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8.4 机械能守恒定律
（1）通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念、体会守恒思想。
（2）会用能量观念分析具体实例中动能与势能（包括弹性势能）之间的相互转化。
（3）理解机械能守恒定律的推导过程。
（4）会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题，体会利用机械能守恒定律解决问题的便利性。
伽利略曾研究过小球在斜面上的运动。他发现 ：无论斜面 B 比斜面 A 陡些或缓些，小球的速度最后总会在斜面上的某点变为 0，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度基本相同。
在小球的运动过程中，有哪些物理量是变化的？哪些是不变的？你能找出不变的量吗？
知识点1 追寻守恒量
伽利略曾研究过小球在斜面上的运动，如图所示．
将小球由斜面A上某位置由静止释放，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同，不会更高一点，也不会更低一点．这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的．
知识点2 动能与势能的相互转化
1．重力势能与动能的转化
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能．
2．弹性势能与动能的转化
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能．
3．机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能．
（2024 湖北开学）足球比赛中，某足球运动员长传足球，由于水平恒定风力的作用，足球在空中飞行的轨迹如图所示。位置1、3足球在同一高度，位置2足球在最高点，在位置3时足球速度刚好竖直向下，则足球速度最小的位置（ ）
A．在位置1和位置2之间某位置
B．在位置2
C．在位置2和位置3之间某位置
D．在位置3
【解答】解：根据题意，由功能关系可知，小球运动速度最小的位置，应是速度方向与重力和风力合力的方向垂直的位置，重力和风力两者合力的方向为斜向左下方，因此这个位置在位置2和位置3之间某位置，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2024 浙江）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（ ）
A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
【解答】解：AB．由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增加mgh，则1到2动能减少量大于mgh，故A错误，B正确；
CD．从2到3由于空气阻力作用，则机械能减小，重力做正功，重力势能减小，大小为mgh，则动能增加小于mgh，故CD错误。
故选：B。
（2023春 渝中区校级月考）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关，空气阻力与雨滴的形状和下落的速度有关。质量为m的雨滴（忽略雨滴间的相互作用和雨滴质量的变化）由静止开始，当下落高度h时速度为v，则雨滴在这一过程中（ ）
A．速度均匀增加 B．加速度均匀增加
C．动能一定持续增加 D．机械能一直减小
【解答】解：ABC．雨滴下落过程中，受到空气阻力作用，速度增加时，阻力不断变大，根据牛顿第二定律a，可确定雨滴加速度逐渐减小；当阻力等于重力时，加速度为零，速度最大，最后做匀速直线运动，动能不变，故ABC错误；
D．雨滴下落过程中，需要克服阻力做功，机械能一直减小，故D正确。
故选：D。
（多选）（2024春 垫江县校级月考）从地面以v0的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为g，以地面为重力势能的零势能面。下列说法正确的是（ ）
A．物体在空中运动的时间为
B．物体上升的最大高度为
C．物体的重力势能和动能相等时，物体离地面的高度为
D．物体的重力势能和动能相等时，物体的速度为
【解答】解：A．物体做竖直上抛运动，上升时间为：t1；根据对称性可知，物体上升所用时间和下落所用时间相等，可得物体在空中运动的时间为：，故A错误；
B．根据速度与位移的关系可得物体上升的最大高度为：，故B正确；
CD．当物体的重力势能和动能相等时，物体的速度大小为v1，此时物体离地面的高度为h，则有
联立解得
，
故C正确，D错误。
故选：BC。
