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专题强化（5）竖直平面的圆周运动
掌握圆周运动中竖直面上的几种模型分析思路
知识点1 绳、杆模型讨论
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见 类型
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0
对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥
绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨
最低点弹力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg 向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大
在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
（2024春 怀柔区期末）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T﹣v2图像如图乙所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳最高点拉力大小为
D．若小球在最低点时的速度，小球运动到最低点时绳的拉力为mg
【解答】解：设绳长为l，小球在最高点时，根据牛顿第二定律有T+mg
AB、由乙图可知T＝0时，v2＝b，v2＝0时，T＝﹣a，代入上式可得g，l，故AB正确；
C、把v2＝c代入解得轻质绳最高点的拉力大小为T，解得T，故C正确；
D、若小球在最低点时的速度，设小球运动到最低点时绳的拉力T'，根据牛顿第二定律有T'﹣mg，代入数据解得T'＝2mg，故D错误。
本题是选不正确的
故选：D。
（2024春 绵阳期末）某同学将手机用充电线悬挂于固定点，拉开一定角度（小于45°）释放，手机在竖直面内沿圆弧往复运动，手机传感器记录速率v随时间t变化的关系如图所示。不计空气阻力。则手机（ ）
A．在A、C两点时，速度方向相反
B．在B点时，手机受到合力为零
C．在C点时，线中拉力最小
D．在B、D两点时，线中拉力相同
【解答】解：A．结合题中情境可知，手机连续两次经过最低点时，在A、C两点，速度方向相反，故A正确；
B．在B点时，手机速度为零，加速度不为零，合力不为零，故B错误；
C．在C点时，根据牛顿第二定律可得
在C点速度最大，线中拉力最大，故C错误；
D．在B、D两点手机处于左右侧最高点，线中拉力大小相等，方向不同，故D错误。
故选：A。
（2024春 宝安区校级期中）如图所示，质量为4kg，半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B的直径略小于细圆管的内径，它们的质量分别为mA＝1kg、mB＝2kg。某时刻，小球A，B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3m/s，此时杆的下端受到向上的压力，大小为56N。则B球的速度大小vB为（取g＝10m/s2）（ ）
A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s
【解答】解：对A球，合外力提供向心力，设环对A的支持力为FA，由牛顿第二定律有
代入数据解得FA＝28N
由牛顿第三定律可得，A球对环的力向下，为28N，设B球对环的力为FB'，由环的受力平衡可得FB'+28+m环g＝﹣56N
解得FB'＝﹣124N
符号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，环对B球的力FB为124N，方向竖直向下，对B球由牛顿第二定律有
解得vB＝6m/s，ABD错误，C正确
故选：C。
（2024秋 庐阳区校级月考）如图，在竖直平面内一半径为R的圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。不计一切摩擦，重力加速度大小为g。则下列说法不正确的是（ ）
A．小球在A点时速度最大
B．小球在B点时对轨道的压力最大
C．小球受到的水平恒力的大小为
D．小球到达C点时速度的大小为
【解答】解：AB、已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球轨道的压力恰好为零，表明水平恒力与重力的合力方向与直径BC平行，此时水平恒力与重力的合力方向指向圆心，如图
