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7.3 万有引力理论的成就
（1）理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
（2）理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
（3）认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用观念。
在初中，我们已经知道物体的质量可以用天平来测量，生活中物体的质量常用电子秤或台秤来称量。对于地球，我们怎样“称量”它的质量呢？
知识点1 “称量”地球的质量
1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力．
2．关系式：mg＝G.
3．结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
4．推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量．
知识点2 计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
2．关系式：＝mr.
3．结论：m太＝，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．
知识点3 发现未知天体、预言哈雷彗星回归
海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
英国天文学家哈雷预言哈雷彗星的回归周期约为76年．
（2024春 盐城期末）如图所示为木星和它的卫星。下列对木星的卫星进行测量中不能求得木星质量的是（ ）
A．轨道半径和线速度 B．运动周期和角速度
C．运动周期和线速度 D．轨道半径和运动周期
【解答】解：A、卫星围绕木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据
可知，知道卫星的轨道半径r和线速度v能求出木星质量，故A错误；
B、根据
可知，知道卫星运动周期和角速度ω不能推算出木星的质量，故B正确；
C、卫星围绕木星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，已知卫星的速度和角速度，则轨道半径
根据万有引力提供向心力有
即已知运动周期和线速度，可求解木星质量M，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力有
可知，知道卫星的轨道半径和运行周期可求解木星质量M，故D错误。
故选：B。
（2024春 丰台区期末）某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，周期是T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则地球的质量为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据地表处重力等于万有引力有Gmg，得M，对人造地球卫星绕地球的运动有Gmr，得M，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024春 太原期末）卡文迪什通过实验测得了引力常量，从而开启了估算星球质量的时代。若已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，下列选项正确的是（ ）
A．由月球绕地球运行的速度和周期，可计算月球质量
B．由地球绕太阳运行的角速度和轨道半径，可计算太阳质量
C．由火星自转周期及火星绕太阳运行的轨道半径，可计算火星质量
D．由月球表面重力加速度和月球绕地球运行的轨道半径，可计算月球质量
【解答】解：A、月球绕地球做匀速圆周运动，根据，可知，由月球绕地球运行的速度和周期，可以计算地球的质量，但不能计算月球的质量，故A错误；
B、地球绕太阳做匀速圆周运动，根据：可得：，由此可知地球绕太阳运行的角速度和轨道半径，可计算太阳质量，故B正确；
C、卫星绕火星做匀速圆周运动，根据可知要计算火星质量需要知道卫星绕火星转动的周期以及轨道半径；由火星自转周期及火星绕太阳运行的轨道半径，不可以计算火星质量，故C错误；
D、在月球表面有：可知要计算月球质量需要知道球表面重力加速度和月球半径；由月球表面重力加速度和月球绕地球运行的轨道半径，不可以计算月球质量，故D错误。
故选：B。
（2024春 南昌期末）我国发射的中继星“鹊桥二号”于2024年4月2日按计划进入环月轨道，该中继星的绕月运动可视为匀速圆周运动。如图所示，已知鹊桥二号的轨道半径为R，其观测月球的最大张角为a，则下列说法正确的是（ ）
A．最大张角a越大，鹊桥二号绕行周期越大
B．鹊桥二号的轨道半径R越大，其所受的向心力越大
C．若再测得鹊桥二号绕行周期，则可求月球的平均密度
D．若再测得月球半径大小和自转周期，则可求得月球的质量
【解答】解：A.鹊桥二号绕月运动，根据开普勒第三定律，半长轴的三次方与周期的平方成正比，由几何关系可知：，故张角α越大，轨道半径r越小，所以周期就越小，故A错误；
B.鹊桥二号绕月运动，由万有引力提供向心力，则有：，因此向心力的大小还与鹊桥二号的质量和月球的质量有关，只知道轨道半径不能确定向心力大小，故B错误；
C.设月球的质量为M，半径为r，有 整理可得 由几何关系可知 联立解得 故测得鹊桥二号绕行周期，则可求月球的平均密 度，故C正确；
D.根据公式 其中的T为鹊桥二号绕行周期，月球自转周期与求月球质量无关，故D错误。
故选：C。