（2022秋 嘉定区校级期中）为了节能环保，地铁站建得总是比铁轨更高（如图所示），这样（ ）
A．在出站时，列车的动能将转化成重力势能
B．在进站时，不需要刹车就能准确停到指定位置
C．在出站时，铁轨的支持力能使列车沿铁轨加速
D．在进站时，重力沿铁轨的分力能使列车沿铁轨减速
【解答】解：A、在出站时，列车的重力势能将转化成动能，故A错误；
B、在进站时，由于不知道速度的大小，所以需要通过刹车才能准确停到指定位置，故B错误；
C、支持力与列车位移垂直，不做功，故C错误；
D、在进站时，重力沿铁轨的分力提供加速度，加速度方向与速度方向相反，能使列车沿铁轨减速，故D正确；
故选：D。
如图所示，射箭运动员用力把弓拉开，然后放手让箭射出。对此过程的判断，下列说法正确的是（ ）
A．在把弓拉开过程中，运动员的动能转化弓和弦的动能
B．在把弓拉开过程中，弓和弦的弹性势能转化为运动员的动能
C．在箭射出过程中，弓和弦的弹性势能转化为箭的动能
D．在箭射出过程中，弓和弦的弹性势能转化为运动员的动能
【解答】解：
AB.在把弓拉开过程中，运动员的动能转化弓和弦的弹性势能，故AB错误；
CD.在箭射出过程中，弓和弦的弹性势能转化为箭的动能，故C正确，D错误；
故选：C。
（多选）一根细长绳的下端系一个金属小球，上端固定，就制成一个摆。把小球拉离竖直位置松手，让它摆动起来，如图所示，可以观察到小球在摆动过程中摆动的幅度会逐渐减小，最终会停下来，对于小球在摆动过程中的能量转化情况，下列说法中不正确的是（ ）
A．小球从低处向高处摆动过程中，动能全部转化为势能
B．小球每次经过最低点时，动能会逐渐减少
C．小球从低处向高处摆动过程中，线对小球的拉力做了功
D．小球从高处向低处摆动过程中，势能部分转化为动能
【解答】解：A、小球从低处向高处摆动过程中，重力和空气阻力均做负功，所以小球动能转化为重力势能和内能。故A错误；
B、小球摆动过程中，重力做功，和空气阻力做功，分析连续两次经过最低点的某个摆动过程，重力做功为零，阻力始终做负功，所以小球动能会逐渐减小。故B正确；
C、小球从低处向高处摆动过程中，线对小球的拉力与小球速度方向始终垂直，所以不做功。故C错误；
D、小球从高处向低处摆动过程中，重力做正功，阻力做负功，所以重力势能的一部分转化为动能，另一部分转化为内能。故D正确。
题目中选不正确的
故选：AC。
知识点3 机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
3．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算．
4．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化．
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．
(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零．
注意：机械能守恒的物体所受合外力不一定为零．
5．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
(3)机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加．
（2024 前进区开学）如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．甲图中，从滑梯上加速下滑的小朋友机械能守恒
B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒
C．丙图中，在光滑的水平面上，小球的机械能守恒
D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，A、B组成的系统机械能守恒
【解答】解：A、甲图中，从滑梯上加速下滑的小朋友受到摩擦力的作用，则机械能不守恒，故A错误；
B、乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客动能不变，重力势能在不断的变化，游客的机械能不守恒，故B错误；
C、丙图中，小球的动能和弹簧的弹性势能相互转化，小球的机械能守恒减小，小球的机械能不守恒，故C错误；
D、丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，A、B组成的系统只有重力做功，则A、B组成的系统机械能守恒，故D正确。
故选：D。
（2024春 潍坊期末）图甲所示装置为灭火火箭筒，主要用于实施远距离高效、安全灭火作业。在一次消防演练中，消防员在同一位置用火箭筒先后两次以相同速率、不同角度发射火箭弹，火箭弹均击中着火点，火箭弹的两次运动轨迹如图乙所示。忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．不同轨迹的火箭弹，击中着火点时的速度相同