重力和恒力F的合力沿CB方向，则可以将此模型中重力和F的合力看作等效重力G′，则在圆周中B点为等效最低点，C点为等效最高点。类比于一般的圆周运动可知，小球在等效低点B点时速度最大，所需向心力最大，受到的支持力也最大，根据牛顿第三定律可知，小球在B点时对轨道的压力最大，故A错误，B正确；
C．设小球受到的水平恒力大小为F，由题意，根据力的合成与分解可得
解得
故C正确；
D．在C点小球对轨道的压力恰好为零，等效重力G′提供小球做圆周运动的向心力，则，
解得
故D正确。
本题选择不正确，
故选：A。
（2024春 西安期末）如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径为R＝1m，小球可看作质点且其质量为m＝1kg，不计空气阻力，g取10m/s2，则（ ）
A．小球经过B点时的速率为5m/s
B．小球经过B点时受到管道的作用力为1N，方向向上
C．若改变小球进入管道的初速度使其恰好到达B点，则在B点时小球对管道的作用力为零
D．若改变小球速度使其在A点的速度为8m/s，则在A点时小球对管道的作用力为64 N
【解答】解：A、小球垂直撞在斜面上，可知到达斜面时竖直分速度vy＝gt＝10×0.3m/s＝3m/s，根据平行四边形定则知tan45°，解得小球经过B点的速率为vB＝vy＝3m/s，故A错误；
B、在B点，根据牛顿第二定律得mg+FN＝m，解得轨道对小球的作用力FN＝﹣1N，可知轨道对小球的作用力方向向上，大小为1N，故B正确；
C、改变小球进入管道初速度使其恰好到达B点，即到达B点速度为零，故满足FN＝mg，则在B点时小球对管道的作用力大小等于重力大小，故C错误；
D、若改变小球速度使其在A点的速度为8m/s，根据FNA﹣mg＝m，解得FNA＝74N，牛顿第三定律知，在A点时小球对管道的作用力为74N，故D错误。
故选：B。
（2024秋 荔湾区校级月考）气嘴灯安装在自行车的气嘴上，骑行时会发光。一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，感应装置内壁光滑，质量为m的重物套在光滑杆上，一端通过劲度系数为k的弹簧连在A点，重物上有触点C，在B端固定有触点D。如图，重物静止时C、D间的距离Δx。当触点C、D接触后，LED灯就会发光，测得自行车车轮内径为R。让安装了气嘴灯的自行车倒放在地面上，旋转前车轮研究LED灯的发光情况。若气嘴灯的大小相对车轮内径可忽略不计，重力加速度大小为g，计算结果可以保留根号。
（1）若前轮匀速转动时，线速度大小为v0，则：
①当气嘴灯运动到最低点时，求B端对重物的支持力；
②通过计算判断LED灯是否能一直发光？
（2）若使前轮匀速转动一周，线速度大小为v1，求LED灯发光的时间。
【解答】解：（1）①由圆周运动的原理，可知B端应在车轮转轴外侧，更靠近气嘴，A端应在内侧，则重物静止时，由平衡条件可得：kx＝mg
气嘴灯运动到最低点时，由牛顿第二定律可得：
解得B端对重物的支持力大小为：F＝2mg，方向竖直向上；
②设前轮的线速度为v时，气嘴灯运动到最高点时恰能发光，则有：
解得：，故LED灯能一直发光
（2）由于，故LED灯不能一直发光．设刚好能发光时，灯与圆心的连线与水平方向夹角为θ，有
解得：θ＝30°
故能发光的时间为：
其中
解得：。
答：（1）①当气嘴灯运动到最低点时，B端对重物的支持力的大小为2mg；
②LED灯能一直发光，原因见解析
（2）LED灯发光的时间为。
知识点2 过拱凹形桥
拱形桥 圆轨外侧 凹形桥
示意图
作用力 最高点(失重)：FN＝G－mv2/R，可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度增大到mv2/R=mg 即v= 时，FN=0，汽车在桥顶只受重力G，又具水平速度v，因此开始做平抛运动； （3）当0≤v≤时，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小； （4）当v>时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”。 最高点(超重)：FN＝G+mv2/R可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度v≠0时，FN>mg，且速度v越大，FN越大。
（2024春 芦淞区校级期中）如图所示，一辆小汽车匀速驶上圆弧拱桥。下列说法正确的是（ ）
A．车对桥的压力大于桥对车的支持力
B．车对桥的压力小于桥对车的支持力
C．车对桥的压力大于车的重力
D．车对桥的压力小于车的重力
【解答】解：一辆小汽车匀速驶上圆弧拱桥，小车加速度向下，处于失重状态，所以车对桥的压力小于车的重力，而车对桥的压力与桥对车的支持力是相互作用力，大小相等。
