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6.4 生活中的圆周运动
（1）知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算。
（2）了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。
（3）能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。
在铁路弯道处，稍微留意一下，就能发现内、外轨道的高度略有不同。你能解释其中的原因吗？
圆周运动是一种常见的运动形式，在生活中有着广泛的应用。
知识点1 火车转弯
1．如果铁路弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力．
2．铁路弯道的特点
(1)弯道处外轨略高于内轨．
(2)火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧．支持力与重力的合力指向圆心．
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)．
2．当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘无挤压作用．当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．当火车行驶速度v（2024春 中山市期末）一满载旅客的复兴号列车以大小为v的速度通过斜面内的一段圆弧形铁轨时，车轮对铁轨恰好都没有侧向挤压。图为该段铁轨内、外轨道的截面图，斜面倾角为θ。下列说法正确的是（ ）
A．列车受到重力、轨道的支持力和向心力
B．若列车以大于v的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压外轨
C．若列车空载时仍以v的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压内轨
D．列车对轨道在与斜面垂直方向上的压力大小满足N＝mgcosθ
【解答】解：A.当车轮对铁轨侧向没有挤压时，则列车只受到重力和支持力的作用，它们的合力提供向心力，故A错误；
B.若列车以大于v的速度通过该圆弧轨道，外轨对外轮缘产生向内的侧压力补充重力和支持力的合力提供向心力不足的部分，所以车轮将侧向挤压外轨，故B正确；
C.若列车空载时仍以v的速度通过该圆弧轨道，根据mgtanθ＝m可知，设计速度与列车质量无关，所以车轮也不会对任一侧轨道产生挤压，故C错误；
D.列车受力情况如图
根据几何关系有Ncosθ＝mg，得N，根据牛顿第三定律，列车对轨道的压力大小也为N，故D错误。
故选：B。
（2024春 新郑市校级期末）传统的火车车轮是圆柱形，铁轨的弯道部分外轨高内轨低，当火车行进时，有时会产生难听的“尖叫声”。如图所示，高铁的车轮是外小内大的锥形，现在这项技术已应用到地铁上。某地铁线路的设计要求弯道的最小曲率半径不能低于450m，设计速度要达到108km/h。已知轨距为1435mm标准轨距，重力加速度g＝10m/s2，则根据上述信息，可以判断下列说法正确的是（ ）
A．地铁线路弯道的外轨比内轨高约28.7mm
B．弯道的外轨设计得比内轨高是为了防止车厢做圆周运动时挤压内轨
C．当列车经过弯道的速度低于108km/h时，车厢所需向心力由弹力与重力的合力提供
D．外小内大的锥形车轮能确保外轨车轮的速度略大于内轨车轮的速度
【解答】解：AC．地铁的运行速度只有达到设计速度108km/h时，才由弹力和重力的合力提供其转弯的向心力，根据向心力公式有
代入数据可得
由于倾斜角极小，则
tanθ≈sinθ
又由
代入数据得外轨比内轨高287mm，故AC错误；
B．车速较大时，车厢转弯时做离心运动，重力的分量不足以提供向心力，外轨对车厢有挤压，所以弯道的外轨设计得比内轨高是为了防止车厢转弯时做离心运动而挤压外轨，故B错误；
D．虽然外轨比内轨高，但当车速较小时，车厢会挤压内轨，车速较大时，车厢会往外侧移，外侧车轮与轨道接触的部分半径较大，线速度较大，故D正确。
故选：D。
（2024春 市南区校级期末）如图所示，火车质量为M，火车转弯半径为R，铁轨平面倾角为θ，当火车以速率v0驶过转弯处时，由重力和支持力的水平合力完全提供向心力，重力加速度为g，下列说法不正确的是（ ）
A．当以速率v0行驶时，向心力大小为m
B．当以速率v0行驶时，向心力大小为mgtanθ
C．当以速率v（v＞v0）行驶时，火车轮缘与外轨挤压
D．当以速率v（v＞v0）行驶时，火车轮缘与内轨挤压
【解答】解：A、火车转弯时做匀速圆周运动的一部分，故根据牛顿第二定律可知F，故A正确；
B、对火车受力分析，重力和支持力的合力提供向心力，故F＝mgtanθ，故B正确；
