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专题强化（2）与斜面、曲线结合的平抛运动
掌握平抛运动与斜面、曲面结合的平抛运动分析思路
知识点1 与斜面有关的平抛运动
运动情形 题干信息 分析方法
从空中水平抛出垂直落到斜面上 速度方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt θ与v0、t的关系： tan θ＝＝
从斜面水平抛出又落到斜面上 位移方向 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 θ与v0、t的关系： tan θ＝＝
（2024秋 顺义区校级月考）如图所示，以10m/s的水平速度抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角为θ＝30°的斜面上，g取10m/s2，以下结论正确的是（ ）
A．物体的飞行时间是s
B．物体水平方向运动位移为20m
C．物体撞击斜面时的速度大小为20m/s
D．物体下降的距离是10m
（2024春 辽宁期末）如图所示，将三个小球分别从同一竖直线上不同高度A、B、C三处水平抛出，恰好落在斜面体上的同一点D，忽略空气阻力。三个小球的初速度分别用vA、vB、vC表示，三个小球在空中的飞行时间分别用tA、tB、tC表示。关于三个小球的运动，下列说法正确的是（ ）
A．vA＜vB＜vC B．vA＞vB＞vC C．tA＝tB＝tC D．tA＜tB＜tC
（2024春 太原期中）地球和月球上有两个足够长、倾角为θ的山坡，若分别从两个山坡上以相同初速度各水平抛出一个小球，小球落到山坡上时，速度方向与斜面的夹角分别记为α1、α2。地球表面重力加速度大小是月球表面的6倍，不计阻力，下列选项正确的是（ ）
A．α1＞α2 B．α1＜α2
C．α1＝α2 D．α1与α2无确定关系
（2024春 泉州期中）如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。则v1、v2大小之比为（ ）
A．2：1 B．3：2 C．9：16 D．32：9
（2023秋 西湖区校级期末）如图1，A点为倾角为30°的斜面底部，在A点的正上方某高度P点以初速v0平抛一小球，小球打在斜面上B点，C为AB的中点。在P点将小球平抛的初速变为v时，小球恰好打在C点，则有（ ）
A．v B．v C．v0＞v D．v
（多选）（2024春 莆田期末）如图所示，将小球由一倾角为α的固定斜面底端沿与竖直方向夹角θ＝30°的速度v0斜向上抛出，小球恰好以水平速度经过斜面顶端。小球可视为质点，不考虑空气阻力，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球经斜面顶端飞过的速度为
B．小球由斜面底端运动至顶端的时间为
C．斜面的高度为
D．斜面的倾角α为30°
知识点2 与曲面相关的平抛运动
已知速度方向 情景示例 解题策略
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝
利用位移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
（2024春 庐阳区校级期中）如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球甲、乙（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为（ ）
A．tanα B．
C． D．
（多选）（2024春 福州期末）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（ ）
A．甲、乙两球不会同时落到轨道上
B．v1：v2＝1：3
C．乙球与甲球的速度变化量相同
D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点
如图，竖直平面内的四分之一圆弧，圆弧半径为R，O为圆心，一个可视为质点的小球从其边缘P点，以水平速度沿PO方向抛出，恰好击中最低点Q．设重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法中错误的是（ ）
A．小球从P到Q经过的时间为
B．小球的初速度大小为
C．刚要击中Q点时，速度方向与水平方向夹角为30°
D．刚要击中Q点时，速度大小为