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023春 淮安期中）如图所示，一辆汽车驶上一圈弧形的拱桥，当汽车以30m/s的速度经过桥顶时，恰好对桥顶没有压力。若汽车以10m/s的速度经过桥顶，则汽车对桥项的压力与汽车自身重力之比为（ ）
A．8：9 B．9：8 C．1：3 D．3：1
【解答】解：设汽车经过桥顶时桥顶对汽车的支持力为F，合力提供向心力有
当v＝v0＝30m/s
时F＝0
当v＝v1＝10m/s时，
联立有
汽车对桥顶的压力大小等于F'，则汽车对桥顶的压力与汽车自身重力之比F'：mg＝8：9，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（多选）（2023春 海珠区校级期中）用三合板模拟拱形桥来研究汽车通过桥的最高点时对桥的压力。在拱桥上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上，关于电子秤的示数下列说法正确的是（ ）
A．玩具车静止在拱桥顶端时电子秤示数小一些
B．玩具车运动通过拱桥顶端时电子秤示数大一些
C．玩具车运动通过拱桥顶端时处于失重状态
D．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大（未离开拱桥），电子秤示数越小
【解答】解：AB、玩具车静止在拱桥顶端时，由于处于静止状态，说明玩具车手里平衡，玩具车对拱桥的压力等于玩具车自身的重力，当玩具车以一定的速度通过最高点时，合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：mg﹣N＝m，解得N＝mg﹣mmg，所以玩具车运动通过拱桥顶端时的示数小，故AB错误；
C、玩具运动通过拱桥顶端时，做圆周运动，其加速度方向指向圆心向下，处于失重状态，故C正确；
D、根据N＝mg﹣m可知，玩具运动通过拱桥顶端时速度越大（未离开拱桥），示数越小，故D正确。
故选：CD。
（2023春 大兴区期末）有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥，如图所示。汽车到达桥顶时速度为5m/s。取重力加速度g＝10m/s2。
（1）画出汽车经过桥顶时，在竖直方向上的受力示意图；
（2）求汽车经过桥顶时，汽车对桥的压力的大小；
（3）汽车对桥面的压力过小是不安全的，请分析说明汽车在经过该拱桥时，速度大些比较安全，还是小些比较安全。
【解答】解：（1）汽车经过桥顶时，在竖直方向上的受力情况如图所示
（2）以汽车为研究对象，根据牛顿第二定律
代入数据解得 FN＝7600 N
根据牛顿第三定律，汽车对桥顶的压力大小FN′＝FN＝7600 N（1分）
（3）汽车对桥面的压力，汽车的行驶速度越小，桥面所受压力越大，汽车行驶越安全。
答：（1）画出汽车经过桥顶时，在竖直方向上的受力示意图（如上图所示）；
（2）求汽车经过桥顶时，汽车对桥的压力的大小为7600N；
（3）汽车对桥面的压力过小是不安全的，汽车在经过该拱桥时，速度大些比较安全。
（2024秋 如皋市月考）如图所示，竖直平面内的圆轨道半径为R，A、B点分别为轨道的最左侧、最高点。一小球在轨道内运动且始终未离开轨道，重力加速度为g，则（ ）
A．若小球运动到A点，小球在该位置所受的合力指向圆心
B．若小球运动到A点，小球在该位置的速度一定大于0
C．若小球运动到B点，小球在该位置一定受到轨道弹力
D．若小球运动到B点，小球在该位置的速度一定大于等于
【解答】解：A.若小球运动到A点，小球在该位置受到的弹力指向圆心，但重力竖直向下，所以小球在该位置所受的合力不指向圆心，故A错误；
B.若小球运动到A点，小球在该位置的速度如果刚好等于0，则小球将在下半圆轨道内来回运动，始终不会离开轨道，故B错误；
CD.若小球运动到B点，重力刚好提供向心力，则此时小球受到的弹力刚好为0，则有，可得可知小球运动到B点，小球在该位置的速度一定大于等于，故C错误，D正确。
故选：D。
（2024春 丽水期末）如图，一质量为M的半圆弧凹槽放置在一电子秤上，现从最低点有初速度释放一质量为m的小球，忽略空气阻力与轨道摩擦，某时刻半圆弧凹槽对电子秤的压力为FN。若小球从未脱离过圆弧轨道，则（ ）
A．FN可能大于Mg+mg
B．FN可能小于Mg
C．小球所受的支持力一直大于mg
D．小球所受的支持力一直小于mg
【解答】解：当小球运动到最低点时，与凹槽的作用力最大，此时对小球根据牛顿第二定理有
解得
此时小球所受的支持力大于mg；
对凹槽分析可根据平衡条件知
N+Mg＝FN
可知
FN＞Mg+mg
此时FN大于Mg+mg
设小球运动到最高点和凹槽圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，则在最高点有
N′＝mgcosθ