C、当以速率v（v＞v0）行驶时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，还需要火车轮缘与外轨挤压提供部分向心力，故C正确，D错误；
因选不正确的，故选：D。
（2024春 江津区期中）如图所示，铁路转弯处，外轨高于内轨。已知内、外轨高度差h＝10cm，弯道半径r＝625m，轨道斜面长l＝1435mm，重力加速度g＝10m/s2。火车通过弯道的速度大小为v，下列判断正确的是（ ）
A．当v＝60km/h时，火车对轨道的侧压力为零
B．当v＝65km/h时，火车对内轨道有侧压力
C．当v＝72km/h时，火车对轨道的侧压力为零
D．当v＝75km/h时，火车对外轨道有侧压力
【解答】解：设火车质量为m，当火车以设计速度v0行驶时，根据向心力公式F＝m
所以有mgtanθ＝m
当θ很小时取tanθ﹣sinθ
联立可得v0
代入数据得v0＝20.87m/s≈75km/h
当速度等于75km/h时，对轨道无挤压，当速度大于75km/h，火车挤压外轨，当速度小于75km/h，火车挤压内轨，故B正确，ACD错误。
故选：B。
知识点2 汽车过拱形桥
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析
向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m
对桥(路面)的压力 FN′＝mg－m FN′＝mg＋m
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，汽车对桥的压力越小 汽车对路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，汽车对路面的压力越大
1．汽车在拱形桥或凹形路面行驶时，可以看作匀速圆周运动
(1)汽车过拱形桥时，汽车对桥的压力小于重力，汽车处于失重状态，速度越大，压力越小．
(2)汽车过凹形路面时，汽车对路面的压力大于重力，汽车处于超重状态，速度越大，压力越大．
(3)汽车在桥面最高点即将飞离桥面时所受支持力恰好为0，此时只有重力提供向心力，即mg＝，得v＝，若超过这个速度，汽车做平抛运动．
（2024春 丽水期末）如图，一质量为M的半圆弧凹槽放置在一电子秤上，现从最低点有初速度释放一质量为m的小球，忽略空气阻力与轨道摩擦，某时刻半圆弧凹槽对电子秤的压力为FN。若小球从未脱离过圆弧轨道，则（ ）
A．FN可能大于Mg+mg
B．FN可能小于Mg
C．小球所受的支持力一直大于mg
D．小球所受的支持力一直小于mg
【解答】解：当小球运动到最低点时，与凹槽的作用力最大，此时对小球根据牛顿第二定理有
解得
此时小球所受的支持力大于mg；
对凹槽分析可根据平衡条件知
N+Mg＝FN
可知
FN＞Mg+mg
此时FN大于Mg+mg
设小球运动到最高点和凹槽圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，则在最高点有
N′＝mgcosθ
此时小球所受的支持力一直小于mg；
对凹槽分析可知
N′cosθ+Mg＝F′N
可知
mgcos2θ+Mg＝F′N
此时FN小于Mg+mg，且大于等于Mg，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024 衡阳县校级开学）公路上的拱形桥是常见的，汽车过桥最高点时的运动可以看作圆周运动。如图所示，汽车通过桥最高点时（ ）
A．汽车对桥的压力等于汽车的重力
B．汽车对桥的压力大于汽车的重力
C．汽车过桥最高点时所需要的向心力方向竖直向下
D．汽车做圆周运动所需要的向心力为0
【解答】解：ABC、汽车通过桥最高点时，对汽车受力分析，在竖直方向受到重力和桥的支持力，汽车做圆周运动，则由重力与支持力的合力提供向心力，且指向圆心，可知向心力方向竖直向下，由牛顿第二定律得
解得：
可得FN＝mg+m
可知桥对汽车的支持力FN小于重力mg，由牛顿第三定律可知，汽车对桥的压力小于汽车的重力，故AB错误，C正确；
D、汽车做圆周运动，由牛顿第二定律可知，所需要的向心力不为0，若向心力为0，汽车就不能做圆周运动，故D错误。
故选：C。
（2024春 高新区期末）如图甲，汽车以恒定速率通过一拱形桥面。如图乙，a、b、c是汽车过桥面时的三个不同位置，其中a、c两点高度相同，b点为桥面的最高点。假设整个过程中汽车所受空气阻力和摩擦阻力的大小之和保持不变。下列说法正确的是（ ）
A．在ab段汽车对桥面的压力大小不变
B．在bc段汽车的牵引力逐渐增大
C．在ab段汽车所受合力的大小、方向均不变
D．在ab段汽车发动机做功比bc段多
【解答】解：A.假设圆弧轨道的圆心为O，汽车受力（部分）如下图
在指向圆心的方向，有mgcosθ﹣N＝m，汽车做匀速圆周运动，向心力大小不变，从a到b运动时，θ减小，则N增大，根据牛顿第三定律可知，汽车对桥面的压力大小也增大，故A错误；
