速度v0＝4m/s，方向为x轴正方向。
（1）从t＝0开始，若滑块受到沿x轴负方向的水平恒力F1作用，F1＝4.0N，求：
a.滑块沿x轴正方向运动的最大距离xm；
b.滑块回到坐标原点的时间t；
（2）从t＝0开始，除F1外，滑块同时还受到沿y轴正方向的恒力F2的作用，F2＝3.0N。
a.在如图所示的坐标系内定性画出滑块的运动轨迹，并标明关键坐标；
b.求运动过程中滑块的最小速率v。
知识点3 小船渡河问题
1．小船参与的两个分运动
(1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同．
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题
由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，即cos θ＝，如图乙所示．
情况二：v水＞v船
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
（2024秋 红桥区校级月考）小船匀速渡河，已知船在静水中的速度为v船＝5m/s，水流速度v水＝3m/s，河宽为d＝60m，已知在渡河过程中船头方向保持不变，小船渡河时间为t＝20s，则以下判断一定正确的是（ ）
A．小船恰好垂直到达河对岸
B．船头方向与河岸的夹角的正切值为0.75
C．小船到达对岸时一定在出发点上游20m处
D．调整船头的方向，最短的渡河时间为15s
（2024秋 无锡月考）如图所示，河的宽度为d，水速恒定，甲、乙两船以大小相同的速度（相对静水）同时开始渡河。出发时两船相距2d，甲、乙船头与河岸的夹角均为45°，且乙船恰好能直达正对岸的A点。下列说法正确的是（ ）
A．甲船正好也在A点靠岸
B．甲船在A点的左侧靠岸
C．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
D．甲船到达对岸的时间比乙船到达对岸的时间短
（2024秋 庐阳区校级月考）一条船要在最短时间内渡过宽为100m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是（ ）
A．船渡河的最短时间是40s
B．船运动的轨迹可能是直线
C．船运动到河宽一半用时10s
D．船在河水中的最大速度是5m/s
（2023秋 正定县校级期末）在静水中速度为v1的小船，为垂直渡过宽度为d的河流，船头与河岸成θ角斜向上游，如图甲所示。航行中发现河水流速vs与河岸间距离x的关系如图乙所示，为使小船仍能到达正对岸，下列措施中可行的是（ ）
A．保持船头方向不变，v1先增大后变小
B．保持船头方向不变，v1先变小后增大
C．保持船速v1大小不变，θ先增大后减小
D．保持船速v1大小不变，θ一直减小
知识点4 关联速度问题
1．“关联”速度问题：指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题．
2．“关联”速度的分解规律
(1)分解依据
①物体的实际运动是合运动．
②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同．
(2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量．
(3)常见的速度分解情形如下：
（2024秋 兴庆区校级月考）如图所示，质量为m的物体通过一根跨过光滑定滑轮的轻绳与汽车相连，汽车以速度v向右做匀速直线运动，细绳与水平面间夹角为θ，下列说法正确的是（ ）
A．物体做匀加速直线运动
B．物体的速度大小为vsinθ
C．物体做加速运动且速度小于车的速度
D．绳子的拉力等于mg
（2024秋 番禺区校级月考）影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚（钢丝）的。如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小v＝5m/s向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为37°，连接特技演员B的钢丝竖直，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．该时刻特技演员B有竖直向上的加速度
B．该时刻特技演员B处于失重状态
C．该时刻特技演员B的速度大小为3m/s
D．该时刻特技演员B的速度大小为6.25m/s
（2024秋 南岗区校级月考）质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图），下列判断正确的是（ ）
A．P的速率为v
B．P的速率为
C．绳的拉力大于mgsinθ1
D．绳的拉力等于mgsinθ1
（2024 龙华区校级开学）如图，一条不可伸长的轻绳跨过一个光滑轻小滑轮，将A、B两物体连在一起，B在外力作用下以速度v0向右匀速运动。当轻绳与水平方向成θ角时（0＜θ＜90°），下列说法正确的是（ ）
A．A物体的速度为v0cosθ
B．A物体的速度为v0sinθ
C．A物体的速度为
D．A物体的速度为
（2024春 沈阳期末）雨滴垂直落在伞面上时人淋雨最少。一无风的下雨天，某同学打着雨伞匀速行走，若雨速和他行走的速度大小相等，则淋到的雨最少时（图中虚线为竖直方向），伞柄的方向是（ ）
