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专题强化（4）水平面内的圆周运动
掌握圆周运动中几种水平面内的运动模型
知识点1 圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是
向心力
摆线的拉力
【讨论】：
(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度 =也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
5.多绳圆锥摆问题
随角速度增大，两绳的拉力如何变化？
（2023春 红河州期末）如图所示，“旋转秋千”的座椅通过缆绳悬挂在旋转圆盘上。当旋转圆盘绕竖直中心轴从静止开始转动，稳定后座椅在水平面内做匀速圆周运动。已知悬点到中心轴的距离为R，座椅（可视为质点）质量为m，缆绳长度为L，缆绳与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则此时座椅的线速度v大小为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：座椅在水平面内做匀速圆周运动，由重力和缆绳拉力的合力提供其做匀速圆周运动的向心力，如图所示。
根据牛顿第二定律得
其中r＝R+Lsinθ
解得：，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023春 滨海新区校级期中）智能呼啦圈轻便类观，深受大众喜爱。如图甲所示，腰带外侧带有轨道，将滑轮置于轨道内，滑轮通过一根不可伸长的绳子与配重连接，其简化模型如图乙所示。水平固定好腰带，通过人体的微小扭动，配重将在滑轮的带动下一起在水平面内做匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可看作不动，下列说法正确的是（ ）
A．若以更大的转速匀速转动，则绳子上的拉力将增大
B．若以更大的转速匀速转动，则身体对腰带的摩擦力将增大
C．增大转速的过程中，配重的加速度恒定不变
D．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向的夹角将减小
【解答】解：AD、设绳长为L，悬挂点到腰带中心的距离为r。以配重为研究对象，受到重力和拉力，如图所示。
在竖直方向上，根据平衡条件得
Tcosθ＝mg
在水平方向上，根据牛顿第二定律得
Tsinθ＝m（r+Lsinθ）（2πn）2
联立可得：mgtanθ＝m（2πn）2（Lsinθ+r）
由此可知转速增大，配重做匀速圆周运动的半径变大，θ增大，T增大。若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向的夹角将不变，故A正确，D错误；
B、若增大转速，配重做匀速圆周运动的半径变大，绳与竖直方向的夹角θ将增大，竖直方向上，有
mg＝Tcosθ
对腰带分析如图所示。
竖直方向上，由平衡条件有
f＝Mg+Tcosθ＝Mg+mg
所以腰受到腰带的摩擦力不变，故B错误；
C、由A项分析中公式可知，转速增大，配重做匀速圆周运动的半径变大，θ增大，根据mgtanθ＝ma，即a＝gtanθ，可知配重的加速度变大，故C错误。
故选：A。
（2023春 南京月考）2022年北京冬奥会，花样滑冰团体赛冰上舞蹈自由舞比赛在首都体育馆举行。图甲为中国选手王诗玥（右）、柳鑫宇比赛时的面面，可以看到女运动员被拉着在空中做圆锥摆运动，图乙与该场景类似，其中细绳下端拴着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，不考虑空气阻力的影响，关于小球的受力，下列说法正确的是（ ）
A．小球除了受重力、细线的拉力，还受到向心力
B．小球受重力和细线的拉力
C．θ角越大，小球做圆锥摆运动所需要的向心力越小
D．绳长越长，小球做圆锥摆运动所需要的向心力越大
【解答】解：AB．小球只受重力和绳子的拉力两个力作用，向心力是重力和绳子的拉力提供，不是小球实际受到的力，故A错误，B正确；
CD．小球受力情况如图所示：
向心力F向＝mgtanθ，θ角越大，做圆锥摆运动所需要的向心力越大，向心力大小与绳长无关，故CD错误。
故选：B。
（2023秋 南岗区校级期中）天花板下悬挂轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B（m1＞m2）。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且任意时刻两球均在同一水平面内，则（ ）
A．运动周期TA＞TB B．运动线速度vA＜vB
C．运动角速度ωA＞ωB D．向心加速度aA＝aB
【解答】解：AC、设P到圆心的距离为h，以B球为例，受力分析如下：
则有：tanα
又有：tanα
联立两式解得：ωB
同理，对A球可得：ωA＝ωB
由T，可得：TA＝TB＝2π
故AC错误；
B、因为rA＜rB，由v＝ωr，可知运动线速度vA＜vB，故B正确；
D、因为rA＜rB，由a＝ω2r，可知向心加速度aA＜aB，故D错误。
故选：B。
知识点2 圆锥斗、圆碗模型
一．圆锥斗
1.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
2.受力特点：小球质量为，受两个力即竖直向下的重力和垂直内壁沿斜向上方向的支持力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示
3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角，小球的轨道面距地面高度，圆周轨道的圆心是O，轨道半径是, 则有
向心力.
支持力.