B.如上图，汽车在bc段时，在速度方向上满足mgsinα+F＝f，随着汽车越来越靠近c点，α增大，空气阻力和摩擦阻力的合力f大小不变，则牵引力F逐渐减小，故B错误；
C.汽车所受的合力提供匀速圆周运动的向心力，大小不变，但方向始终指向圆心，故C错误；
D.根据动能定理，设ab段弧长为s，高度差为h，发动机做功W1，满足W1﹣fs﹣mgh＝0，则W1＝mgh+fs，同理在bc段，W2﹣fs+mgh＝0，则W2＝fs﹣mgh，故W1＞W2，故D正确。
故选：D。
知识点3 航天器中的失重现象
(1)在近地圆形轨道上，航天器(包括卫星、飞船、空间站)的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝.
(2)质量为m的航天员，受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝.
当v＝时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态．
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态．
知识点4离心运动
1．物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力．
2．离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小关系决定．(如图所示)
(1)当F合＝mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动；
(2)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做近心运动；
(3)当0≤F合（2024春 温州期末）一物体置于水平粗糙圆盘上，圆盘从静止开始加速转动。整个过程中，物体的运动轨迹如图所示。对于物体经过a、b、c、d点时的速度方向，图中标注正确的是（ ）
A．a点 B．b点 C．c点 D．d点
【解答】解：圆盘从静止开始加速转动，物体先随着圆盘一起做圆周运动，随着速度增大到一定程度物体做离心运动，所以圆盘是顺时针方向转动的，根据做曲线运动的物体，其速度方向为轨迹上的切线方向，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024春 天津期末）总长约55公里的港珠澳大桥是全球规模最大的跨海工程。如图所示的路段是其中一段半径约为120m的圆弧形弯道，路面水平，若汽车通过该圆弧形弯道时视为做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力约为正压力的0.8倍，取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．汽车转弯过程受重力、支持力、摩擦力和向心力
B．汽车以40m/s的速率可以安全通过此弯道
C．汽车速度太大时做离心运动是因为汽车实际受到的合外力不足以提供所需向心力
D．下雨天时，汽车应以较小速度转弯，保证其受到的合外力大于需要的向心力
【解答】解：A.汽车转弯过程受到重力、支持力和静摩擦力作用，且静摩擦力充当向心力，故A错误；
B.设汽车最大转弯速率为vm，根据牛顿第二定律有μmg＝m，代入μ＝0.8，R＝120m，g＝10m/s2，解得vm＝31m/s，汽车的速度超过了最大速度，故B错误；
C.汽车速度太大时做离心运动是合外力不足以提供所需的向心力，故C正确；
D.下雨天时，汽车应以较小的速度转弯，是确保合外力始终能提供需要的向心力，故D错误。
故选：C。
（2024春 城关区校级期末）下列关于离心现象的说法中，正确的是（ ）
A．当物体所受到的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线飞出
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
【解答】解：A、离心力是不存在的，因为它没有施力物体。所以物体不会受到离心力，故A错误。
BCD中、惯性：当物体不受力或受到的合外力为零时，物体保持静止或匀速直线运动状态。所以做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都消失时，由于惯性，物体继续保持该速度做匀速直线运动。故BD错误，C正确。
故选：C。
（2024春 金华期末）下面四幅图用曲线运动知识描述正确的是（ ）
A．图甲，制作棉花糖时，糖水因为受到离心力而被甩出去
B．图乙，火车轨道的外轨略高于内轨，火车拐弯时速度越小，对轨道磨损就一定越小