A．B． C． D．
（2024春 南山区校级月考）如图所示，叉车师傅正在用一辆叉车运送货物，叉车匀加速向前行驶的同时，匀速向上抬升货物。若以地面为参照物，货物的运动轨迹最符合下列选项中的（ ）
A． B．
C． D．
（2024秋 沙河口区校级月考）如图所示，一游泳爱好者在河边做好准备活动后，发现河对岸附近水中漂浮着一篮球顺水而下，失球者请求他帮忙捞取。当篮球与他的连线刚好与河岸垂直时，他跃入水中。如果河水流速处处相同，游泳爱好者的游泳速度大小保持静水中的游泳速度大小不变，要想尽快捡到篮球，他应该（ ）
A．始终保持身体垂直河岸游
B．始终保持身体斜向河上游偏转某一角度
C．始终保持身体斜向河下游偏转某一角度
D．先斜向河上游再斜向河下游，不断改变角度
（2024春 东莞市期末）各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100kg的货物在x方向的位移—时间图像和y方向的速度—时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A．2s末货物的速度大小为3m/s
B．货物做直线运动
C．货物所受的合力大小为150N
D．0到2s末这段时间内，货物的合位移大小为11m
（2024秋 朝阳区校级月考）一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示，从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图（2）所示，已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。则（ ）
A．物块始终做匀变速曲线运动
B．t＝1s时，物块的y坐标值为2.5m
C．t＝1s时，物块的加速度大小为
D．t＝2s时，物块的速度大小为10m/s
（2023秋 锡山区校级期末）路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯。若一段时间内，车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则关于这段时间内站在梯子上的工人的描述不正确的是（ ）
A．工人运动轨迹可能是曲线
B．工人运动轨迹可能是直线
C．工人一定是匀变速运动
D．工人可能是匀变速运动
（2024 三元区校级开学）如图所示，纸面内有两个完全相同的薄等边三角形板重叠放置，其底边位于同一水平直线上。若两三角板同时沿底边所在的水平直线分别向左和向右匀速运动，速率均为v，则在两三角板完全分开之前腰上交点O的速度大小为（ ）
A．v B． C． D．2v
（2024春 莆田期末）一条小船要从岸边到达宽为600m的河对岸，河水流速为4m/s，小船在静水中的速度为5m/s。下列说法正确的是（ ）
A．小船渡河的最短时间为120s
B．小船渡河的最小位移是800m
C．若河水流速变大，小船渡河的最短时间变大
D．无论如何改变船头朝向，小船都不可能到达正对岸
（2024春 广西期末）2023年夏季，中国北方地区遭遇了罕见的持续暴雨天气，京津冀地区多地遭受洪涝灾害，河北省涿州市成为受灾最为严重的地区之一。救援小组在某次救援时，船由河岸的A点出发，经过一段时间到达对岸，已知水速为v1，船在静水中的速度为v2，两河岸的最近距离为d。下列说法正确的是（ ）
A．若v1＞v2，船渡河的最小位移为d
B．船到达对岸时的速度一定大于v2
C．船渡河的最短时间为
D．若v1＜v2，船渡河的位移最短时，船渡河的时间为
（2024 荆门三模）如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，货箱速度为v，连接货车的缆绳与水平方向夹角为θ，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．货车的速度等于vcosθ
B．货物处于失重状态
C．缆绳中的拉力FT大于（m0+m）g
D．货车对地面的压力大于货车的重力
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5.2 运动的合成和分解
（1）会根据研究问题的需要建立合适的平面直角坐标系，并用函数描述直线运动。
（2）理解合运动与分运动的概念，能对简单平面运动进行合成与分解。
（3）通过运动的合成与分解，初步体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想，并能用这个思想解决类似的简单问题。
若人在河中始终保持头朝正前方游向对岸，你认为他会在对岸的正前方到达，还是会偏向上游或下游？为什么？
知识点1 一个平面运动的实例——观察蜡块的运动
1．建立坐标系
研究蜡块在平面内的运动，可以选择建立平面直角坐标系．
如图所示，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系．
2．蜡块运动的位置：以vx表示玻璃管向右匀速移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管匀速上升的速度，则在某时刻t，蜡块的位置P的坐标：x＝vxt，y＝vyt.