此时小球所受的支持力一直小于mg；
对凹槽分析可知
N′cosθ+Mg＝F′N
可知
mgcos2θ+Mg＝F′N
此时FN小于Mg+mg，且大于等于Mg，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024春 嘉兴期末）图甲是滚筒式洗衣机。洗衣机脱水完成前的某小段时间内，可认为水已脱干，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做匀速圆周运动，如图乙所示。若一件小衣物在随滚筒转动过程中，先后经过最高点a、最低点c、与滚筒圆心等高的b、d点，则该衣物（ ）
A．在a、b、c、d的线速度相同
B．在整个运动过程中所受的合外力不变
C．在c时对滚筒壁的压力大小等于重力
D．在b时受到的摩擦力和在d时受到的摩擦力方向相同
【解答】解：A、衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做匀速圆周运动，线速度大小不变，方向时刻改变，所以衣物在a、b、c、d的线速度不同，故A错误；
B、衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做匀速圆周运动，在整个过程中所受合力的大小不变，方向时刻指向圆心，故B错误；
C、在c时，设滚筒壁对衣物的支持力为N，根据牛顿第二定律有N﹣mg，则N＞mg，根据牛顿第三定律可知在c时对滚筒壁的压力大小大于重力，故C错误；
D、在b和d处都是受重力、摩擦力和筒壁对衣物的支持力，其中重力和摩擦力是一对平衡力，筒壁对衣物的支持力提供向心力，所以在b时受到的摩擦力和在d时受到的摩擦力方向相同，都是竖直向上，故D正确。
故选：D。
（2024春 湖南期末）如图所示，轻杆一端固定在垂直于纸面的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最低点时，杆对球的作用力一定竖直向上
B．小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下
C．小球运动到左侧与圆心等高的A点时，杆对球的力沿杆向右
D．在最低点和最高点，杆对球的弹力之差一定为2mg
【解答】解：A、小球运动到最低点时，由杆的弹力和重力的合力提供向心力，向心力竖直向上，而重力竖直向下，则杆对球的作用力一定竖直向上，故A正确；
B、设杆的长度为l，若匀速转动时，速度大小等于，则在最高点时，由牛顿第二定律有
解得：F＝0，故小球运动到最高点时，杆对球的作用力不一定竖直向下，故B错误；
C、当杆运动到左侧与圆心等高的A点时，小球受重力和杆的弹力，合力提供向心力，如图所示。
所以杆的弹力方向斜向右上方，不是指向圆心，故C错误；
D、设在最高点时，杆的弹力为F1。在最低点时，杆的弹力为F2，当杆转动的角速度为ω0时，F1＝0，此时重力提供向心力，即
解得：
当杆转动的角速度ω＜ω0时，则在最高点，有
在最低点，有
解得：
当杆转动的角速度ω＞ω0时，在最高点，有
在最低点，有
解得：F2﹣F1＝2mg，故D错误。
故选：A。
（2024春 南岗区校级期末）长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为2m/s，g取10m/s2，则此时小球受到轻质细杆的力为（ ）
A．24N的拉力 B．24N的支持力
C．6N的支持力 D．6N的拉力
【解答】解：在最高点，设杆子对小球的作用力向上，根据牛顿第二定律得：
mg﹣F＝m
解得：F＝30﹣36N，方向向上，为支持力。
故选：C。
（2024春 福州期末）如图，轻绳OA拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时，绳子一定有拉力
B．小球过最高点时的最小速度是0
C．若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等，方向相反
D．若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，小球过最高点时的最小速度是
【解答】解：AB、小球在最高点，向心力由重力和轻绳拉力共同提供，
根据牛顿第二定律可得：F+mg＝m
当轻绳拉力变小时，小球的速度会随之减小，当拉力为零时，小球具有最小速度为：v，故AB错误；
CD、若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等，方向相反，
此时满足：F﹣mg＝m0