由此得，，。
结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。
二．圆碗
受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律
x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ
an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C）
（2024春 任丘市校级期中）如图，有一固定且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量不相等的小球（可视为质点）A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面。则（ ）
A．A球所受弹力一定大于B球所受弹力
B．A球所受弹力一定小于B球所受弹力
C．A球的线速度一定大于B的线速度
D．A球的线速度一定小于B的线速度
【解答】解：AB、小球运动过程中所受重力与支持力的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，有，由于两球质量大小关系不明，则无法比较两球所受弹力大小。故AB错误；
CD、同理，可得
依题意rA＞rB，tanα＞tanβ
解得vA＞vB。故C正确；D错误。
故选：C。
（2022秋 河西区期末）如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．A、B球受到的支持力之比为
B．A、B球的向心力之比为
C．A、B球运动的角速度之比为3：1
D．A、B球运动的线速度之比为1：2
【解答】解：A、设圆锥母线与竖直方向夹角为θ。对小球A、B受力分析，受到重力和支持力，在竖直方向合力为零，则有
FNsinθ＝mg
解得：
可得A、B球受到的支持力之比为：，故A错误；
B、小球在水平面内做匀速圆周运动，由重力和支持力的合力提供向心力，则有
可得A、B球的向心力之比为：，故B错误；
C、小球的运动轨迹高度相同，则轨迹半径r＝htanθ
由牛顿第二定律可知
解得：
可得A、B球运动的角速度之比为：，故C正确；
D、线速度与角速度的关系为v＝ωr＝ωhtanθ，联立解得A、B球运动的线速度之比为：1，故D错误。
故选：C。
（2022春 普陀区校级期末）如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是（ ）
A．线速度vA＜vB B．角速度ωA＜ωB
C．加速度大小不同 D．压力NA＞NB
【解答】解：D、根据题意，以A球为研究对象，画出受力分析如图所示
竖直方向平衡，则有
Ncosθ＝mg
解得：
由于两球的质量相等，夹角相同，则有
NA＝NB
故D错误；
ABC、水平方向，根据合力提供向心力有：F合＝Nsinθ
解得：，，a＝gtanθ
由于rA＞rB
可知vA＞vB，ωA＜ωB
加速度与半径无关，则有aA＝aB
故AC错误，B正确。
故选：B。
知识点3 圆盘模型
f静=mω2r ω临= 与质量无关 轻绳出现拉力临界ω1=; AB离心的临界： 隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 整体：AB滑动ω临2=（） ①μA≥μB, ω临1= ①ωmin=
②μA<μB, ω临2= ②ωmax=
（2024春 临潼区期末）圆盘餐桌的上面有一直径为1m的转盘，可绕盘中心的转轴转动。现将一小物块放在转盘边缘后转动转盘，并逐渐增大转速，当转速增大到一定程度时，小物块从转盘上滑落。已知小物块和转盘表面的动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，g取10m/s2，要使小物块从转盘上滑落，转盘转动的角速度至少为（ ）
A．1.0rad/s B．2.0rad/s C．2rad/s D．4.0rad/s
【解答】解：小物块放在转盘边缘随转盘一起转动时，由静摩擦力提供碗做圆周运动的向心力，随着角速度的增大静摩擦力也逐渐增大，当滑动摩擦力提供向心力时，由向心力公式得：μmg＝mω2r
其中rm
代入数据求出角速度ω＝4.0rad/s
故D正确，ABC错误；
故选：D。
（2024春 锦州期末）如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中间嵌着一可绕中心轴O转动的圆盘，圆盘上A处放一质量为m的菜盘，B处放一质量为的菜盘，AO＝2OB，圆盘正常运转，两菜盘均视为质点且不打滑。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两处菜盘的周期之比为2：1
B．A、B两处菜盘的线速度大小之比为1：2
C．A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为4：1
D．A、B两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为8：3
【解答】解：A.A、B两处菜盘同轴转动，角速度相等，根据，A、B两处菜盘的周期相等，故A错误；
B.根据v＝ωr，rA＝2rB，则vA＝2vB，即A、B两处菜盘的线速度大小之比为2：1，故B错误；
C.根据 a＝ω2r，rA＝2rB，则 aA＝2aB，即A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为2：1，故C错误；