3．蜡块运动的轨迹：在x、y的表达式中消去t，得到y＝x，可见此式代表的是一条过原点的直线，即蜡块的运动轨迹是直线．
4．蜡块运动的速度：大小v＝，方向满足tan θ＝.
（2024春 东城区期末）如图所示，将一蜡块置于注满清水的长玻璃管中，封闭管口后将玻璃管竖直倒置，在蜡块以速度v0匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速移动，蜡块由管口上升到顶端。如果玻璃管以2v的水平速度移动，当蜡块由管口上升到顶端时，下列说法正确的是（ ）
A．蜡块速度增大 B．蜡块速度不变
C．蜡块位移减小 D．蜡块位移不变
【解答】解：AB.蜡块在竖直方向做速度为v0的匀速运动，水平方向做速度为v的匀速运动，则合速度为，当水平速度变为2v时，竖直速度不变，则合速度变为，即蜡块的速度增大，故A正确，B错误；
CD.因竖直速度不变，则蜡块运动的时间不变，水平速度增加时，水平位移变大，根据，可知蜡块的位移变大，故CD错误。
故选：A。
（2024春 大兴区期末）如图所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中匀速上浮。在红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管以速度v水平向右匀速运动。红蜡块由玻璃管的下端上升到顶端，所需时间为t，相对地面通过的路程为L。在t时间内下列说法正确的是（ ）
A．v增大时，L减小 B．v增大时，L不变
C．v增大时，t减小 D．v增大时，t不变
【解答】解：蜡块在水平方向上和竖直方向上都做匀速直线运动，在竖直方向上，，管长不变，竖直方向上的分速度不变，根据合运动与分运动具有等时性，知蜡块由管口到顶端的时间t不变，v增大，水平方向上的位移增大，根据运动的合成，知蜡块相对于地面的路程L增大，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2024春 中牟县期末）如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个由蜡做成的小圆柱体R。R从坐标原点以速度v0＝1cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为0的匀加速直线运动。测得某时刻R的x、y坐标值分别为6cm和2cm，从开始移动到该时刻的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．该过程所用时间为6s
B．玻璃管运动的加速度为3cm/s2
C．该时刻小圆柱体的速度大小为6cm/s
D．该时刻小圆柱体的速度方向与y轴夹角的正切值为
【解答】解：A.由竖直方向为匀速直线运动可知y＝v0t，求得时间t＝2s；故A错误；
B.水平方向为匀加速直线运动，初速度为零，时间t＝2s，则由，求得a＝3cm/s2，故B正确；
C.该时刻时水平速度为：vx＝at＝6cm/s，则合速度为：，故C错误；
D.该时刻时，故D错误。
故选B。
知识点2 运动的合成与分解
1．合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动(选填“合运动”或“分运动”)，同时参与的几个运动就是分运动．
2．运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解．
3．运动的合成与分解遵从矢量运算法则．
4．分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断．
5．曲、直判断：
加速度(或合力)与速度方向
6．是否为匀变速运动的判断：
加速度(或合力)
[深度思考] 互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动的轨迹向哪个方向弯曲？
答案 轨迹在合初速度v0与合加速度a之间，且向合加速度一侧弯曲．
不在一条直线上的两个直线运动的合运动的几种可能情况
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动 一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动