C．图丙，该自行车在赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力不变
D．图丁在一座凹形桥的最低点同一辆车子速度越大对桥面压力就越大
【解答】解：A、图甲，制作棉花糖时，熔化后的糖浆因为速度比较大而做离心运动被甩出去，故A错误；
B、图乙，火车轨道的外轨略高于内轨，火车拐弯时由重力和铁轨对火车的支持力的合力提供向心力做圆周运动，如果火车的速度较小，重力和支持力的合力大于火车所需的向心力，则内轨对火车轮有向外的挤压，内铁轨容易受损，故B错误；
C、图丙，该自行车在赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力大小不变，方向始终指向圆心，故C错误；
D、图丁在一座凹形桥的最低点时，设桥面对汽车的支持力大小为F，根据牛顿第二定律有F﹣mg＝m，得F＝mg，则速度越大，桥面对汽车的支持力就越大，根据牛顿第三定律可知汽车对桥面的压力也就越大，故D正确。
故选：D。
（2024秋 龙华区校级月考）一质量为2000kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.6×104N，当汽车经过半径为100m的弯道时，下列判断正确的是（ ）
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.6×104N
C．汽车转弯的速度为30m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过6m/s2
【解答】解：A、分析受力只能分析性质力，不能添加效果力，所以汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力，故A错误；
B、由向心力公式可知F＝m2000N＝8×103N，即汽车转弯的速度为20m/s时，所需向心力8×103N，同理汽车转弯的速度为30m/s时，向心力为F'＝1.8×104N，大于路面可提供的最大静摩擦力1.6×104N，汽车会发生侧滑，故B错误，C正确；
D、由fmax＝ma
解得a＝8.0m/s2，即汽车能安全转弯的向心加速度不超过8.0m/s2，故D错误。
故选：C。
（2024 杭州开学）如图所示是摩托车运动员在水平赛道转弯的照片，下列说法正确的是（ ）
A．摩托车正在向运动员的左侧转弯
B．摩托车受到重力、地面支持力、摩擦力和向心力的作用
C．摩托车速度越大，受到的支持力越大
D．下雨天，摩托车转弯的最大限制速度应减小
【解答】解：A.通过照片分析可知，摩托车有相当于地面向右滑动的趋势，受到向左的静摩擦力，说明摩托车正在向运动员的右侧转弯，故A错误；
B.摩托车只受到重力、地面支持力和静摩擦力的作用，且静摩擦力提供向心力，故B错误；
C.摩托车速度越大，静摩擦力提供向心力，根据f＝m，则静摩擦力越大，不是支持力越大，故C错误；
D.下雨天，地面和车轮间的动摩擦因数减小，则最大静摩擦力减小，由f＝m，为了保证安全，需要减小最大的限制速度，故D正确。
故选：D。
（2024春 绵阳期末）我国高速铁路运营里程居世界第一。如图所示为我国某平原地区从A市到B市之间的高铁线路，线路上S1、S2、S3、S4位置处的曲率半径（圆周运动半径）大小关系为R1＞R2＞R3＞R4。若修建时这四个位置内外轨道的高度差相同，要让列车在经过这四个位置处与铁轨都没有发生侧向挤压，则列车经过这四个位置时速度最大的是（ ）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
【解答】解：对火车受力分析，如图所示
根据牛顿第二定律
修建时这四个位置内外轨道的高度差相同，则tanα相等，可得
则曲率半径R越大，速度越大，即列车经过这四个位置时速度最大的是S1。
故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）（2024春 垫江县校级月考）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（ ）
A．该弯道的半径
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小也随之改变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
【解答】解：A．火车拐弯时不侧向挤压轮缘，重力和支持力的合力提供向心力，有
解得
故A正确；
B．根据
解得
可知火车规定的行驶速度大小与质量无关，故B错误；
CD．当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车轮缘有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确。
故选：AD。