D.A、B两处菜盘受到的向心力均由静摩擦力提供，根据，rA＝2rB，mA＝m，，则F向A：F向B＝8：3，所以A、B 两处菜盘的向心力大小之比为8：3，A、B两处菜 盘受到的静摩擦力大小之比为8：3，故D正确。
故选：D。
（2024春 莆田期末）如图甲所示，将质量均为m的物块A、B沿同一径向置于水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接，轻绳恰好伸直但无拉力。已知两物块与转盘之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块A与转轴的距离等于L，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。当转盘以不同角速度匀速转动时，两物块所受摩擦力大小f与角速度ω二次方的关系图像如图乙所示，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．乙图中图像a为物块B所受f与ω2的关系图像
B．当角速度ω增大到时，轻绳开始出现拉力
C．
D．当ω＝ω2时，轻绳的拉力大小为
【解答】解：AB．刚开始两物块的静摩擦力提供所需的向心力，物块B的半径较大，物块B的摩擦力先达到最大，之后物块B的摩擦力不变，绳子开始产生拉力，则乙图中图像b为物块B所受f与ω2的关系图像，对B由摩擦力提供向心力列式
解得角速度
角速度若继续增大，此后绳子开始产生拉力
故AB错误；
CD．乙图中图像b为物块A所受f与ω2的关系图像，当ω＝ω2时，物块A的摩擦力达到最大，分别对A和B根据牛顿第二定律
联立解得
，
则有
故C错误，D正确。
故选：D。
（2024春 青羊区校级期末）如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置。已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器可直接测出角速度ω和绳的拉力F，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，测得物块以不同的角速度随圆盘做匀速圆周运动时拉力F与角速度ω的大小。在电脑上绘出图乙所示图像。换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系。（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）以下说法正确的是（ ）
A．物块a、b、c的质量之比为1：1：2
B．物块a、b、c的质量之比为2：1：1
C．物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1：2：1
D．物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1：2：2
【解答】解：AB、对物块，拉力和摩擦力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有
F+f＝mω2r
整理得
F＝mrω2﹣μmg
故F﹣ω2图像的斜率为
k＝mr
r相同，可知物块a、b、c的质量之比为
故AB错误；
CD、由F＝mrω2﹣μmg可知，F﹣ω2图像的纵截距绝对值为f＝μmg
由图像可得
fa：fb：fc＝1：2：1
f∝μ可得物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为
故C错误，D正确。
故选：D。
（2024春 天府新区期末）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动。在圆盘上距轴r处的P点和2r处的Q点分别有一质量为m和2m的小物块随圆盘一起转动。已知两物块与圆盘间的最大静摩擦力均是其重力的K倍，下列说法正确的是（ ）
A．P处的小物块受到重力、支持力、摩擦力和向心力四个力作用
B．Q处的小物块所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
C．P、Q处两物块的向心加速度大小之比为1：2
D．若圆盘转动的角速度ω则两物块均能与圆盘相对静止一起转动
【解答】解：A、P处的小物块受到重力、支持力、摩擦力三个力的作用，由这三个力的合力提供向心力，故A错误；
B、Q处的物体随圆盘一起做匀速圆周运动，由摩擦力提供向心力，所以Q处的小物块所受的摩擦力方向沿半径指向圆心，故B错误；
C、P、Q两物体同轴转动，他们的角速度相等，根据a＝rω2可知，P、Q处两物块的向心加速度大小之比为r：2r＝1：2，故C正确；
D、若圆盘转动的角速度为，根据F＝mrω2可知，P、Q两物体需要的向心力大小分别为，，所以P能保持相对静止，Q不能和圆盘保持相对静止，故D错误。
故选：C。
（2022秋 和田县校级期中）如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和小球B紧贴圆锥筒内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．A球的线速度必定大于B球的线速度
B．A球的角速度必定大于B球的角速度
C．A球运动的向心加速度必定小于B球的向心加速度