（2024秋 朝阳区校级月考）质量为m的物体从某一高度由静止开始下落，除了重力之外还受到水平方向的恒力F的作用，下列说法正确的是（ ）
A．物体的运动轨迹是抛物线
B．若物体运动到某一位置（落地前）撤去力F，此后物体运动轨迹是直线
C．若在物体运动过程中增大水平力F，则物体从开始运动到落地的时间增大
D．物体落地时速度方向与水平方向夹角的正切值等于
【解答】解：AD、物体受到的合力为恒力，大小为：，合力方向与水平方向夹角的正切值为，由此可知物体在合力作用下，由静止沿合力方向做匀加速直线运动，物体落地时速度方向与水平方向夹角的正切值等于，故A错误，D正确；
B、若物体运动到某一位置（落地前）撤去力F，此后速度方向与重力不在同一直线上，物体做曲线运动，故B错误；
C、若在物体运动过程中增大水平力F，则物体从开始运动到落地，在竖直方向的分运动为自由落体运动，则有：，由此可知物体从开始运动到落地的时间不变，故C错误。
故选：D。
（多选）（2024春 清远期末）如图所示，一气象气球正返回地面，开始时气象气球在无风的条件下匀速下落。当接近地面时，受到水平方向的风力作用，则下列说法正确的是（ ）
A．气象气球运动的轨迹将会是一条曲线
B．气象气球运动的轨迹将会是一条直线
C．风力不影响气象气球的落地时间
D．风力不影响气象气球的落地速度
【解答】解：AB．气象气球沿水平方向受到风力的作用，加速度与速度不在同一直线上，气象气球运动的轨迹将会是一条曲线，故A正确，B错误；
C．高度不变，气象气球沿竖直方向的分速度不变，则运动的时间不变，故C正确；
D．有了水平方向的风力后，气象气球运动落地时水平方向速度不为零，根据运动的合成可知风力影响返回舱的落地速度，故D错误。
故选：AC。
（多选）（2023 回民区校级开学）质量为1kg的质点在xoy平面上做曲线运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图所示。下列说法正确的是（ ）
A．质点的初速度为3m/s
B．质点所受的合外力大小为1.5N
C．质点做曲线运动
D．质点初速度方向与合外力方向相同
【解答】解：A．由x方向的速度图像可知，在x方向做初速度为vx0＝3m/s 的匀加速直线运动，由y方向的位移图像可知在y方向做匀速直线运动，图像斜率为速度，速度大小为vym/s＝4m/s，所以质点的初速度为
故A错误；
B．由x方向的速度图像，图像斜率为加速度，则x方向的加速度大小为
由牛顿第二定律，x方向受力
Fx＝max，代入数据解得Fx＝2×1.5N＝3N
y方向受力Fy＝0，那么
F合＝Fx＝3N
故B正确；
CD．质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，做匀加速曲线运动，故C正确，D错误。
故选：BC。
（2024春 石景山区期末）在研究某些复杂的曲线运动时，可以采用运动的合成与分解的方法。在水平面内建立xOy坐标系，以点O为坐标原点。从t＝0开始，质量为m＝2.0kg的滑块从坐标原点O出发，初速度v0＝4m/s，方向为x轴正方向。
（1）从t＝0开始，若滑块受到沿x轴负方向的水平恒力F1作用，F1＝4.0N，求：
a.滑块沿x轴正方向运动的最大距离xm；
b.滑块回到坐标原点的时间t；
（2）从t＝0开始，除F1外，滑块同时还受到沿y轴正方向的恒力F2的作用，F2＝3.0N。
a.在如图所示的坐标系内定性画出滑块的运动轨迹，并标明关键坐标；
b.求运动过程中滑块的最小速率v。
【解答】解：（1）a、滑块沿x轴正方向先做匀减速运动，减速为零后沿x轴负方向做匀加速运动，沿x轴正方向运动的最大距离；
b、减速时间，返回原点的时间 t＝2t1＝2×2s＝4s；
（2）a、滑块沿y轴正方向做匀加速直线运动，，
x方向速度为零时，滑块沿y轴正方向位移，
物体再次回到y轴时，沿y轴正方向运动的距离，运动轨迹如图所示：
b、滑块沿x轴正方向做匀变速直线运动 vx＝v0﹣axt
沿y轴正方向做匀加速直线运动 vy＝ayt
根据运动的合成与分解
代入数据，化简可得 ，可转化为，其中，b＝﹣16t，根据一元二次方程式的解法，当时滑块速率最小，即可知 t时滑块速率最小，vm/s，代入数据解得v＝2.4m/s。
知识点3 小船渡河问题
1．小船参与的两个分运动