（2024 昌乐县校级模拟）2021年11月23日，我国在酒泉卫星发射中心用“长征四号”丙遥三十七运载火箭成功发射“高分三号”02星。该卫星的成功发射将进一步提升我国卫星海陆观测能力，服务海洋强国建设和支撑“一带一路”倡议。已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，线速度大小为v，引力常量为G，则地球的质量为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设地球质量为M，卫星质量为m。由，而T，联立可得：M，故C正确、ABD错误。
故选：C。
（2024春 临潼区期末）载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标。假设宇航员登上月球后，以初速度v0水平抛出一个小球，测得小球经时间t垂直落到倾角为θ的斜坡上。已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的密度；
（3）人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期T。
【解答】解：（1）测得小球经时间t垂直落到倾角为θ的斜坡上，根据平抛运动规律有tanθ
月球表面重力加速度大小为g
（2）假设月球表面一物体质量为m，有mg
对月球可得M＝ρ
解得月球的密度为
ρ
（3）飞船靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力为mR
飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期为T＝2
（2024春 梅河口市校级期末）下列关于开普勒定律及万有引力定律应用于天文学研究的历史事实说法正确的是（ ）
A．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
B．火星与木星公转周期之比的立方等于它们轨道半长轴之比的平方
C．海王星是英国物理学家卡文迪什经过大量计算而发现的，被人们称为“笔尖上的行星”
D．海王星的发现过程充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体
【解答】解：A．根据开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，这是对同一个行星而言，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积不等于木星与太阳连线扫过的面积。故A错误；
B．根据开普勒第三定律可知火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，故B错误；
C．海王星是运用万有引力定律，经过大量的计算后发现的，但不是卡文迪什运用万有引力定律经过大量计算而发现的，故C错误；
D．海王星的发现过程充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体，故D正确；
故选：D。
（多选）（2024秋 海淀区校级月考）位于地球赤道上随地球自转的物体P和地球的同步通信卫星Q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。已知地球同步通信卫星轨道半径为r，地球半径为R，第一宇宙速度为v。仅利用以上已知条件能求出（ ）
A．地球同步通信卫星Q运行速率
B．地球同步通信卫星Q的向心加速度
C．随地球自转的物体P的向心加速度
D．地球密度ρ
【解答】解：A、地球同步卫星做圆周运动的周期等于地球自转周期T＝24h，地球同步卫星的速率，故A正确；
B、地球同步卫星的向心加速度，故B正确的；
C、随地球自转的物体的向心加速度，故C正确；
D、根据Gm，由于万有引力常量不是已知条件，无法求出地球质量M，故不能求出地球密度，故D错误；
故选：ABC。
一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体，物体静止时，弹簧测力计的示数为F．已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体，物体静止时，弹簧测力计的示数为F，故：
F＝mg
所以：
g
根据万有引力提供向心力得：
Gmmg
解得：
M
故选：D。
（2024春 海淀区校级期中）一艘宇宙飞船飞近某一不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆轨道，若宇航员要测定该行星的平均密度，只需测定（引力常量G已知）（ ）
A．飞船运行的周期 B．飞船的环绕半径
C．行星的体积 D．飞船的绕行速度
【解答】解：设该行星的半径为R，该行星的质量为M，飞船的质量为m，飞船的运行周期为T，根据万有引力提供向心力有，则该行星的质量为M，该行星的体积为V，该行星的密度为，联立解得，所以要测定该行星的平均密度，只需测定飞船的运行周期即可，故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2024春 海淀区校级期中）已知地球的半径为R，地球表面处的重力加速度为g0，物体在距离地心4R处，由于地球的吸引作用而产生的加速度为g，不考虑地球自转的影响。则g：g0为（ ）
A．1：1 B．1：9 C．1：4 D．1：16
【解答】解：设地球质量为M，物体质量为m，在地球表面有，则
在物体在距离地心4R处有，则