D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力
【解答】解：A、对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图
根据牛顿第二定律，有：
F＝mgtanθ＝mma
解得：v。
由于A球的转动半径较大，A线速度较大。故A正确。
B、ω，由于A球的转动半径较大，则A的角速度较小。故B错误。
C、根据F＝mgtanθ＝ma得：a＝gtanθ
两球的向心力相等，向心加速度相等。故C错误。
D、由上分析可知，筒对小球的支持力N，与轨道半径无关，则由牛顿第三定律得知，小球对筒的压力也与半径无关，即有球A对筒壁的压力等于球B对筒壁的压力。故D错误。
故选：A。
（2022春 邻水县校级月考）如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量不同的小球A和B紧贴着内壁分别在如图所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．球A的线速度一定小于球B的线速度
B．球A的角速度一定大于球B的角速度
C．球A的向心加速度一定等于球B的向心加速度
D．球A对筒壁的压力一定等于球B对筒壁的压力
【解答】解：AC、对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，设圆锥筒的轴线与筒壁之间的夹角为θ，如图：
根据牛顿第二定律，有Fn＝mgtanθ＝ma
解得a＝gtanθ
所以球A的向心加速度一定等于球B的向心加速度。
又：
得：v，A的半径大，则A的线速度大，故A错误，C正确；
B、由，得：ω，A的半径大，则A的角速度小，故B错误；
D、因为支持力N，根据题意，两小球的质量不同，故支持力不相等，故D错误．
故选：C。
（2023春 吉林期末）长度为1m的细线，拴一质量m＝2kg的小球（不计大小），另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的角速度为
B．细线的拉力大小为16N
C．小球运动的线速度大小为1.2m/s
D．小球所受到的向心力大小为15N
【解答】解：小球受到重力和绳子的拉力，合力提供向心力，如图：
其中：α＝37°
AD．根据牛顿第二定律，沿水平方向有：Fn＝mgtan37°
又：Fn＝mω2Lsin37°
解得：Fn＝15N，，故A错误，D正确；
B．细线的拉力大小为：，故B错误；
C．小球运动的线速度大小为：，故C错误；
故选：D。
（2023春 临夏州期末）如图甲所示，在花样滑冰比赛中，男运动员手拉女运动员做匀速圆周运动，女运动员恰好离开水平冰面。该过程可简化为轻绳系一小球在水平面内悬空做匀速圆周运动（如图乙），已知绳长为L，轻绳与竖直方向的夹角为θ＝45°，小球的质量为m，小球的线速度大小为v。下列说法正确的是（ ）
A．小球的角速度为
B．小球所受合力的大小为
C．小球做匀变速曲线运动
D．当地的重力加速度大小为
【解答】解：A．小球的线速度为v，根据角速度的定义可得小球的角速度为：
根据几何关系可得：
解得：，故A错误；
B．小球做匀速圆周运动，小球所受拉力和重力的合力提供向心力，为：
解得：，故B正确；
C．小球所受的合力方向时刻改变，则小球做非匀变速曲线运动，故C错误；
D．根据几何关系可得：
结合：
解得：，故D错误，
故选：B。
（2023春 涪城区校级期末）如图所示，竖直细杆O点处固定有一水平横杆，在横杆上有A、B两点，且OA＝AB，在A、B两点分别用两根等长的轻质细线悬挂两个相同的小球a和b，将整个装置绕竖直杆匀速转动，则a、b两球稳定时的位置关系可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：a、b两球在水平面内做匀速圆周运动，将两球的圆周运动等效成圆锥摆，设摆长为L，等效摆线与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律得
mgtanθ＝mω2Lsinθ
解得：ω，h为等效悬点到小球的高度差，由于两球的角速度相同，因此h相同，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024春 南京期末）如图所示，在水平盘上均匀撤上一层铁屑，圆盘与铁屑的动摩擦因数处处相同，现让圆盘由静止开始缓慢增加转速至某一定值，在这一过程中有部分铁屑脱离圆盘并飞出，不考虑铁屑之间作用力，下列说法正确的有（ ）
A．置留在圆盘上的铁屑颗粒，越靠近圆心处的质量越大
B．转速缓慢增加过程中，质量小的铁屑颗粒先飞出
C．置留在圆盘上的铁屑颗粒最终都分布在某一固定半径的圆面内
D．没有飞出的铁屑颗粒，越靠近圆心处的颗粒受到向心力越小
【解答】解：ABC、根据题意可知，铁屑在圆盘上所受最大静摩擦力为f＝μmg，所有铁屑转动的角速度相等，在圆盘上随圆盘转动的铁屑，则有：μmg≥mω2r，两式联立可得：，可知圆盘转速缓慢增加过程中，离中心距离小于等于的铁屑不会飞出，所以与铁屑的质量无关，故AB错误，C正确；
D、没有飞出的铁屑颗粒的向心力大小为：，由于不知道铁屑质量关系，所以越靠近圆心处的颗粒的向心力不一定小，故D错误。
故选：C。