（2024春 越秀区校级期中）如图所示，将一小球（可视为质点）从斜面顶端A点水平抛出，第一次速度大小为v0，落在B点，小球在空中的运动时间为t；第二次仍从A点水平抛出，落在斜面底端C点，小球在空中的运动时间为2t，则第二次水平抛出的速度大小为（ ）
A．2v0 B．2.5v0 C．3v0 D．4v0
（2024春 禄劝县期中）从光滑水平平台上的P点以大小不同的初速度平抛一个可视为质点的小球，小球分别落在平台下方倾角为θ的斜面上的两点。设落在A、B两点时小球的速度方向与斜面间的夹角分别为αA、αB，如图所示，则关于αA、αB的关系正确的是（ ）
A．αA＞αB B．αA＜αB C．αA＝αB D．无法确定
（2023秋 碑林区校级期末）如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上P点以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把水平抛出的初速度变为2v0。则下列说法正确的是（ ）
A．夹角α将变大
B．夹角α将变小
C．小球在空中的运动时间变为原来的2倍
D．小球在空中运动的水平距离一定变为原来的2倍
（多选）（2024春 南宁期末）如图，倾角为37°的斜面体的坡面为矩形ABCD，BC边长为L，AB边长为0.6L，某同学站在坡顶上的A点处，从A点正上方的P点沿水平方向抛出一个小球，小球刚好落在C点，已知P点离A点高度为0.4L，重力加速度大小为g，不计空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（ ）
A．小球在空中运动时间为
B．小球从P点抛出的初速度大小为
C．小球落到C点时速度大小为
D．小球落到C点时速度与水平方向的夹角的正切值为2
（多选）（2024春 兰州期中）如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上（忽略空气阻力）（ ）
A．两次小球运动时间之比t1：：1
B．两次小球运动时间之比t1：t2＝1：
C．两次小球抛出时初速度之比v01：v02＝1：
D．两次小球抛出时初速度之比v01：v02＝1：2
（多选）（2024春 重庆期中）半圆弧轨道ACB与斜面体A1B1C1，B1C1与圆弧的直径AB等长，A1C1与圆弧半径等长，不同质量两小球分别同时由A及A1以相同的速度水平抛出，分别落在圆弧面和斜面上，则（ ）
A．小球可能先落在圆弧面上
B．小球可能垂直于圆弧面落在圆弧上
C．两小球平抛的末速度可能相同
D．在两小球平抛的过程中，重力的瞬时功率可能始终相等
如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α＝37°角；则两小球初速度之比（ ）（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
A．0.6 B． C． D．0.8
如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为（ ）
A．R B． C． D．
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专题强化（2）与斜面、曲线结合的平抛运动
掌握平抛运动与斜面、曲面结合的平抛运动分析思路
知识点1 与斜面有关的平抛运动
运动情形 题干信息 分析方法
从空中水平抛出垂直落到斜面上 速度方向 分解速度，构建速度三角形 vx＝v0 vy＝gt θ与v0、t的关系： tan θ＝＝
从斜面水平抛出又落到斜面上 位移方向 分解位移，构建位移三角形 x＝v0t y＝gt2 θ与v0、t的关系： tan θ＝＝
（2024秋 顺义区校级月考）如图所示，以10m/s的水平速度抛出的物体，飞行一段时间后垂直撞在倾角为θ＝30°的斜面上，g取10m/s2，以下结论正确的是（ ）
A．物体的飞行时间是s
B．物体水平方向运动位移为20m
C．物体撞击斜面时的速度大小为20m/s
D．物体下降的距离是10m
【解答】解：A、设垂直地撞在斜面上时速度为v，如图所示：
对小球的末速度正交分解可得：v0＝vsinθ，vy＝vcosθ，所以有：，
由竖直方向自由落体的规律得：vy＝gt
代入数据得：，故A错误；
B、物体运动的水平位移为：，故B错误；
C、物体落在斜面的速度为：，故C正确；
D、物体下落的高度为：，故D错误。
故选：C。
（2024春 辽宁期末）如图所示，将三个小球分别从同一竖直线上不同高度A、B、C三处水平抛出，恰好落在斜面体上的同一点D，忽略空气阻力。三个小球的初速度分别用vA、vB、vC表示，三个小球在空中的飞行时间分别用tA、tB、tC表示。关于三个小球的运动，下列说法正确的是（ ）