即小球过最高点的速度为零，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024春 市中区校级期中）如图所示，竖直面内的圆形管道半径R远大于横截面的半径，有一小球直径比管横截面直径略小，在管道内做圆周运动。小球过最高点时，小球对管壁的弹力大小用F表示、速度大小用v表示，当小球以不同速度经过管道最高点时，其F﹣v2图像如图所示。则（ ）
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝b时，小球对管壁的弹力方向竖直向下
D．v2＝3b时，小球受到的弹力大小是重力大小的5倍
【解答】解：AB．小球在最高点，如果v＝0，那么有
F＝mg＝c
如果F＝0，那么只有重力提供向心力，得到
解得小球的质量
，
故AB错误；
C．如果F＝0，那么有v2＝a，则v2＝b时，小球所受的弹力方向向下，所以小球对管壁的弹力方向竖直向上，故C错误；
D．当v2＝b时，根据图像信息，可得到
，F＝c＝mg
解得
b＝2gR
当v2＝3b时，根据
解得
F′＝5mg
故D正确。
故选：D。
（2024春 西城区校级期中）如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．小球在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
【解答】解：ABC、当小球在最高点的速度较大，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，若小球刚好在竖直面内做圆周运动，在最高点绳子拉力为零，速度最小，只有重力提供向心力，根据mg＝m
解得v
则最高点的速度最小为，故ABC错误；
D、在最低点，拉力和重力的合力提供向心力，由于合力的方向向上，所以拉力一定大于重力，故D正确；
故选：D。
（多选）（2024春 惠州期末）如图（a）所示，可视为质点的小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F﹣v2图像如图（b）所示，重力加速度g取10m/s2，则以下说法中正确的是（ ）
A．小球的质量为4kg
B．固定圆环的半径R为0.8m
C．若小球恰好能做完整的圆周运动，则其受到轨道的最大弹力为100N
D．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受圆环的弹力大小为20N，方向向上
【解答】解：A、小球在最高点时，根据牛顿第二定律有mg﹣F＝m，由图（b）可知，当v2＝0时，F＝20N，代入得m＝2kg，故A错误；
B、由图（b）可知，当v2＝8（m/s）2时，F＝0，代入mg﹣F＝m解得R＝0.8m，故B正确；
C、若小球恰好能做完整的圆周运动，则小球在最高点的速度为零，当小球在最低点时，轨道对小球的作用力最大，设小球在最低点的速度为v'，根据动能定理有2mgR，在最低点根据牛顿第二定律有Fmax﹣mg，联立解得Fmax＝100N，故C正确；
D、小球在最高点的速度为4m/s时，根据mg﹣F＝m，解得F＝﹣60N，负号说明小球受圆环弹力的方向为竖直向下，故D错误。
故选：BC。
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专题强化（5）竖直平面的圆周运动
掌握圆周运动中竖直面上的几种模型分析思路
知识点1 绳、杆模型讨论
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见 类型
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0
对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥
绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨
最低点弹力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg 向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大
在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
（2024春 怀柔区期末）如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其T﹣v2图像如图乙所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳最高点拉力大小为
D．若小球在最低点时的速度，小球运动到最低点时绳的拉力为mg
（2024春 绵阳期末）某同学将手机用充电线悬挂于固定点，拉开一定角度（小于45°）释放，手机在竖直面内沿圆弧往复运动，手机传感器记录速率v随时间t变化的关系如图所示。不计空气阻力。则手机（ ）