（多选）（2024春 天河区校级期末）如图所示，为保证安全，铁路拐弯处内、外轨有一定的高度差，使质量为M0的火车以设计的速率v0在水平面内转弯时，内、外轨对车轮均无侧向压力，测得此时轨道对车轮的支持力大小为N0。当火车以实际速率v（v≠v0）在此弯道上转弯时，轨道将施于车轮一个与枕木平行的侧向压力F，下列说法正确的是（ ）
A．若v＞v0，侧向压力F方向由内轨指向外轨
B．若v＞v0，轨道对车轮的支持力大于N0
C．在春运期间乘客较多，导致火车总质量大于M0，为保证安全，此时的行驶速率应该小于v0
D．该弯道的半径
【解答】解：AB．若v＞v0，重力和支持力的合力不足以提供火车做圆周运动的向心力，火车有做离心运动的趋势，则此时外轨对车轮轮缘施加压力，即侧向压力F方向由外轨指向内轨，此时轨道对车轮的支持力大于N0，故A错误，B正确；
CD．火车以规定的速度转弯时满足
可知v0与火车的质量无关，该弯道的半径
故C错误，D正确。
故选：BD。
（2024春 江津区期中）汽车过拱桥时的运动可以看成圆周运动。如图所示，汽车以速度v通过半径为R的拱形桥最高点时，以下说法正确的是（ ）
A．汽车处于超重状态
B．汽车对桥的压力小于桥对汽车的支持力
C．无论汽车速度多大，汽车对桥始终有压力
D．桥对汽车的支持力大小为
【解答】解：ABD、对汽车，根据牛顿第二定律有，解得桥对汽车的支持力大小：mg，汽车处于失重状态，根据牛顿第三定律可知汽车对桥的压力等于桥对汽车的支持力，故AB错误，D正确；
C、由上述表达式可知当时，汽车对桥无压力，故C错误；
故选：D。
（2024 广州二模）如图，一辆汽车以恒定速率通过圆弧拱桥，N为桥面最高处，则汽车（ ）
A．在N处所受支持力大小大于其重力
B．在N处所受支持力大小等于其重力
C．从M到N过程所受支持力逐渐增大
D．从M到N过程所受支持力逐渐减小
【解答】解：AB、在N点处，在竖直方向对汽车由牛顿第二定律有：，可知汽车在N处所受支持力大小小于其重力，故AB错误；
CD、从M到N过程，对汽车受力分析，把重力分解，如下图所示：
由牛顿第二定律有：
可得支持力大小：，从M到N，θ减小，cosθ增大，速率v不变，可知支持力FN增大，故C正确，D错误。
故选：C。
（2023春 锦江区月考）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着质量相等的两个物体A和B，通过细线相连，B放在转轴的圆心上，它们与圆盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。现逐渐增大圆盘的转速，当圆盘转速增加到两物体刚要发生滑动时烧断细线，则（ ）
A．物体A沿半径方向滑离圆盘
B．物体A沿切线方向滑离圆盘
C．物体A仍随圆盘一起做圆周运动
D．物体A受到的摩擦力大小不变
【解答】解：当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，B放在圆心上，向心力为零，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，既不沿半径方向，也不沿切线方向，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2022春 许昌期末）如图所示，细绳的一端固定在悬点O，细绳的另一端连接一个小球，小球绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做完整的圆周运动。当小球运动到最高点P时，突然剪断细绳，则关于小球以后运动的大致轨迹，下列说法正确的是（不计空气阻力）（ ）
A．小球的运动轨迹可能是1
B．小球的运动轨迹可能是2
C．小球的运动轨迹可能是3
D．小球沿着原来的运动轨迹运动到Q点后，再竖直向下运动
【解答】解：A、小球经过P点时，速度最小值满足，解得
绳子断裂后小球做平抛运动，则运动轨迹为抛物线，当下落到OQ水平线上时，根据x＝vt
解得
小球的运动轨迹可能是1，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024春 苏州期末）火车以60m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10s内匀速转过了约10°。已知π≈3，，在此10s时间内，求：
（1）火车转弯的角速度ω；
（2）火车转弯的半径r。
【解答】解：（1）根据角速度的定义式，火车转弯时的角速度大小为ωrad/srad/s
（2）根据公式v＝rω，得rm＝3600m
答：（1）火车转弯的角速度ω为rad/s；
（2）火车转弯的半径r为3600m。
（2023春 万安县校级期末）某铁路转弯处的圆弧半径是500m，若规定火车通过这个弯道的速度为72km/h。一质量为2×104kg的机车（俗称火车头）通过该弯道，机车转弯时可以简化为质点做圆周运动，g取10m/s2。