B．不同轨迹的火箭弹，运动过程中速度变化量相同
C．火箭弹沿轨迹1的运动时间大于沿轨迹2的运动时间
D．火箭弹沿轨迹1的最小速度大于沿轨迹2的最小速度
【解答】解：A.由于火箭弹只受到重力作用，则机械能守恒，又因为两次发射的速率相同，故击中着火点的速度大小相同，方向不同，故A错误；
CD.火箭弹在水平方向做匀速直线运动，上升到最大高度时竖直方向的速度为0，速率是整个过程中最小的位置，设发射时速度与水平方向的夹角为θ，则水平分速度
vx＝v0cosθ，由图可知，轨迹1的夹角大，所以轨迹1的水平速度小，又因为发射点和着火点的水平距离相等，根据x＝v0cosθ t，轨迹1运动时间长，故C正确，D错误。
B.根据斜抛运动的加速度为恒定的重力加速度，因为轨迹不同，结合上面结论，由Δv＝g Δt可知，在运动过程中速度变化量不同，故B错误；
故选：C。
（2024 南岗区校级开学）小明用台秤研究人在竖直升降电梯中的运动。他先在地面上用台秤称得自己的体重为500N，再将台秤移至电梯内，电梯从t＝0时由静止开始向下运动到t＝11s时停止，测得台秤对自己的支持力F随时间t变化的图象如图所示，则（ ）
A．0～2s的过程中，小明的动能不变
B．2s～10s的过程中，小明的重力势能转化为动能
C．10s～11s的过程中，小明的机械能不断减小
D．0～11s的过程中，小明的机械能不断增大
【解答】解：A、电梯从t＝0时由静止开始向下运动，0～2s的过程中，小明由静止开始下降，由图可知，支持力小于重力，速度一直增大，则小明的动能增大，故A错误；
B、2s～10s的过程中，支持力和重力大小相等，小明在匀速下降，动能不变，重力势能减小，重力势能没有转化为动能，故B错误；
CD、10s～11s的过程中，支持力大于重力，小明向下做减速运动，动能减小，同时小明的高度降低，重力势能也减小，故小明的机械能不断减小，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024 青岛自主招生）如图所示，体育课上，小明在老师的指导下进行爬杆训练。他以0.2m/s的速度匀速爬上3m高的竖直杆，又以0.5m/s的速度匀速下杆。已知小明的质量为60kg，在本次爬杆训练过程中，下列说法正确的是（ ）
A．上杆过程中小明的机械能不变
B．上杆过程中小明受到的摩擦力方向竖直向下
C．下杆过程中小明受到的摩擦力和上杆过程中的摩擦力相等
D．下杆过程中小明所受重力做功的功率为30W
【解答】解：A、上杆过程中，小明的质量、速度不变，动能不变。高度增大，重力势能增大，则小明的机械能增大，故A错误；
B、上杆过程中小明做匀速运动，受力平衡，由平衡条件可知，摩擦力与重力等大反向，则摩擦力的方向竖直向上，故B错误；
C、小明匀速上杆、下杆过程中，受力均平衡，即竖直向上的摩擦力等于竖直向下的重力，重力不变，则两次的摩擦力相等，故C正确；
D、小明的重力为G＝mg＝60×10N＝600N，下杆过程中的功率为P＝Gv＝600×0.5W＝300W，故D错误。
故选：C。
（2024秋 新郑市校级月考）如图所示，一个光滑导轨长臂水平固定、短臂竖直，系有没有弹性细线的轻质圆环套在长臂上，细线另一端与质量为m的小球相连。左手扶住圆环右手拿起小球将细线水平拉直，已知细线长度为L（单位为米），此时圆环距短臂x＝0.4L，重力加速度为g＝10m/s2，若将圆环与小球同时释放，则（ ）
A．小球开始做圆周运动
B．小球运动过程中机械能守恒
C．小球运动的最大速度大小为
D．小球运动到最低点前瞬间对绳子的拉力大小等于17m
【解答】解：A．轻环运动到短臂之前的过程中，细绳中没有张力，故该过程小球做自由落体运动，轻环与短臂碰撞后到球运动到最低点的过程中，轻环被限制不动，故此时小球开始绕轻环做圆周运动，当球运动至短臂正下方时，小球速度的方向变为水平，之后继续往左运动，轻绳将一直保持竖直，即小球做匀速运动，故A错误；
B．小球自由落体运动结束时，绳子绷直瞬间小球沿绳方向的速度瞬间变为零，有机械能损失，所以系统机械能不守恒，故B错误；
C．如图所示，设轻环与短臂接触时，绳子与竖直方向的夹角为θ，根据几何关系有
cosθ0.8
解得
θ＝37°
设轻绳绷紧前的瞬间小球的速度为v，对小球，从开始运动到轻绳绷紧前瞬间，根据动能定理有
解得
根据几何知识，轻绳绷紧后瞬间，小球垂直绳子的速度
沿绳方向的速度变为零，从此时到小球运动到最低点的过程中，对小球根据动能定理有
解得
比较可知，小球的最大速度为，故C正确；
D．小球在运动到最低点前瞬间，根据牛顿第二定律得
解得
故D错误。
故选：C。
（多选）（2024秋 开福区校级月考）如图，将一质量为2m的重物悬挂在轻绳一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点正下方，AB距离为d。现将环从A点由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法中正确的是（ ）