（多选）（2024春 福州期末）某游戏转盘装置如图所示，游戏转盘水平放置且可绕转盘中心的转轴O1O2转动。转盘上放置两个相同的物块A、B，物块A、B通过轻绳相连。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使其角速度缓慢增大，整个过程中，物块A、B都相对于盘面静止，物块A、B到转轴的距离分别为r、2r，物块的质量均为m且与转盘间的动摩擦因数均为μ，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．当转盘的角速度大小为时，物块B受到的摩擦力大小为μmg
B．当转盘的角速度大小为时，物块A受到的摩擦力大小为
C．为了确保物块A、B都相对于转盘静止，转盘的角速度不能超过
D．在转盘角速度从零开始逐渐增大的过程中，物块B受到的摩擦力一直增大
【解答】解：A、转盘的角速度较小时，物块A、B需要的向心力均有摩擦力提供，当转盘的角速度大小为时，物块B所需向心力大小为FB1＝m，此时物块B受到的摩擦力大小为，故A错误；
B、当转盘的角速度大小为时，物块B所需向心力大小为FB2＝m，轻绳弹力为零，物块A所需向心力大小为
FA2＝m，此时物块A所受的摩擦力大小为，故B正确；
D、在转盘角速度逐渐增大的过程中，刚开始物块B受到的静摩擦力提供向心力，当物块B受到的摩擦力达到最大静摩擦后，最大静摩擦力和轻绳的弹力的合力提供物块B所需的向心力，物块B所受的摩擦力先变大后不变，故D错误；
C、设当角速度为ω0，轻绳弹力为F时，物块A、B与盘面间的摩擦力均达到最大静摩擦力，有F﹣μmg＝m，F+μmg＝2，解得，故C正确。
故选：BC。
（多选）（2024春 龙岩期末）类比是学习和研究物理的重要方法。当做圆周运动的物体角速度ω变化时，我们可以类比加速度的表达式，定义角加速度β来描述角速度ω变化的快慢，即。图甲中某转盘自t＝0时由静止开始转动，其前4s内角加速度β随时间t变化如图乙所示。则（ ）
A．第2s末，转盘开始反转
B．第2s末，转盘的角速度 ω＝10rad/s
C．2s～4s内，转盘角速度ω均匀减小
D．第4s末，转盘的角速度ω最大
【解答】解：A、根据题意，可知β的方向与Δω的方向保持一致，在第2s之后，β＞0，Δω＞0，所以角速度方向不变，只是角速度增加变小，故A错误；
B、结合图像可知，β与时间图像面积表示角速度变化量的大小，故根据面积法有
代入数据解得Δω＝10rad/s，
由题意可知ω0＝0，所以第2s末的角速度大小为10rad/s，故B正确；
C、根据可知，在2s～4s内，β均匀减小，角速度的增加量逐渐减小，但角速度仍然在增大，故C错误；
D、由图像可知，β＝0，此时Δω＝0，所以此时角速度不再增加，达到最大值，故D正确。
故选：BD。
（2023春 仓山区校级期末）如图所示，半径为R＝0.2m的大铁环用细线悬挂在两铁架台支起的横梁上，有两个质量均为m＝0.1kg的小铁环a，b套在大铁环上。当大铁环静止时，两小铁环处于其最低点A位置：当大铁环以竖直的直径为轴转动起来后，经过一段时间达到稳定并能保持较长时间的匀速转动，此时小铁环分别上升到两侧同一高度且与大铁环保持相对静止，稳定时大铁环转动15圈耗时刚好10秒。小铁环可被视为质点，大铁环的质量远大于小铁环质量，且它们之间的摩擦力及空气阻力可忽略不计，取π2≈10，求：
（1）稳定转动时，大铁环转动的角速度ω的大小；
（2）稳定转动时，图中小铁环a做匀速圆周运动所需的向心力方向；
（3）稳定转动时，大铁环对小铁环a的作用力FN的大小。
【解答】解：（1）根据角速度的定义式有
rad/s＝3πrad/s
（2）小铁环a做匀速圆周运动，所需的向心力方向为：水平向右或a指向b；
（3）对小铁环a受力分析，小铁环a受重力与弹力，且二力在竖直方向合力为0，水平方向合力提供向心力，如图所示。
则
且F向＝FNsinθ
可得：
代入数据解得：FN＝1.8N
答：（1）稳定转动时，大铁环转动的角速度ω的大小为3πrad/s；
（2）稳定转动时，图中小铁环a做匀速圆周运动所需的向心力方向水平向右或a指向b；
（3）稳定转动时，大铁环对小铁环a的作用力FN的大小为1.8N。
（2023 沙坪坝区校级开学）如图所示，半径为R的半球形容器固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过容器球心O的竖直线重合。有两个质量均为m的小物块A、B在容器内随容器一起匀速转动且相对容器内壁静止，两物块和球心O点的连线相互垂直，A物块和球心O点的连线与竖直方向的夹角θ＝53°。物块与半球形容器间的动摩擦因数均为μ＝0.75，物块与半球形容器间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。
（1）若A物块所受的摩擦力恰好为零，求此时容器转动的角速度大小；
（2）为使两物块相对容器一直静止，求容器转动的最大角速度。
【解答】解：（1）对A有：mgtan53°＝mrω2r＝Rsin53°
解得：
（2）分析B物块，设B受到斜向下的最大静摩擦力时，角速度为ω2，沿器壁切线方向：
垂直于器壁方向：FNcos37°﹣fsin37°﹣mg＝0
又：f＝μFN
解得：
再分析A物块，设A受到斜向下的最大静摩擦力时，角速度为ω1，沿器壁切线方向有：
垂直于器壁方向：F'Ncos53°﹣f'sin53°﹣mg＝0
又：f'＝μF'N
无解，所以角速度的最大值为
答：（1）若A物块所受的摩擦力恰好为零，此时容器转动的角速度大小为；
（2）为使两物块相对容器一直静止，容器转动的最大角速度。