（1）若弯道处的铁轨铺设在水平路基上，如图1所示，求铁轨对车轮的侧向弹力大小；
（2）若弯道处的铁轨铺设在倾斜路基上，如图2所示，为了使铁轨对车轮没有侧向弹力，则路基的倾角θ多大？（求出θ的任一三角函数值即可）
【解答】解：（1）若在水平路基上，侧向弹力提供向心力，即
代入数据解得
F＝1.6×104N
（2）由受力分析如图所示
可得
根据牛顿第二定律
解得
tanθ＝0.08
答：（1）铁轨对车轮的侧向弹力大小为1.6×104N；
（2）路基的倾角θ应满足正切值等于0.08。
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6.4 生活中的圆周运动
（1）知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算。
（2）了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。
（3）能根据问题情景选择合适的向心加速度的表达式。
在铁路弯道处，稍微留意一下，就能发现内、外轨道的高度略有不同。你能解释其中的原因吗？
圆周运动是一种常见的运动形式，在生活中有着广泛的应用。
知识点1 火车转弯
1．如果铁路弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力．
2．铁路弯道的特点
(1)弯道处外轨略高于内轨．
(2)火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧．支持力与重力的合力指向圆心．
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角(θ很小的情况下，tan θ≈sin θ)．
2．当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车轮缘无挤压作用．当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力．当火车行驶速度v（2024春 中山市期末）一满载旅客的复兴号列车以大小为v的速度通过斜面内的一段圆弧形铁轨时，车轮对铁轨恰好都没有侧向挤压。图为该段铁轨内、外轨道的截面图，斜面倾角为θ。下列说法正确的是（ ）
A．列车受到重力、轨道的支持力和向心力
B．若列车以大于v的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压外轨
C．若列车空载时仍以v的速度通过该圆弧轨道，车轮将侧向挤压内轨
D．列车对轨道在与斜面垂直方向上的压力大小满足N＝mgcosθ
（2024春 新郑市校级期末）传统的火车车轮是圆柱形，铁轨的弯道部分外轨高内轨低，当火车行进时，有时会产生难听的“尖叫声”。如图所示，高铁的车轮是外小内大的锥形，现在这项技术已应用到地铁上。某地铁线路的设计要求弯道的最小曲率半径不能低于450m，设计速度要达到108km/h。已知轨距为1435mm标准轨距，重力加速度g＝10m/s2，则根据上述信息，可以判断下列说法正确的是（ ）
A．地铁线路弯道的外轨比内轨高约28.7mm
B．弯道的外轨设计得比内轨高是为了防止车厢做圆周运动时挤压内轨
C．当列车经过弯道的速度低于108km/h时，车厢所需向心力由弹力与重力的合力提供
D．外小内大的锥形车轮能确保外轨车轮的速度略大于内轨车轮的速度
（2024春 市南区校级期末）如图所示，火车质量为M，火车转弯半径为R，铁轨平面倾角为θ，当火车以速率v0驶过转弯处时，由重力和支持力的水平合力完全提供向心力，重力加速度为g，下列说法不正确的是（ ）
A．当以速率v0行驶时，向心力大小为m
B．当以速率v0行驶时，向心力大小为mgtanθ
C．当以速率v（v＞v0）行驶时，火车轮缘与外轨挤压
D．当以速率v（v＞v0）行驶时，火车轮缘与内轨挤压
（2024春 江津区期中）如图所示，铁路转弯处，外轨高于内轨。已知内、外轨高度差h＝10cm，弯道半径r＝625m，轨道斜面长l＝1435mm，重力加速度g＝10m/s2。火车通过弯道的速度大小为v，下列判断正确的是（ ）
A．当v＝60km/h时，火车对轨道的侧压力为零
B．当v＝65km/h时，火车对内轨道有侧压力
C．当v＝72km/h时，火车对轨道的侧压力为零
D．当v＝75km/h时，火车对外轨道有侧压力
知识点2 汽车过拱形桥
汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析
向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m
对桥(路面)的压力 FN′＝mg－m FN′＝mg＋m