A．环到达B处时，重物上升的高度
B．环能下降的最大距离为
C．环到达B处时，环与重物的速度大小之比为
D．环从A到B减少的机械能等于重物增加的机械能
【解答】接：A.根据几何关系有，环从A下滑至B点时，重物上升的高度 ，故A错误；
C.对B的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有：v环cos45°＝v物 则，故C错误；
D.环下滑过程中，环和重物组成的系统只有重力做功，系统机械能守恒，根据系统机械能守恒定律可知：环减小的机械能等于重物增加的机械能，故D正确；
B.设环下滑到最大高度为h时，环和重物的速度均为0，此时重物上升的最大高度为，根据系统机械能守恒有：，解得：，故B正确。
故选：BD。
（2024秋 沙河口区校级月考）如图所示，固定在同一竖直面内的倾角为θ的轨道AB和圆弧轨道BCD相切于B点，圆弧轨道的圆心为O，CD为竖直直径，BE连线过O点，一质量为m可视为质点的光滑小球从倾斜轨道上的P点由静止滑下，圆弧轨道的半径为r，PB间的距离为L，重力加速度大小为g。
（1）试论证小球从D点离开轨道后是否能直接落到BC间的轨道上；
（2）若倾角θ＝30°，则为何值时，小球从D点离开后会落到轨道AB上与O点等高处？
（3）若，为使小球能通过E点，θ应满足的条件（用三角函数表示）。
【解答】解：（1）设小球做平抛运动的初速度为vD，竖直位移为h，运动时间为t，则
ND+mg＝m
h
水平位移x＝vDt
而ND≥0，h＞r
整理得xr
而BC间任一点到CD竖直线的距离均小于r.所以小球不可能直接落到BC间的轨道上。
（2）小球落到与O等高处，则h＝r
x
解得vD
从P到D，根据机械能守恒定律
mg（Lsinθ﹣r﹣rcosθ）
整理得4
（3）若小球能通过E点，则
mgcosθ≤m
解得
vE
小球从P到E，根据机械能守恒定律
mg（Lsinθ﹣2rcosθ）
整理得tanθ
答：（1）见解析；
（2）若倾角θ＝30°，则为4时，小球从D点离开后会落到轨道AB上与O点等高处；
（3）为使小球能通过E点，θ应满足的条件为tanθ。
（2024春 朝阳区校级期末）下列哪种能量不是机械能（ ）
A．动能
B．重力势能
C．相互摩擦产生的能量
D．拉弯的弓所具有的势能
【解答】解：机械能包含动能，弹性势能和重力势能，拉弯的功所具有的势能为弹性势能，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2024春 和平区期末）如图所示，摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．摩天轮转动过程中，乘客的线速度保持不变
B．摩天轮转动过程中，乘客所受合力保持不变
C．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变
D．摩天轮转动一周，乘客所受重力做功为零
【解答】解：A．摩天轮转动过程中，线速度大小不变，方向不断变化，故A错误；
B、摩天轮转动过程中，乘客所受合力充当向心力，大小不变，但方向时刻改变，故B错误；
C、摩天轮做匀速圆周运动，动能不变，但重力势能一直改变，故机械能一直变化，故C错误；
D、摩天轮转动一周，初末位置相同，乘客所受重力做功为零，故D正确。
故选：D。
（2024秋 沈阳月考）如图所示，把质量为m的石块从h高处以30°角斜向上方抛出，初速度大小为v0，不计空气阻力，重力加速度为g。取石块出手点为零势能参考平面，则下列说法正确的是（ ）
A．石块运动过程中的最大动能为
B．石块运动过程中的机械能为
C．石块从抛出到落地动能的变化量为mgh
D．石块运动过程中最小速度为
【解答】解：A、石块抛出到落地过程只有重力做功，机械能守恒，石块的动能和重力势能之和不变，当石块落到地面时重力势能最小，则动能最大，
石块从抛出到落地过程，由动能定理有：，可得石块运动过程中的最大动能为：，故A错误；
B、取石块出手点为零势能参考平面，此时石块的机械能E，由机械能守恒定律可知石块运动过程中的机械能为：，故B错误；
C、石块从抛出到落地，由动能定理可得石块动能的变化量为：ΔEk＝mgh，故C正确；
D、当石块运动到最高点时，速度最小，石块抛出后做斜抛运动，水平方向的速度不变，当石块升到最高点时竖直方向的速度为零，此时石块的速度沿着水平方向，则石块运动过程中最小速度为：，故D错误。
故选：C。
（2024 海淀区校级开学）如图所示，一个质量为m的物体以某一速度从A点冲上一个倾角为30°的斜面，其运动的加速度为g。这个物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这过程中（ ）
A．物体的重力势能增加了mgh