A．vA＜vB＜vC B．vA＞vB＞vC C．tA＝tB＝tC D．tA＜tB＜tC
【解答】解：CD．平抛运动竖直方向上做自由落体运动，根据
解得
由图可知
hA＞hB＞hC
可得
tA＞tB＞tC
故CD错误；
AB．水平方向上做匀速直线运动，根据
x＝v0t
解得
由图可知
xA＝xB＝xC
解得
vA＜vB＜vC
故A正确，B错误。
故选：A。
（2024春 太原期中）地球和月球上有两个足够长、倾角为θ的山坡，若分别从两个山坡上以相同初速度各水平抛出一个小球，小球落到山坡上时，速度方向与斜面的夹角分别记为α1、α2。地球表面重力加速度大小是月球表面的6倍，不计阻力，下列选项正确的是（ ）
A．α1＞α2 B．α1＜α2
C．α1＝α2 D．α1与α2无确定关系
【解答】解：小球做平抛运动，设运动时间为t
根据平抛运动规律，竖直位移
水平位移x＝v0t
小球抛出点与落地点之间的距离为合位移，合位移与水平方向夹角的正切值
小球落地时的竖直速度vy＝gt
落地时合速度与水平方向的夹角的正切值
联立解得tanα＝2tanθ
由于在地球和月球上斜面的倾角相同，因此小球在地球上和在月球上落地时速度方向与坡面的夹角也相等，即α2＝α1，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024春 泉州期中）如图，两小球P、Q从同一高度分别以v1和v2的初速度水平抛出，都落在了倾角θ＝53°的斜面上的A点，其中小球P垂直打到斜面上，已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。则v1、v2大小之比为（ ）
A．2：1 B．3：2 C．9：16 D．32：9
【解答】解：两球抛出后都做平抛运动，两球从同一高度抛出落到同一点，它们在竖直方向的位移相等，小球在竖直方向做自由落体运动，由于竖直位移h相等，它们的运动时间t相等；
对球Q：tanθ＝tan53°，
解得：v2gt，
球P垂直打在斜面上，则有：v1＝vytanθ＝gt tan53°gt，
则：，故D正确，ABC错误；
故选：D。
（2023秋 西湖区校级期末）如图1，A点为倾角为30°的斜面底部，在A点的正上方某高度P点以初速v0平抛一小球，小球打在斜面上B点，C为AB的中点。在P点将小球平抛的初速变为v时，小球恰好打在C点，则有（ ）
A．v B．v C．v0＞v D．v
【解答】解：小球从A点正上方抛出，做初速度为v0的平抛运动，恰落在B点，若改变初速度，落在C点，可知水平位移变为原来的，若运动时间不变，由x＝v0t知初速度变为原来的，但由于小球运动时间变长，则初速度小于v0，即vv0，故A正确，B、C、D错误。
故选：A。
（多选）（2024春 莆田期末）如图所示，将小球由一倾角为α的固定斜面底端沿与竖直方向夹角θ＝30°的速度v0斜向上抛出，小球恰好以水平速度经过斜面顶端。小球可视为质点，不考虑空气阻力，已知重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球经斜面顶端飞过的速度为
B．小球由斜面底端运动至顶端的时间为
C．斜面的高度为
D．斜面的倾角α为30°
【解答】解：A．小球恰好以水平速度经过斜面顶端，将小球的运动进行合成分解，小球平行斜面方向做匀速直线运动，垂直斜面方向做竖直上抛运动，则小球经斜面顶端飞过的速度为
故A正确；
BC．小球恰好以水平速度经过斜面顶端，可知斜面顶端是小球斜抛的最高点，则小球由斜面底端运动至顶端的时间为
斜面的高度为
故B正确，C错误；
D．斜面的倾角满足
可得斜面的倾角α大于30°，故D错误。
故选：AB。
知识点2 与曲面相关的平抛运动
已知速度方向 情景示例 解题策略
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方向 分解速度tan θ＝＝
利用位移关系 从圆心处抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，位移大小等于半径R
从与圆心等高圆弧上抛出落到半径为R的圆弧上，如图所示，水平位移x与R的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
（2024春 庐阳区校级期中）如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球甲、乙（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为（ ）