则g：g0＝1：16，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2024 浙江学业考试）2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船在我国酒泉卫星发射中心点火发射成功。若“神舟十七号”在地面时受地球的万有引力为F，则当其上升到离地距离等于地球半径时所受地球的万有引力为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由万有引力定律得，“神舟十七号”在地面时受地球的万有引力为
“神舟十七号”上升到离地距离等于地球半径时，即此时距地心的距离为
r＝R+h＝2R
此时“神舟十七号”所受地球的万有引力为
故ACD错误，B正确。
故选：B。
（2024春 沙坪坝区校级期中）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，周期为T，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响，下列选项正确的是（ ）
A．月球的平均密度为
B．月球的平均密度为
C．月球表面重力加速度为
D．月球表面重力加速度为
【解答】解：AB.由万有引力提供向心力，可得，解得，月球体积，根据，得，月球平均密度为，即ρ，故A错误，B正确；
CD.在月球表面，有，可得月球表面重力加速度为，解得，故CD错误。
故选：B。
（2024春 北京期末）如图所示，某人造地球卫星对地球的张角为2θ，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，万有引力常量为G，由此可估算地球的平均密度为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设地球半径为R，如图
设卫星的轨道半径为r，则有r sinθ＝R
由牛顿第二定律有
解得
又
可得，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2024春 东城区校级期中）“嫦娥四号”月球探测器登陆月球背面的过程可以简化为如图所示的情景：“嫦娥四号”首先在半径为r、周期为T的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，某时刻“嫦娥四号”在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入近月圆轨道Ⅲ。轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、轨道Ⅲ的切点分别为A、B，A、B与月球的球心为O在一条直线上。已知引力常量为G，月球的半径为R，体积，则（ ）
A．月球的平均密度为
B．探测器在轨道Ⅱ上A、B两点的线速度之比为
C．探测器在轨道Ⅱ上A、B两点的加速度之比为
D．探测器从A点运动到B点的时间为
【解答】解：A、设月球质量为M，“嫦娥四号”质量为m，则由mr
得月球质量为M
则月球平均密度为ρ
解得ρ
故A错误；
B、由开普勒第二定律得vBΔtvAΔt
得
故B错误；
C、探测器在轨道Ⅱ上A、B两点的合外力即为在该点所受万有引力，即maA
maB
则加速度之比为，故C错误；
D、设探测器在椭圆轨道上的周期为T1，则由开普勒第三定律知
探测器从A点运动到B点的时间为t
解得t，故D正确。
故选：D。
（2024春 蜀山区校级期中）我国先后发射了“遥感三十五号04”卫星和“遥感三十五号05”卫星。已知“遥感三十五号04”卫星距离地面的高度为h1，环绕周期为T0，“遥感三十五号05”卫星距离地面的高度为h2，地球的半径为R，万有引力常量为G。求：
（1）“遥感三十五号04”卫星与“遥感三十五号05”卫星的线速度大小之比；
（2）地球的质量M和地球表面的重力加速度大小g。
【解答】解：（1）设质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r时，线速度大小为v，由万有引力提供向心力得
Gm
解得
v
则“遥感三十五号04”卫星与“遥感三十五号05”卫星的线速度大小之比为
（2）对于“遥感三十五号04”卫星，根据万有引力提供向心力得
Gm（R+h1）
解得地球的质量为
M
在地球表面上，根据万有引力等于重力得
Gm′g
联立解得
g
答：（1）“遥感三十五号04”卫星与“遥感三十五号05”卫星的线速度大小之比为；
（2）地球的质量M为，地球表面的重力加速度大小g为。
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7.3 万有引力理论的成就
（1）理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
（2）理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解。
（3）认识万有引力定律的科学成就，体会科学的迷人魅力，进一步认识运动与相互作用观念。
在初中，我们已经知道物体的质量可以用天平来测量，生活中物体的质量常用电子秤或台秤来称量。对于地球，我们怎样“称量”它的质量呢？
知识点1 “称量”地球的质量
1．思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力．
2．关系式：mg＝G.
3．结果：m地＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量．
4．推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量．
知识点2 计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力．
2．关系式：＝mr.