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，汽车对桥的压力越小 汽车对路面的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，汽车对路面的压力越大
1．汽车在拱形桥或凹形路面行驶时，可以看作匀速圆周运动
(1)汽车过拱形桥时，汽车对桥的压力小于重力，汽车处于失重状态，速度越大，压力越小．
(2)汽车过凹形路面时，汽车对路面的压力大于重力，汽车处于超重状态，速度越大，压力越大．
(3)汽车在桥面最高点即将飞离桥面时所受支持力恰好为0，此时只有重力提供向心力，即mg＝，得v＝，若超过这个速度，汽车做平抛运动．
（2024春 丽水期末）如图，一质量为M的半圆弧凹槽放置在一电子秤上，现从最低点有初速度释放一质量为m的小球，忽略空气阻力与轨道摩擦，某时刻半圆弧凹槽对电子秤的压力为FN。若小球从未脱离过圆弧轨道，则（ ）
A．FN可能大于Mg+mg
B．FN可能小于Mg
C．小球所受的支持力一直大于mg
D．小球所受的支持力一直小于mg
（2024 衡阳县校级开学）公路上的拱形桥是常见的，汽车过桥最高点时的运动可以看作圆周运动。如图所示，汽车通过桥最高点时（ ）
A．汽车对桥的压力等于汽车的重力
B．汽车对桥的压力大于汽车的重力
C．汽车过桥最高点时所需要的向心力方向竖直向下
D．汽车做圆周运动所需要的向心力为0
（2024春 高新区期末）如图甲，汽车以恒定速率通过一拱形桥面。如图乙，a、b、c是汽车过桥面时的三个不同位置，其中a、c两点高度相同，b点为桥面的最高点。假设整个过程中汽车所受空气阻力和摩擦阻力的大小之和保持不变。下列说法正确的是（ ）
A．在ab段汽车对桥面的压力大小不变
B．在bc段汽车的牵引力逐渐增大
C．在ab段汽车所受合力的大小、方向均不变
D．在ab段汽车发动机做功比bc段多
知识点3 航天器中的失重现象
(1)在近地圆形轨道上，航天器(包括卫星、飞船、空间站)的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝.
(2)质量为m的航天员，受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝.
当v＝时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态．
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态．
知识点4离心运动
1．物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不足以提供所需的向心力．
2．离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动时出现离心运动还是近心运动，由实际提供的合力F合和所需向心力(m或mω2r)的大小关系决定．(如图所示)
(1)当F合＝mω2r时，“提供”等于“需要”，物体做匀速圆周运动；
(2)当F合>mω2r时，“提供”超过“需要”，物体做近心运动；
(3)当0≤F合（2024春 温州期末）一物体置于水平粗糙圆盘上，圆盘从静止开始加速转动。整个过程中，物体的运动轨迹如图所示。对于物体经过a、b、c、d点时的速度方向，图中标注正确的是（ ）
A．a点 B．b点 C．c点 D．d点
（2024春 天津期末）总长约55公里的港珠澳大桥是全球规模最大的跨海工程。如图所示的路段是其中一段半径约为120m的圆弧形弯道，路面水平，若汽车通过该圆弧形弯道时视为做匀速圆周运动，路面对轮胎的径向最大静摩擦力约为正压力的0.8倍，取重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．汽车转弯过程受重力、支持力、摩擦力和向心力
B．汽车以40m/s的速率可以安全通过此弯道
C．汽车速度太大时做离心运动是因为汽车实际受到的合外力不足以提供所需向心力
D．下雨天时，汽车应以较小速度转弯，保证其受到的合外力大于需要的向心力
（2024春 城关区校级期末）下列关于离心现象的说法中，正确的是（ ）
A．当物体所受到的离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线飞出
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
（2024春 金华期末）下面四幅图用曲线运动知识描述正确的是（ ）
A．图甲，制作棉花糖时，糖水因为受到离心力而被甩出去
B．图乙，火车轨道的外轨略高于内轨，火车拐弯时速度越小，对轨道磨损就一定越小
C．图丙，该自行车在赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力不变
D．图丁在一座凹形桥的最低点同一辆车子速度越大对桥面压力就越大