（2023春 广州期中）如图所示，一根原长为L的轻弹簧套在一长为3L的光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间始终保持θ＝37°角。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：弹簧为原长时，弹簧的劲度系数k和小球的角速度ω0。
【解答】解：对静止时的小球进行受力分析，小球受到自身重力，杆的支持力，以及弹簧沿杆向上的弹力，将重力正交分解，可得到沿杆方向的平衡关系式：
mgsin37°＝F弹＝kΔx＝0.5kL，得到劲度系数k；
弹簧原长时，小球只受重力与支持力，合力指向水平方向的圆心，其受力分析示意图如下：
则向心力为F＝mgtan37°＝0.75mg，对小球列圆周运动的牛顿第二定律：0.75mg＝mω2r，其中r＝Lcos37°＝0.6L，将其代入求得：ω0。
答：（1）弹簧劲度系数为k；
（2）弹簧为原长时，小球的角速度ω0。
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专题强化（4）水平面内的圆周运动
掌握圆周运动中几种水平面内的运动模型
知识点1 圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
2．受力特点：摆球质量为，只受两个力即竖直向下的重力和沿摆线方向的拉力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示（也可以理解为拉力的竖直分力与摆球的重力平衡，的水平分力提供向心力）。
4．运动特点：摆长为，摆线与竖直方向的夹角为的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的轨道半径是
向心力
摆线的拉力
【讨论】：
(1)当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据可知，若角速度越大，则越大，摆线拉力也越大，向心加速度也越大，线速度 =也越大。
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转动的越快，运动的也越快，。
(2)当为定值时（为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力，向心力，向心加速度，角速度，线速度。
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但角大的圆锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
5.多绳圆锥摆问题
随角速度增大，两绳的拉力如何变化？
（2023春 红河州期末）如图所示，“旋转秋千”的座椅通过缆绳悬挂在旋转圆盘上。当旋转圆盘绕竖直中心轴从静止开始转动，稳定后座椅在水平面内做匀速圆周运动。已知悬点到中心轴的距离为R，座椅（可视为质点）质量为m，缆绳长度为L，缆绳与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则此时座椅的线速度v大小为（ ）
A． B．
C． D．
（2023春 滨海新区校级期中）智能呼啦圈轻便类观，深受大众喜爱。如图甲所示，腰带外侧带有轨道，将滑轮置于轨道内，滑轮通过一根不可伸长的绳子与配重连接，其简化模型如图乙所示。水平固定好腰带，通过人体的微小扭动，配重将在滑轮的带动下一起在水平面内做匀速圆周运动，绳子与竖直方向夹角为θ，运动过程中腰带可看作不动，下列说法正确的是（ ）
A．若以更大的转速匀速转动，则绳子上的拉力将增大
B．若以更大的转速匀速转动，则身体对腰带的摩擦力将增大
C．增大转速的过程中，配重的加速度恒定不变
D．若增加配重，保持转速不变，则绳子与竖直方向的夹角将减小
（2023春 南京月考）2022年北京冬奥会，花样滑冰团体赛冰上舞蹈自由舞比赛在首都体育馆举行。图甲为中国选手王诗玥（右）、柳鑫宇比赛时的面面，可以看到女运动员被拉着在空中做圆锥摆运动，图乙与该场景类似，其中细绳下端拴着一个质量为m的小球，使小球在水平面内做圆锥摆运动，不考虑空气阻力的影响，关于小球的受力，下列说法正确的是（ ）
A．小球除了受重力、细线的拉力，还受到向心力
B．小球受重力和细线的拉力
C．θ角越大，小球做圆锥摆运动所需要的向心力越小
D．绳长越长，小球做圆锥摆运动所需要的向心力越大
（2023秋 南岗区校级期中）天花板下悬挂轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转。一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B（m1＞m2）。设两球同时做如图所示的圆锥摆运动，且任意时刻两球均在同一水平面内，则（ ）
A．运动周期TA＞TB B．运动线速度vA＜vB
C．运动角速度ωA＞ωB D．向心加速度aA＝aB
知识点2 圆锥斗、圆碗模型
一．圆锥斗
1.结构特点：内壁为圆锥的锥面，光滑，轴线垂直于水平面且固定不动，可视为质点的小球紧贴着内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。
2.受力特点：小球质量为，受两个力即竖直向下的重力和垂直内壁沿斜向上方向的支持力。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力，如图所示
3.运动特点：轴线与圆锥的母线夹角，小球的轨道面距地面高度，圆周轨道的圆心是O，轨道半径是, 则有
向心力.
支持力.