(1)船对地的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同．
(2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题
由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，即cos θ＝，如图乙所示．
情况二：v水＞v船
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
（2024秋 红桥区校级月考）小船匀速渡河，已知船在静水中的速度为v船＝5m/s，水流速度v水＝3m/s，河宽为d＝60m，已知在渡河过程中船头方向保持不变，小船渡河时间为t＝20s，则以下判断一定正确的是（ ）
A．小船恰好垂直到达河对岸
B．船头方向与河岸的夹角的正切值为0.75
C．小船到达对岸时一定在出发点上游20m处
D．调整船头的方向，最短的渡河时间为15s
【解答】解：A.假设小船能够垂直到达河对岸，即当船的合速度垂直于河岸时，如图：
可知：
则小船渡河时间为：，实际渡河时间t＝20s，则假设不成立，故A错误；
B.设船头方向与河岸方向的夹角为θ，将船速沿着平行于河岸方向和垂直于河岸方向分解，
则有：v⊥＝v船sinθ
根据分运动和合运动的等时性可知：，
解得：，则tanθ＝0.75，故B正确；
C.结合B项分析，船速平行河岸分量为：v＝v船cosθ＝5×0.8m/s＝4m/s
①若船头方向与河岸方向的夹角为θ并指向河岸上游，则小船平行于河岸方向的分运动速度为：
v平＝v﹣v水＝4m/s﹣3m/s＝1m/s
则小船到达对岸时，在出发点上游的距离为：x＝v平t＝1×20m＝20m
②若船头方向与河岸方向的夹角为θ并指向河岸下游，则小船平行于河岸方向的分运动速度为：
v平′＝v+v水＝4m/s+3m/s＝7m/s，
那么小船到达对岸时，在出发点下游的距离是：x平′＝v平′t＝7×20m＝140m，故C错误；
D.当船头方向垂直于河岸方向渡河时，渡河时间最短，为，故D错误。
故选：B。
（2024秋 无锡月考）如图所示，河的宽度为d，水速恒定，甲、乙两船以大小相同的速度（相对静水）同时开始渡河。出发时两船相距2d，甲、乙船头与河岸的夹角均为45°，且乙船恰好能直达正对岸的A点。下列说法正确的是（ ）
A．甲船正好也在A点靠岸
B．甲船在A点的左侧靠岸
C．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇
D．甲船到达对岸的时间比乙船到达对岸的时间短
【解答】解：AB．由于乙船在A点靠岸，则乙的合速度方向垂直于河岸，速度分解如下图
渡河时间
则甲船沿河流方向的合速度为
河宽一定，甲、乙船在处置于河岸的方向的分运动相同，故两船到对岸的时间也相同，所以甲船沿河岸方向位移为
结合题中所给条件，则甲船恰好在A点上岸，故A正确，B错误；
CD．由于甲、乙两船在静水中速度相等，且都以船头与河岸夹角为45°角的方式渡河，分解到垂直河岸方向的分速度相等，因此渡河时间相等，不可能在未到达对岸前相遇，故CD错误。
故选：A。
（2024秋 庐阳区校级月考）一条船要在最短时间内渡过宽为100m的河，已知河水的流速v1与船离河岸的距离x变化的关系如图甲所示，船在静水中的速度v2与时间t的关系如图乙所示，则以下判断中正确的是（ ）
A．船渡河的最短时间是40s
B．船运动的轨迹可能是直线
C．船运动到河宽一半用时10s
D．船在河水中的最大速度是5m/s
【解答】解：A．当船渡河时间最短时船头指向正对岸，则船渡河的最短时间是，故A错误；
B．因为沿水流方向船先做加速运动后做减速运动，垂直河岸方向做匀速运动，可知合运动不是直线运动，即船运动的轨迹也不可能是直线，故B错误；
C．船运动到河宽一半用时，故C正确；
D．当水流速最大时，船在河水中的速度最大，即船运动到河中心时速度最大，则船在河水中的最大速度是，故D错误。
故选：C。
（2023秋 正定县校级期末）在静水中速度为v1的小船，为垂直渡过宽度为d的河流，船头与河岸成θ角斜向上游，如图甲所示。航行中发现河水流速vs与河岸间距离x的关系如图乙所示，为使小船仍能到达正对岸，下列措施中可行的是（ ）
A．保持船头方向不变，v1先增大后变小