（2024秋 龙华区校级月考）一质量为2000kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.6×104N，当汽车经过半径为100m的弯道时，下列判断正确的是（ ）
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.6×104N
C．汽车转弯的速度为30m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过6m/s2
（2024 杭州开学）如图所示是摩托车运动员在水平赛道转弯的照片，下列说法正确的是（ ）
A．摩托车正在向运动员的左侧转弯
B．摩托车受到重力、地面支持力、摩擦力和向心力的作用
C．摩托车速度越大，受到的支持力越大
D．下雨天，摩托车转弯的最大限制速度应减小
（2024春 绵阳期末）我国高速铁路运营里程居世界第一。如图所示为我国某平原地区从A市到B市之间的高铁线路，线路上S1、S2、S3、S4位置处的曲率半径（圆周运动半径）大小关系为R1＞R2＞R3＞R4。若修建时这四个位置内外轨道的高度差相同，要让列车在经过这四个位置处与铁轨都没有发生侧向挤压，则列车经过这四个位置时速度最大的是（ ）
A．S1 B．S2 C．S3 D．S4
（多选）（2024春 垫江县校级月考）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（ ）
A．该弯道的半径
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小也随之改变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
（多选）（2024春 天河区校级期末）如图所示，为保证安全，铁路拐弯处内、外轨有一定的高度差，使质量为M0的火车以设计的速率v0在水平面内转弯时，内、外轨对车轮均无侧向压力，测得此时轨道对车轮的支持力大小为N0。当火车以实际速率v（v≠v0）在此弯道上转弯时，轨道将施于车轮一个与枕木平行的侧向压力F，下列说法正确的是（ ）
A．若v＞v0，侧向压力F方向由内轨指向外轨
B．若v＞v0，轨道对车轮的支持力大于N0
C．在春运期间乘客较多，导致火车总质量大于M0，为保证安全，此时的行驶速率应该小于v0
D．该弯道的半径
（2024春 江津区期中）汽车过拱桥时的运动可以看成圆周运动。如图所示，汽车以速度v通过半径为R的拱形桥最高点时，以下说法正确的是（ ）
A．汽车处于超重状态
B．汽车对桥的压力小于桥对汽车的支持力
C．无论汽车速度多大，汽车对桥始终有压力
D．桥对汽车的支持力大小为
（2024 广州二模）如图，一辆汽车以恒定速率通过圆弧拱桥，N为桥面最高处，则汽车（ ）
A．在N处所受支持力大小大于其重力
B．在N处所受支持力大小等于其重力
C．从M到N过程所受支持力逐渐增大
D．从M到N过程所受支持力逐渐减小
（2023春 锦江区月考）如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着质量相等的两个物体A和B，通过细线相连，B放在转轴的圆心上，它们与圆盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。现逐渐增大圆盘的转速，当圆盘转速增加到两物体刚要发生滑动时烧断细线，则（ ）
A．物体A沿半径方向滑离圆盘
B．物体A沿切线方向滑离圆盘
C．物体A仍随圆盘一起做圆周运动
D．物体A受到的摩擦力大小不变
（2022春 许昌期末）如图所示，细绳的一端固定在悬点O，细绳的另一端连接一个小球，小球绕O点在竖直平面内沿顺时针方向做完整的圆周运动。当小球运动到最高点P时，突然剪断细绳，则关于小球以后运动的大致轨迹，下列说法正确的是（不计空气阻力）（ ）
A．小球的运动轨迹可能是1
B．小球的运动轨迹可能是2
C．小球的运动轨迹可能是3
D．小球沿着原来的运动轨迹运动到Q点后，再竖直向下运动
（2024春 苏州期末）火车以60m/s的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在10s内匀速转过了约10°。已知π≈3，，在此10s时间内，求：
（1）火车转弯的角速度ω；
（2）火车转弯的半径r。
（2023春 万安县校级期末）某铁路转弯处的圆弧半径是500m，若规定火车通过这个弯道的速度为72km/h。一质量为2×104kg的机车（俗称火车头）通过该弯道，机车转弯时可以简化为质点做圆周运动，g取10m/s2。
（1）若弯道处的铁轨铺设在水平路基上，如图1所示，求铁轨对车轮的侧向弹力大小；
（2）若弯道处的铁轨铺设在倾斜路基上，如图2所示，为了使铁轨对车轮没有侧向弹力，则路基的倾角θ多大？（求出θ的任一三角函数值即可）
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