A．tanα B．
C． D．
【解答】解：根据平抛运动水平方向上为匀速直线运动，竖直方向上为自由落体运动可知；
甲小球水平方向的位移为xA＝Rsinα＝v1t1，竖直方向的位移为，联立解得；
乙小球水平方向的位移为xB＝Rcosα＝v2t2，竖直方向的位移为，联立解得，
所以有，故C正确，ABD错误；
故选：C。
（多选）（2024春 福州期末）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（ ）
A．甲、乙两球不会同时落到轨道上
B．v1：v2＝1：3
C．乙球与甲球的速度变化量相同
D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点
【解答】解：AB.由图可知，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，则两个小球下落的高度相等，根据hgt2可知，甲、乙两球下落到轨道的时间t相等，两小球同时水平抛出，所以两小球一定同时落到轨道上，且甲球水平位移x1＝R﹣Rsin30°＝RRR＝v1t，乙球的水平位移x2＝R+Rsin30°＝RRR＝v2t，则v1：v2＝1：3，故A错误，B正确；
C.两个物体下落到轨道的时间相等，加速度都为g，根据速度变化量公式Δv＝g Δt，两球速度变化量相同，故C正确；
D.根据平抛运动规律，某点速度方向的反向延长线必过水平位移的中点，如果D点的反向延长线过O点，则D的水平位移必须等于2R，而x2R，所以D点的反向延长线一定不会过O点，故D错误。
故选：BC。
如图，竖直平面内的四分之一圆弧，圆弧半径为R，O为圆心，一个可视为质点的小球从其边缘P点，以水平速度沿PO方向抛出，恰好击中最低点Q．设重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法中错误的是（ ）
A．小球从P到Q经过的时间为
B．小球的初速度大小为
C．刚要击中Q点时，速度方向与水平方向夹角为30°
D．刚要击中Q点时，速度大小为
【解答】解：A、小球做平抛运动，则从P到Q经过的时间R得t，故A正确；
B、由水平方向R＝v0t得小球的初速度大小为v0，故B正确；
C、刚要击中Q点时，设速度方向与水平方向夹角为θ，则tanθ2，所以θ≠30°，故C错误；
D、刚要击中Q点时，速度大小为v，故D正确；
此题选择错误的选项
故选：C。
（2024春 越秀区校级期中）如图所示，将一小球（可视为质点）从斜面顶端A点水平抛出，第一次速度大小为v0，落在B点，小球在空中的运动时间为t；第二次仍从A点水平抛出，落在斜面底端C点，小球在空中的运动时间为2t，则第二次水平抛出的速度大小为（ ）
A．2v0 B．2.5v0 C．3v0 D．4v0
【解答】解：小球沿竖直方向的位移：x＝v0t
沿竖直方向的位移：y
根据
联立可得
当速度加倍时，运动时间加倍，则当小球在空中的运动时间为2t时，则第二次水平抛出的速度大小为2v0。
故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024春 禄劝县期中）从光滑水平平台上的P点以大小不同的初速度平抛一个可视为质点的小球，小球分别落在平台下方倾角为θ的斜面上的两点。设落在A、B两点时小球的速度方向与斜面间的夹角分别为αA、αB，如图所示，则关于αA、αB的关系正确的是（ ）
A．αA＞αB B．αA＜αB C．αA＝αB D．无法确定
【解答】解：如图甲所示，小球从斜面上P点水平又落回到斜面上，其速度方向与斜面间的夹角为α，
则
而tanθ
即有tan（θ+α）＝2tanθ
可见小球落在斜面上时速度方向都相同，与初速度大小无关。
如图乙所示，连接P点到落点构造斜面，可得
tan（θA+αA'）＝2tanθA＝tan（θ+αA）、tan（θB+α'B）＝2tanθB＝tan（θ+αB）
因为θA＞θB
则tan（θ+αA）＞tan（θ+αB）
可得αA＞αB，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023秋 碑林区校级期末）如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面上P点以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α。若把水平抛出的初速度变为2v0。则下列说法正确的是（ ）
A．夹角α将变大
B．夹角α将变小
C．小球在空中的运动时间变为原来的2倍
D．小球在空中运动的水平距离一定变为原来的2倍