B．保持船头方向不变，v1先变小后增大
C．保持船速v1大小不变，θ先增大后减小
D．保持船速v1大小不变，θ一直减小
【解答】解：当船头与上游河岸成θ角方向时，小船恰好能垂直到达对岸，此时船沿河岸方向的分速度等于水流的速度，如下图所示：
则：vs＝v1cosθ，可知，保持船头方向不变，v1先增大后变小，或者保持船速v1大小不变，θ先减小后增大，故A正确，BCD错误；
故选：A。
知识点4 关联速度问题
1．“关联”速度问题：指物体斜着拉绳(杆)或绳(杆)斜着拉物体时，两端所连接物体的速度关系问题．
2．“关联”速度的分解规律
(1)分解依据
①物体的实际运动是合运动．
②由于绳(杆)不可伸长，所以绳(杆)两端所连物体的速度沿着绳(杆)方向的分速度大小相同．
(2)分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量．
(3)常见的速度分解情形如下：
（2024秋 兴庆区校级月考）如图所示，质量为m的物体通过一根跨过光滑定滑轮的轻绳与汽车相连，汽车以速度v向右做匀速直线运动，细绳与水平面间夹角为θ，下列说法正确的是（ ）
A．物体做匀加速直线运动
B．物体的速度大小为vsinθ
C．物体做加速运动且速度小于车的速度
D．绳子的拉力等于mg
【解答】解：将汽车的速度沿细绳方向和垂直于细绳方向进行分解，物体的速度等于沿绳方向的速度则：
v物＝vcosθ，看见其速度小于车的速度，
当汽车以速度 v向右做匀速直线运动时，细绳与水平面间夹角θ减小，cosθ变大，所以物体的速度变大，即物体做竖直向上的加速运动，物体处于超重状态，则绳子的拉力大于mg，故选项C正确，ABD错误。
故选：C。
（2024秋 番禺区校级月考）影视作品中的武林高手展示轻功时都是吊威亚（钢丝）的。如图所示，轨道车A通过细钢丝跨过滑轮拉着特技演员B上升，便可呈现出演员B飞檐走壁的效果。轨道车A沿水平地面以速度大小v＝5m/s向左匀速前进，某时刻连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为37°，连接特技演员B的钢丝竖直，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则下列说法正确的是（ ）
A．该时刻特技演员B有竖直向上的加速度
B．该时刻特技演员B处于失重状态
C．该时刻特技演员B的速度大小为3m/s
D．该时刻特技演员B的速度大小为6.25m/s
【解答】解：AB．设连接轨道车的钢丝与水平方向的夹角为θ，将车速v沿着钢丝方向和垂直于钢丝的方向分解，如下图所示：
特技演员B的速度vB等于车速v沿着钢丝方向的分速度v1，则有：vB＝v1＝vcosθ
车速v不变，随着小车向左运动，θ不断减小，cosθ不断增大，则vB不断增大，即特技演员B有竖直向上的加速度，故处于超重状态，故A正确，B错误；
CD．根据上述分析，当θ＝37°时特技演员B的速度大小为vB＝vcos37°＝5×0.8m/s＝4m/s，故CD错误。
故选：A。
（2024秋 南岗区校级月考）质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时（如图），下列判断正确的是（ ）
A．P的速率为v
B．P的速率为
C．绳的拉力大于mgsinθ1
D．绳的拉力等于mgsinθ1
【解答】解：AB、将小车速度v分解为沿细绳方向和垂直于细绳方向的分速度，如下图所示：
沿细绳方向的速率等于物体P的速率，则有：vP＝vcosθ2，故AB错误；
CD、由vP＝vcosθ2，可知θ2随小车向右运动逐渐减小，则物体P的速度逐渐增大，可知物体P沿斜面向上做加速运动，设绳的拉力为F，由牛顿第二定律可得：
F﹣mgsinθ1＝ma＞0，可得F＞mgsinθ1，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 龙华区校级开学）如图，一条不可伸长的轻绳跨过一个光滑轻小滑轮，将A、B两物体连在一起，B在外力作用下以速度v0向右匀速运动。当轻绳与水平方向成θ角时（0＜θ＜90°），下列说法正确的是（ ）
A．A物体的速度为v0cosθ
B．A物体的速度为v0sinθ
C．A物体的速度为
D．A物体的速度为
【解答】解：沿轻绳方向和垂直于轻绳方向分解B物体的速度，如下图所示：