3．结论：m太＝，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量．
4．推广：若已知卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量．
知识点3 发现未知天体、预言哈雷彗星回归
海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．
英国天文学家哈雷预言哈雷彗星的回归周期约为76年．
（2024春 盐城期末）如图所示为木星和它的卫星。下列对木星的卫星进行测量中不能求得木星质量的是（ ）
A．轨道半径和线速度 B．运动周期和角速度
C．运动周期和线速度 D．轨道半径和运动周期
（2024春 丰台区期末）某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径是r，周期是T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则地球的质量为（ ）
A． B．
C． D．
（2024春 太原期末）卡文迪什通过实验测得了引力常量，从而开启了估算星球质量的时代。若已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，下列选项正确的是（ ）
A．由月球绕地球运行的速度和周期，可计算月球质量
B．由地球绕太阳运行的角速度和轨道半径，可计算太阳质量
C．由火星自转周期及火星绕太阳运行的轨道半径，可计算火星质量
D．由月球表面重力加速度和月球绕地球运行的轨道半径，可计算月球质量
（2024春 南昌期末）我国发射的中继星“鹊桥二号”于2024年4月2日按计划进入环月轨道，该中继星的绕月运动可视为匀速圆周运动。如图所示，已知鹊桥二号的轨道半径为R，其观测月球的最大张角为a，则下列说法正确的是（ ）
A．最大张角a越大，鹊桥二号绕行周期越大
B．鹊桥二号的轨道半径R越大，其所受的向心力越大
C．若再测得鹊桥二号绕行周期，则可求月球的平均密度
D．若再测得月球半径大小和自转周期，则可求得月球的质量
（2024 昌乐县校级模拟）2021年11月23日，我国在酒泉卫星发射中心用“长征四号”丙遥三十七运载火箭成功发射“高分三号”02星。该卫星的成功发射将进一步提升我国卫星海陆观测能力，服务海洋强国建设和支撑“一带一路”倡议。已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，线速度大小为v，引力常量为G，则地球的质量为（ ）
A． B． C． D．
（2024春 临潼区期末）载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标。假设宇航员登上月球后，以初速度v0水平抛出一个小球，测得小球经时间t垂直落到倾角为θ的斜坡上。已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求：
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的密度；
（3）人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期T。
（2024春 梅河口市校级期末）下列关于开普勒定律及万有引力定律应用于天文学研究的历史事实说法正确的是（ ）
A．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
B．火星与木星公转周期之比的立方等于它们轨道半长轴之比的平方
C．海王星是英国物理学家卡文迪什经过大量计算而发现的，被人们称为“笔尖上的行星”
D．海王星的发现过程充分显示了理论对于实践的巨大指导作用，所用的“计算、预测和观察”的方法指导人们寻找新的天体
（多选）（2024秋 海淀区校级月考）位于地球赤道上随地球自转的物体P和地球的同步通信卫星Q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。已知地球同步通信卫星轨道半径为r，地球半径为R，第一宇宙速度为v。仅利用以上已知条件能求出（ ）
A．地球同步通信卫星Q运行速率
B．地球同步通信卫星Q的向心加速度
C．随地球自转的物体P的向心加速度
D．地球密度ρ
一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体，物体静止时，弹簧测力计的示数为F．已知引力常量为G，则这颗行星的质量为（ ）
A． B． C． D．
（2024春 海淀区校级期中）一艘宇宙飞船飞近某一不知名的行星，并进入靠近该行星表面的圆轨道，若宇航员要测定该行星的平均密度，只需测定（引力常量G已知）（ ）
A．飞船运行的周期 B．飞船的环绕半径
C．行星的体积 D．飞船的绕行速度
（2024春 海淀区校级期中）已知地球的半径为R，地球表面处的重力加速度为g0，物体在距离地心4R处，由于地球的吸引作用而产生的加速度为g，不考虑地球自转的影响。则g：g0为（ ）
A．1：1 B．1：9 C．1：4 D．1：16
（2024 浙江学业考试）2023年10月26日11时14分，神舟十七号载人飞船在我国酒泉卫星发射中心点火发射成功。若“神舟十七号”在地面时受地球的万有引力为F，则当其上升到离地距离等于地球半径时所受地球的万有引力为（ ）
A． B． C． D．
（2024春 沙坪坝区校级期中）“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，周期为T，速度大小为v。已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响，下列选项正确的是（ ）
A．月球的平均密度为
B．月球的平均密度为
C．月球表面重力加速度为
D．月球表面重力加速度为
（2024春 北京期末）如图所示，某人造地球卫星对地球的张角为2θ，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，万有引力常量为G，由此可估算地球的平均密度为（ ）
A． B．
C． D．
（2024春 东城区校级期中）“嫦娥四号”月球探测器登陆月球背面的过程可以简化为如图所示的情景：“嫦娥四号”首先在半径为r、周期为T的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，某时刻“嫦娥四号”在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入近月圆轨道Ⅲ。轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、轨道Ⅲ的切点分别为A、B，A、B与月球的球心为O在一条直线上。已知引力常量为G，月球的半径为R，体积，则（ ）
A．月球的平均密度为
B．探测器在轨道Ⅱ上A、B两点的线速度之比为
C．探测器在轨道Ⅱ上A、B两点的加速度之比为
D．探测器从A点运动到B点的时间为
（2024春 蜀山区校级期中）我国先后发射了“遥感三十五号04”卫星和“遥感三十五号05”卫星。已知“遥感三十五号04”卫星距离地面的高度为h1，环绕周期为T0，“遥感三十五号05”卫星距离地面的高度为h2，地球的半径为R，万有引力常量为G。求：
（1）“遥感三十五号04”卫星与“遥感三十五号05”卫星的线速度大小之比；
（2）地球的质量M和地球表面的重力加速度大小g。
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