A．在A、C两点时，速度方向相反
B．在B点时，手机受到合力为零
C．在C点时，线中拉力最小
D．在B、D两点时，线中拉力相同
（2024春 宝安区校级期中）如图所示，质量为4kg，半径为0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B的直径略小于细圆管的内径，它们的质量分别为mA＝1kg、mB＝2kg。某时刻，小球A，B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小为vA＝3m/s，此时杆的下端受到向上的压力，大小为56N。则B球的速度大小vB为（取g＝10m/s2）（ ）
A．2m/s B．4m/s C．6m/s D．8m/s
（2024秋 庐阳区校级月考）如图，在竖直平面内一半径为R的圆弧轨道ABC和水平轨道PA在A点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，。一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用。已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。不计一切摩擦，重力加速度大小为g。则下列说法不正确的是（ ）
A．小球在A点时速度最大
B．小球在B点时对轨道的压力最大
C．小球受到的水平恒力的大小为
D．小球到达C点时速度的大小为
（2024春 西安期末）如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径为R＝1m，小球可看作质点且其质量为m＝1kg，不计空气阻力，g取10m/s2，则（ ）
A．小球经过B点时的速率为5m/s
B．小球经过B点时受到管道的作用力为1N，方向向上
C．若改变小球进入管道的初速度使其恰好到达B点，则在B点时小球对管道的作用力为零
D．若改变小球速度使其在A点的速度为8m/s，则在A点时小球对管道的作用力为64 N
（2024秋 荔湾区校级月考）气嘴灯安装在自行车的气嘴上，骑行时会发光。一种气嘴灯的感应装置结构如图所示，感应装置内壁光滑，质量为m的重物套在光滑杆上，一端通过劲度系数为k的弹簧连在A点，重物上有触点C，在B端固定有触点D。如图，重物静止时C、D间的距离Δx。当触点C、D接触后，LED灯就会发光，测得自行车车轮内径为R。让安装了气嘴灯的自行车倒放在地面上，旋转前车轮研究LED灯的发光情况。若气嘴灯的大小相对车轮内径可忽略不计，重力加速度大小为g，计算结果可以保留根号。
（1）若前轮匀速转动时，线速度大小为v0，则：
①当气嘴灯运动到最低点时，求B端对重物的支持力；
②通过计算判断LED灯是否能一直发光？
（2）若使前轮匀速转动一周，线速度大小为v1，求LED灯发光的时间。
知识点2 过拱凹形桥
拱形桥 圆轨外侧 凹形桥
示意图
作用力 最高点(失重)：FN＝G－mv2/R，可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度增大到mv2/R=mg 即v= 时，FN=0，汽车在桥顶只受重力G，又具水平速度v，因此开始做平抛运动； （3）当0≤v≤时，0≤FN≤mg，且速度v越大，FN越小； （4）当v>时，汽车将脱离桥面，将在最高点做平抛运动，即所谓的“飞车”。 最高点(超重)：FN＝G+mv2/R可知： （1）当v=0时，即汽车静止在最高点，FN=G； （2）当汽车的速度v≠0时，FN>mg，且速度v越大，FN越大。
（2024春 芦淞区校级期中）如图所示，一辆小汽车匀速驶上圆弧拱桥。下列说法正确的是（ ）
A．车对桥的压力大于桥对车的支持力
B．车对桥的压力小于桥对车的支持力
C．车对桥的压力大于车的重力
D．车对桥的压力小于车的重力
（2023春 淮安期中）如图所示，一辆汽车驶上一圈弧形的拱桥，当汽车以30m/s的速度经过桥顶时，恰好对桥顶没有压力。若汽车以10m/s的速度经过桥顶，则汽车对桥项的压力与汽车自身重力之比为（ ）
A．8：9 B．9：8 C．1：3 D．3：1
（多选）（2023春 海珠区校级期中）用三合板模拟拱形桥来研究汽车通过桥的最高点时对桥的压力。在拱桥上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上，关于电子秤的示数下列说法正确的是（ ）
A．玩具车静止在拱桥顶端时电子秤示数小一些
B．玩具车运动通过拱桥顶端时电子秤示数大一些
C．玩具车运动通过拱桥顶端时处于失重状态
D．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大（未离开拱桥），电子秤示数越小