A物体的速度等于B物体沿轻绳方向的分速度，则有：vA＝v1＝v0cosθ，故BCD错误，A正确。
故选：A。
（2024春 沈阳期末）雨滴垂直落在伞面上时人淋雨最少。一无风的下雨天，某同学打着雨伞匀速行走，若雨速和他行走的速度大小相等，则淋到的雨最少时（图中虚线为竖直方向），伞柄的方向是（ ）
A．B． C． D．
【解答】解：当雨滴相对于伞的速度垂直时人淋雨最少，根据平行四边形定则，相对速度方向如下图所示
当雨速和人走的速度相等时，相对速度和竖直方向的夹角是45°。伞柄和伞垂直，即与雨此时的相对速度方向相同，故伞柄和竖直方向夹角是45°时淋雨最少。故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2024春 南山区校级月考）如图所示，叉车师傅正在用一辆叉车运送货物，叉车匀加速向前行驶的同时，匀速向上抬升货物。若以地面为参照物，货物的运动轨迹最符合下列选项中的（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可知，货物竖直方向向上做匀速直线运动，加速度为零。水平方向向右做匀加速直线运动，加速度方向水平向右，则货物的合运动为匀变速曲线运动，加速度方向水平向右，且指向轨迹的凹侧，故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2024秋 沙河口区校级月考）如图所示，一游泳爱好者在河边做好准备活动后，发现河对岸附近水中漂浮着一篮球顺水而下，失球者请求他帮忙捞取。当篮球与他的连线刚好与河岸垂直时，他跃入水中。如果河水流速处处相同，游泳爱好者的游泳速度大小保持静水中的游泳速度大小不变，要想尽快捡到篮球，他应该（ ）
A．始终保持身体垂直河岸游
B．始终保持身体斜向河上游偏转某一角度
C．始终保持身体斜向河下游偏转某一角度
D．先斜向河上游再斜向河下游，不断改变角度
【解答】解：游泳爱好者与篮球沿河水方向的速度相同，要想尽快捡到篮球，他应该始终保持身体垂直河岸游，他到达对岸的时间最短，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024春 东莞市期末）各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100kg的货物在x方向的位移—时间图像和y方向的速度—时间图像如图乙、丙所示，下列说法正确的是（ ）
A．2s末货物的速度大小为3m/s
B．货物做直线运动
C．货物所受的合力大小为150N
D．0到2s末这段时间内，货物的合位移大小为11m
【解答】解：A、由图像可知，货物水平方向做匀速直线运动，斜率表示水平分速度；竖直方向做匀加速直线运动，斜率表示加速度，
有水平方向分速度为：
合速度大小为：
代入数据解得v＝5m/s，故A错误；
B、由于货物货物水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，加速度方向与竖直方向分速度方向保持一致，故合速度与合加速度不共线，所以该货物做曲线运动；
C、根据速度与时间图像可知，加速度大小为
根据牛顿第二定律
故C正确；
D、速度与时间图像与时间轴围成的面积表示位移，所以竖直方向的分位移有
合位移为
代入数据解得，故D错误。
故选：C。
（2024秋 朝阳区校级月考）一倾角为30°足够大的光滑斜面固定于水平地面上，在斜面上建立Oxy直角坐标系，如图（1）所示，从t＝0开始，将一可视为质点的物块从O点由静止释放，同时对物块施加沿x轴正方向的力F1和F2，其大小与时间t的关系如图（2）所示，已知物块的质量为1.2kg，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。则（ ）
A．物块始终做匀变速曲线运动
B．t＝1s时，物块的y坐标值为2.5m
C．t＝1s时，物块的加速度大小为
D．t＝2s时，物块的速度大小为10m/s
【解答】解：A、由图像可知x方向有：F1＝4﹣t（N），F2＝3t（N）
则有：Fx＝F1+F2＝4﹣t+3t＝4+2t（N）
y方向的合力为：
则合力随时间不断变化，即加速度不断变化，则物块做非匀变速曲线运动，故A错误；
B、因，可得t＝1s时，物块的y坐标值为：，故B正确；