由此得，，。
结论是：在同一地点，同一锥形斗内在不同高度的水平面内做匀速圆周运动的同一小球，支持力大小相等，向心力大小相等，向心加速度大小相等，若高度越高，则转动的越慢，而运动的越快。
二．圆碗
受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律
x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ
an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C）
（2024春 任丘市校级期中）如图，有一固定且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，在其内壁上有两个质量不相等的小球（可视为质点）A和B，在两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面。则（ ）
A．A球所受弹力一定大于B球所受弹力
B．A球所受弹力一定小于B球所受弹力
C．A球的线速度一定大于B的线速度
D．A球的线速度一定小于B的线速度
（2022秋 河西区期末）如图所示，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．A、B球受到的支持力之比为
B．A、B球的向心力之比为
C．A、B球运动的角速度之比为3：1
D．A、B球运动的线速度之比为1：2
（2022春 普陀区校级期末）如图所示，固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做匀速圆周运动，以下说法正确的是（ ）
A．线速度vA＜vB B．角速度ωA＜ωB
C．加速度大小不同 D．压力NA＞NB
知识点3 圆盘模型
f静=mω2r ω临= 与质量无关 轻绳出现拉力临界ω1=; AB离心的临界： 隔离A:T=μmAg；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:μmAg-T=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 隔离A:T-μmAg=mAω22rA；隔离B:T+μmBg=mBω22rB； 整体：AB滑动ω临2=（） ①μA≥μB, ω临1= ①ωmin=
②μA<μB, ω临2= ②ωmax=
（2024春 临潼区期末）圆盘餐桌的上面有一直径为1m的转盘，可绕盘中心的转轴转动。现将一小物块放在转盘边缘后转动转盘，并逐渐增大转速，当转速增大到一定程度时，小物块从转盘上滑落。已知小物块和转盘表面的动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，g取10m/s2，要使小物块从转盘上滑落，转盘转动的角速度至少为（ ）
A．1.0rad/s B．2.0rad/s C．2rad/s D．4.0rad/s
（2024春 锦州期末）如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中间嵌着一可绕中心轴O转动的圆盘，圆盘上A处放一质量为m的菜盘，B处放一质量为的菜盘，AO＝2OB，圆盘正常运转，两菜盘均视为质点且不打滑。下列说法正确的是（ ）
A．A、B两处菜盘的周期之比为2：1
B．A、B两处菜盘的线速度大小之比为1：2
C．A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为4：1
D．A、B两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为8：3
（2024春 莆田期末）如图甲所示，将质量均为m的物块A、B沿同一径向置于水平转盘上，两者用长为L的水平轻绳连接，轻绳恰好伸直但无拉力。已知两物块与转盘之间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块A与转轴的距离等于L，整个装置能绕通过转盘中心的竖直轴转动。当转盘以不同角速度匀速转动时，两物块所受摩擦力大小f与角速度ω二次方的关系图像如图乙所示，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．乙图中图像a为物块B所受f与ω2的关系图像
B．当角速度ω增大到时，轻绳开始出现拉力
C．
D．当ω＝ω2时，轻绳的拉力大小为
（2024春 青羊区校级期末）如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置。已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器可直接测出角速度ω和绳的拉力F，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，测得物块以不同的角速度随圆盘做匀速圆周运动时拉力F与角速度ω的大小。在电脑上绘出图乙所示图像。换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系。（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）以下说法正确的是（ ）
A．物块a、b、c的质量之比为1：1：2
B．物块a、b、c的质量之比为2：1：1
C．物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1：2：1
D．物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1：2：2
（2024春 天府新区期末）如图所示，圆盘在水平面内以角速度ω绕中心轴匀速转动。在圆盘上距轴r处的P点和2r处的Q点分别有一质量为m和2m的小物块随圆盘一起转动。已知两物块与圆盘间的最大静摩擦力均是其重力的K倍，下列说法正确的是（ ）
A．P处的小物块受到重力、支持力、摩擦力和向心力四个力作用
B．Q处的小物块所受摩擦力的方向沿运动轨迹切线方向
C．P、Q处两物块的向心加速度大小之比为1：2
D．若圆盘转动的角速度ω则两物块均能与圆盘相对静止一起转动