（2023春 大兴区期末）有一辆质量为800kg的小汽车驶上圆弧半径为50m的拱桥，如图所示。汽车到达桥顶时速度为5m/s。取重力加速度g＝10m/s2。
（1）画出汽车经过桥顶时，在竖直方向上的受力示意图；
（2）求汽车经过桥顶时，汽车对桥的压力的大小；
（3）汽车对桥面的压力过小是不安全的，请分析说明汽车在经过该拱桥时，速度大些比较安全，还是小些比较安全。
（2024秋 如皋市月考）如图所示，竖直平面内的圆轨道半径为R，A、B点分别为轨道的最左侧、最高点。一小球在轨道内运动且始终未离开轨道，重力加速度为g，则（ ）
A．若小球运动到A点，小球在该位置所受的合力指向圆心
B．若小球运动到A点，小球在该位置的速度一定大于0
C．若小球运动到B点，小球在该位置一定受到轨道弹力
D．若小球运动到B点，小球在该位置的速度一定大于等于
（2024春 丽水期末）如图，一质量为M的半圆弧凹槽放置在一电子秤上，现从最低点有初速度释放一质量为m的小球，忽略空气阻力与轨道摩擦，某时刻半圆弧凹槽对电子秤的压力为FN。若小球从未脱离过圆弧轨道，则（ ）
A．FN可能大于Mg+mg
B．FN可能小于Mg
C．小球所受的支持力一直大于mg
D．小球所受的支持力一直小于mg
（2024春 嘉兴期末）图甲是滚筒式洗衣机。洗衣机脱水完成前的某小段时间内，可认为水已脱干，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做匀速圆周运动，如图乙所示。若一件小衣物在随滚筒转动过程中，先后经过最高点a、最低点c、与滚筒圆心等高的b、d点，则该衣物（ ）
A．在a、b、c、d的线速度相同
B．在整个运动过程中所受的合外力不变
C．在c时对滚筒壁的压力大小等于重力
D．在b时受到的摩擦力和在d时受到的摩擦力方向相同
（2024春 湖南期末）如图所示，轻杆一端固定在垂直于纸面的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动到最低点时，杆对球的作用力一定竖直向上
B．小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下
C．小球运动到左侧与圆心等高的A点时，杆对球的力沿杆向右
D．在最低点和最高点，杆对球的弹力之差一定为2mg
（2024春 南岗区校级期末）长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率为2m/s，g取10m/s2，则此时小球受到轻质细杆的力为（ ）
A．24N的拉力 B．24N的支持力
C．6N的支持力 D．6N的拉力
（2024春 福州期末）如图，轻绳OA拴着质量为m的物体，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时，绳子一定有拉力
B．小球过最高点时的最小速度是0
C．若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力可以与小球所受重力大小相等，方向相反
D．若将轻绳OA换成轻杆，则小球过最高点时，小球过最高点时的最小速度是
（2024春 市中区校级期中）如图所示，竖直面内的圆形管道半径R远大于横截面的半径，有一小球直径比管横截面直径略小，在管道内做圆周运动。小球过最高点时，小球对管壁的弹力大小用F表示、速度大小用v表示，当小球以不同速度经过管道最高点时，其F﹣v2图像如图所示。则（ ）
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝b时，小球对管壁的弹力方向竖直向下
D．v2＝3b时，小球受到的弹力大小是重力大小的5倍
（2024春 西城区校级期中）如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是（ ）
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．小球在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
（多选）（2024春 惠州期末）如图（a）所示，可视为质点的小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F﹣v2图像如图（b）所示，重力加速度g取10m/s2，则以下说法中正确的是（ ）
A．小球的质量为4kg
B．固定圆环的半径R为0.8m
C．若小球恰好能做完整的圆周运动，则其受到轨道的最大弹力为100N
D．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受圆环的弹力大小为20N，方向向上
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