【解答】解：C、根据得，小球在空中运动的时间为：因为初速度变为原来的2倍，则小球运动的时间变为原来的2倍，故C正确；
AB、速度与水平方向的夹角β的正切值为：，因为θ不变，则速度与水平方向的夹角β不变，可知α不变，与初速度无关，故AB错误；
D、PQ的间距为：，所以当初速度变为原来的2倍，则PQ的间距变为原来的4倍，小球在空中运动的水平距离一定变为原来的4倍，故D错误。
故选：C。
（多选）（2024春 南宁期末）如图，倾角为37°的斜面体的坡面为矩形ABCD，BC边长为L，AB边长为0.6L，某同学站在坡顶上的A点处，从A点正上方的P点沿水平方向抛出一个小球，小球刚好落在C点，已知P点离A点高度为0.4L，重力加速度大小为g，不计空气阻力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（ ）
A．小球在空中运动时间为
B．小球从P点抛出的初速度大小为
C．小球落到C点时速度大小为
D．小球落到C点时速度与水平方向的夹角的正切值为2
【解答】解：A、小球在空中做平抛运动，竖直方向有
解得：，故A正确；
B、水平方向有
解得小球从P点抛出的初速度大小为：，故B错误；
C、小球落到C点时竖直分速度大小为vy＝gt＝g
小球落到C点时速度大小为v，解得：v，故C错误；
D、小球落到C点时速度与水平方向的夹角的正切值为tanα，解得tanα＝2，故D正确。
故选：AD。
（多选）（2024春 兰州期中）如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上（忽略空气阻力）（ ）
A．两次小球运动时间之比t1：：1
B．两次小球运动时间之比t1：t2＝1：
C．两次小球抛出时初速度之比v01：v02＝1：
D．两次小球抛出时初速度之比v01：v02＝1：2
【解答】解：AB、平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，根据h＝gt2，解得t，
因为两次小球下降的高度之比为1：2，则运动时间之比为 t1：t2＝1：，故B正确，A错误；
CD、小球水平位移之比为1：2，由x＝v0t得：水平初速度之比为 v01：v02＝1：，故C正确，D错误。
故选：BC。
（多选）（2024春 重庆期中）半圆弧轨道ACB与斜面体A1B1C1，B1C1与圆弧的直径AB等长，A1C1与圆弧半径等长，不同质量两小球分别同时由A及A1以相同的速度水平抛出，分别落在圆弧面和斜面上，则（ ）
A．小球可能先落在圆弧面上
B．小球可能垂直于圆弧面落在圆弧上
C．两小球平抛的末速度可能相同
D．在两小球平抛的过程中，重力的瞬时功率可能始终相等
【解答】解：A、如图所示：
假如小球抛出时的初速度较大，小球能落到圆弧BD上，此时小球一定是先落在圆弧面上，故A正确；
B、若小球垂直于圆弧面落在圆弧上，则速度的反向延长线经过圆心，根据平抛运动的推论，其速度的反向延长线又经过水平位移的中点，两者相矛盾，则小球不可能垂直于圆弧面落在圆弧上，故B错误；
C、如图，若两球均能落到D点，则两小球平抛的末速度相同，故C正确；
D、两球同时抛出，则任意时刻小球速度的竖直分量始终相同，根据p＝mgvy可知，两球重力不等，则重力的瞬时功率不可能始终相等，故D错误。
故选：AC。
如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球（可视为质点），最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α＝37°角；则两小球初速度之比（ ）（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
A．0.6 B． C． D．0.8
【解答】解：对于小球1，根据Rcosα，解得t1，则v1Rsinα。
对于小球2，根据Rsinα，解得t2，则v2Rcosα。
则两小球的初速度之比．故B正确，A、C、D错误。
故选：B。
如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为60°，则C点到B点的距离为（ ）
A．R B． C． D．
【解答】解：由题意知得：小球通过D点时速度与圆柱体相切，则有
vy＝v0tan60°
小球从C到D，水平方向有 Rsin60°＝v0t
竖直方向上有 y，
联立解得 y，
故C点到B点的距离为 S＝y﹣R（1﹣cos60°）。
故选：D。
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