（2022秋 和田县校级期中）如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和小球B紧贴圆锥筒内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法中正确的是（ ）
A．A球的线速度必定大于B球的线速度
B．A球的角速度必定大于B球的角速度
C．A球运动的向心加速度必定小于B球的向心加速度
D．A球对筒壁的压力必定大于B球对筒壁的压力
（2022春 邻水县校级月考）如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量不同的小球A和B紧贴着内壁分别在如图所示的水平面内做匀速圆周运动，则（ ）
A．球A的线速度一定小于球B的线速度
B．球A的角速度一定大于球B的角速度
C．球A的向心加速度一定等于球B的向心加速度
D．球A对筒壁的压力一定等于球B对筒壁的压力
（2023春 吉林期末）长度为1m的细线，拴一质量m＝2kg的小球（不计大小），另一端固定于O点。让小球在水平面内做匀速圆周运动，这种运动通常称为圆锥摆运动。如图所示，摆线与竖直方向的夹角α＝37°，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的角速度为
B．细线的拉力大小为16N
C．小球运动的线速度大小为1.2m/s
D．小球所受到的向心力大小为15N
（2023春 临夏州期末）如图甲所示，在花样滑冰比赛中，男运动员手拉女运动员做匀速圆周运动，女运动员恰好离开水平冰面。该过程可简化为轻绳系一小球在水平面内悬空做匀速圆周运动（如图乙），已知绳长为L，轻绳与竖直方向的夹角为θ＝45°，小球的质量为m，小球的线速度大小为v。下列说法正确的是（ ）
A．小球的角速度为
B．小球所受合力的大小为
C．小球做匀变速曲线运动
D．当地的重力加速度大小为
（2023春 涪城区校级期末）如图所示，竖直细杆O点处固定有一水平横杆，在横杆上有A、B两点，且OA＝AB，在A、B两点分别用两根等长的轻质细线悬挂两个相同的小球a和b，将整个装置绕竖直杆匀速转动，则a、b两球稳定时的位置关系可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024春 南京期末）如图所示，在水平盘上均匀撤上一层铁屑，圆盘与铁屑的动摩擦因数处处相同，现让圆盘由静止开始缓慢增加转速至某一定值，在这一过程中有部分铁屑脱离圆盘并飞出，不考虑铁屑之间作用力，下列说法正确的有（ ）
A．置留在圆盘上的铁屑颗粒，越靠近圆心处的质量越大
B．转速缓慢增加过程中，质量小的铁屑颗粒先飞出
C．置留在圆盘上的铁屑颗粒最终都分布在某一固定半径的圆面内
D．没有飞出的铁屑颗粒，越靠近圆心处的颗粒受到向心力越小
（多选）（2024春 福州期末）某游戏转盘装置如图所示，游戏转盘水平放置且可绕转盘中心的转轴O1O2转动。转盘上放置两个相同的物块A、B，物块A、B通过轻绳相连。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使其角速度缓慢增大，整个过程中，物块A、B都相对于盘面静止，物块A、B到转轴的距离分别为r、2r，物块的质量均为m且与转盘间的动摩擦因数均为μ，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．当转盘的角速度大小为时，物块B受到的摩擦力大小为μmg
B．当转盘的角速度大小为时，物块A受到的摩擦力大小为
C．为了确保物块A、B都相对于转盘静止，转盘的角速度不能超过
D．在转盘角速度从零开始逐渐增大的过程中，物块B受到的摩擦力一直增大
（多选）（2024春 龙岩期末）类比是学习和研究物理的重要方法。当做圆周运动的物体角速度ω变化时，我们可以类比加速度的表达式，定义角加速度β来描述角速度ω变化的快慢，即。图甲中某转盘自t＝0时由静止开始转动，其前4s内角加速度β随时间t变化如图乙所示。则（ ）
A．第2s末，转盘开始反转
B．第2s末，转盘的角速度 ω＝10rad/s
C．2s～4s内，转盘角速度ω均匀减小
D．第4s末，转盘的角速度ω最大
（2023春 仓山区校级期末）如图所示，半径为R＝0.2m的大铁环用细线悬挂在两铁架台支起的横梁上，有两个质量均为m＝0.1kg的小铁环a，b套在大铁环上。当大铁环静止时，两小铁环处于其最低点A位置：当大铁环以竖直的直径为轴转动起来后，经过一段时间达到稳定并能保持较长时间的匀速转动，此时小铁环分别上升到两侧同一高度且与大铁环保持相对静止，稳定时大铁环转动15圈耗时刚好10秒。小铁环可被视为质点，大铁环的质量远大于小铁环质量，且它们之间的摩擦力及空气阻力可忽略不计，取π2≈10，求：
（1）稳定转动时，大铁环转动的角速度ω的大小；
（2）稳定转动时，图中小铁环a做匀速圆周运动所需的向心力方向；
（3）稳定转动时，大铁环对小铁环a的作用力FN的大小。
（2023 沙坪坝区校级开学）如图所示，半径为R的半球形容器固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过容器球心O的竖直线重合。有两个质量均为m的小物块A、B在容器内随容器一起匀速转动且相对容器内壁静止，两物块和球心O点的连线相互垂直，A物块和球心O点的连线与竖直方向的夹角θ＝53°。物块与半球形容器间的动摩擦因数均为μ＝0.75，物块与半球形容器间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。
（1）若A物块所受的摩擦力恰好为零，求此时容器转动的角速度大小；
（2）为使两物块相对容器一直静止，求容器转动的最大角速度。
（2023春 广州期中）如图所示，一根原长为L的轻弹簧套在一长为3L的光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连。小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间始终保持θ＝37°角。已知杆处于静止状态时弹簧长度为0.5L，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：弹簧为原长时，弹簧的劲度系数k和小球的角速度ω0。
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