C、t＝1s时有：
物块的加速度大小为：，故C错误；
D、在t＝2s时刻，物块沿y轴方向的速度为：vy＝ay1t＝5×2m/s＝10m/s，vx速度不为0，故物块的速度大于10m/s，故D错误。
故选：B。
（2023秋 锡山区校级期末）路灯维修车如图所示，车上带有竖直自动升降梯。若一段时间内，车匀加速向左沿直线运动的同时梯子匀加速上升，则关于这段时间内站在梯子上的工人的描述不正确的是（ ）
A．工人运动轨迹可能是曲线
B．工人运动轨迹可能是直线
C．工人一定是匀变速运动
D．工人可能是匀变速运动
【解答】解：AB、人运动的合初速度v
合加速度a
如果合速度方向与合加速度方向在一条直线上就做直线运动，不在一条直线上就做曲线运动，由于车和梯子的初速度未知、加速度未知，所以工人相对地面的运动轨迹可能是曲线，也可能是直线，故AB正确；
CD、工人的加速度恒定，工人的运动一定为匀变速运动，故C正确，D错误。
本题要求选不正确的，故选D。
（2024 三元区校级开学）如图所示，纸面内有两个完全相同的薄等边三角形板重叠放置，其底边位于同一水平直线上。若两三角板同时沿底边所在的水平直线分别向左和向右匀速运动，速率均为v，则在两三角板完全分开之前腰上交点O的速度大小为（ ）
A．v B． C． D．2v
【解答】解：设等边三角形的边长为L，从重叠到刚好完全分开所需时间为
这段时间内腰上的交点O从顶部动到底部，位移为
则其速度大小为，故C正确，BD错误。
故选：C。
（2024春 莆田期末）一条小船要从岸边到达宽为600m的河对岸，河水流速为4m/s，小船在静水中的速度为5m/s。下列说法正确的是（ ）
A．小船渡河的最短时间为120s
B．小船渡河的最小位移是800m
C．若河水流速变大，小船渡河的最短时间变大
D．无论如何改变船头朝向，小船都不可能到达正对岸
【解答】解：AC．当船头垂直河岸时，小船渡河的时间最短，根据公式x＝vt，可知
可知小船渡河的最短时间与河水流速无关，故A正确，C错误；
BD．由于小船在静水中的速度大于河水流速，根据合成规律可知，小船的合速度方向可以垂直河岸，小船都可以到达正对岸，小船渡河的最小位移是600m，故BD错误。
故选：A。
（2024春 广西期末）2023年夏季，中国北方地区遭遇了罕见的持续暴雨天气，京津冀地区多地遭受洪涝灾害，河北省涿州市成为受灾最为严重的地区之一。救援小组在某次救援时，船由河岸的A点出发，经过一段时间到达对岸，已知水速为v1，船在静水中的速度为v2，两河岸的最近距离为d。下列说法正确的是（ ）
A．若v1＞v2，船渡河的最小位移为d
B．船到达对岸时的速度一定大于v2
C．船渡河的最短时间为
D．若v1＜v2，船渡河的位移最短时，船渡河的时间为
【解答】解：AD．如果要使船到达正对岸，船的速度应指向上游，船的合速度垂直河岸，则应满足v1＜v2
合速度大小
此时的渡河时间
故A错误，D正确；
B．根据速度的合成可知，船到达对岸时的速度与v2的大小关系是不确定的，故B错误；
C．若要使船的渡河时间最短，船的速度应垂直河岸，则渡河的时间为
故C错误。
故选：D。
（2024 荆门三模）如图所示，一辆货车利用跨过光滑定滑轮的轻质不可伸长的缆绳提升一箱货物，已知货箱的质量为m0，货物的质量为m，货车向左做匀速直线运动，在将货物提升到图示的位置时，货箱速度为v，连接货车的缆绳与水平方向夹角为θ，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ）
A．货车的速度等于vcosθ
B．货物处于失重状态
C．缆绳中的拉力FT大于（m0+m）g
D．货车对地面的压力大于货车的重力
【解答】解：A、关联速度可知，沿着绳上的速度相等，可知v货cosθ＝v
解得
故A错误；
B、货车向左做匀速直线运动的过程中，θ减小，cosθ增大，货车向左做匀速直线运动，v增大，加速度向上，则货物处于超重状态，故B错误；
C、由加速度向上，则
FT﹣（m+m0）g＝（m+m0）a
缆绳中的拉力FT大于（m0+m）g，故C正确；
D、对货车受力分析可得
FN+FTsinθ＝m货g
即FN＜m货g
货车的对地面的压力小于货车的重力，故D错误；
故选：C。
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