B．物体的机械能损失了mgh
C．物体的动能损失了mgh
D．物体的重力势能增加了mgh
【解答】解：AD、物体在斜面上上升的最大高度为h，克服重力做功为mgh，则重力势能增加了mgh，故A错误，D正确；
B、根据牛顿第二定律得：mgsin30°+f＝m，得到摩擦力大小为 fmg，物体克服摩擦力做功为Wf＝f 2hmgh，所以物体的机械能损失了mgh.故B错误；
C、合外力对物体做功为 W合＝﹣m 2hmgh，根据动能定理得知，物体动能损失了mgh，故C错误。
故选：D。
（2024 重庆）2024年5月3日，嫦娥六号探测成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中（ ）
A．减速阶段所受合外力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g＝9.8m/s2
【解答】解：A.减速阶段合外力方向竖直向上，不为0，故A错误；
B.悬停阶段受到重力和向上的作用力，合力为0，故B错误；
C.自由下落阶段只受重力作用，重力做正功，机械能守恒，故C正确；
D.由于是在月球表面自由下落，其加速度小于地球表面自由落体加速度9.8m/s2，故D错误。
故选：C。
（多选）（2024春 蓟州区期末）在忽略空气阻力的情况下，小球在如下所列运动过程中，机械能守恒的是（ ）
A．小球在空中飞行的过程
B．小球沿斜面匀速下滑的过程
C．小球沿粗糙曲面下滑的过程
D．悬挂的小球摆动的过程
【解答】解：A、小球在空中飞行的过程中，忽略空气阻力，只有重力做功，其机械能守恒，故A正确；
B、小球沿斜面匀速下滑的过程中，重力势能减小，动能不变，两者之和即机械能减小，故B错误；
C、小球沿粗糙曲面下滑的过程中，重力和摩擦力对物体做功，机械能不守恒，故C错误；
D、悬挂的小球摆动的过程中，绳子拉力不做功，只有重力做功，其机械能守恒，故D正确。
故选：AD。
（2024秋 如东县月考）如图所示，一球员将足球从球门正前方某处踢出，在竖直平面内经位置1、2、3后落地，位置1、3等高，位置2在最高点。不考虑足球的旋转，则足球（ ）
A．在位置3与位置1时的速度大小相等
B．上升过程的时间小于下落过程的时间
C．在水平方向先减速运动，后匀速运动
D．从位置1到2过程机械能增加，从位置2到3过程机械能减小
【解答】解：A、从位置1到位置3，由于空气阻力对足球做负功，所以足球在位置3的动能小于在位置1时动能，二者的速度不相等，故A错误；
B、由于空气阻力，在竖直方向上，上升过程的加速度大于下降过程的加速度，即a上＞a下，根据可知上升过程的时间小于下落过程的时间，故B正确；
C、由于空气阻力和足球的运动方向相反，其在水平方向存在分量，所以足球在水平方向上始终再做减速运动，故C错误；
D、根据功能关系可知由于足球需要克服空气阻力做功，从位置1到2过程和从位置2到3过程中足球的机械能一直在减小，故D错误。
故选：B。
（2024 西城区校级模拟）北京冬奥会高台滑雪场地示意如图。一运动员（含装备）的质量为m，从助滑坡上A点由静止沿坡（曲线轨道）下滑，经最低点B从坡的末端C起跳，在空中飞行一段时间后着陆于着陆坡上D点。已知A、C的高度差为h1，C、D的高度差为h2，重力加速度大小为g，摩擦阻力和空气阻力不能忽略，运动员可视为质点。则下列判定正确的是（ ）
A．运动员在B点处于失重状态
B．运动员起跳时的速率vC
C．运动员着陆前瞬间的动能EkD＝mg（h1+h2）
D．运动员在空中飞行的时间t
【解答】解：A.根据牛顿第二定律，运动员在B点满足
所以FN＞mg，即运动员在B点处于超重状态，故A错误；
B.运动员从A到C由动能定理得
所以，故B错误；
C.根据动能定理，从A到D满足
所以EkD＜mg（h1+h2），故C错误；
D.因为运动员在C点起跳时，速度方向斜向上，结合空气阻力都可以判断出运动员在空中飞行的时间
，故D正确。
故选：D。
（2024秋 常州月考）在播种季节，农民经常采用抛秧的方式种植水稻。如图所示，两颗秧苗a、b从同一位置以相同的速率v0抛出，运动轨迹如图所示，忽略空气阻力的影响，下列判断正确的是（ ）
A．秧苗a在空中运动的时间大于秧苗b在空中运动的时间
B．在轨迹的最高点，秧苗a的速度大于秧苗b的速度
C．在轨迹的交点处，秧苗a的速度大于秧苗b的速度
D．秧苗a与秧苗b落地时的速度相同
【解答】解：A、两秧苗在竖直方向做竖直上抛运动，由图可知秧苗a上升的最大高度较大，逆过程处理，两秧苗竖直方向向上运动过程可以看作自由落体运动，由可知秧苗a在空中的运动时间大于秧苗b在空中的运动时间，故A正确，
B、在轨迹的最高点，两秧苗竖直方向的速度为零，两秧苗的速度等于水平方向速度，两秧苗从抛出到轨迹的交点，两者水平方向的位移相等，但秧苗a运动时间大于秧苗b运动时间，由x＝vxt可知秧苗a的水平方向的速度小于秧苗b水平方向的速度，故B错误；
CD、从抛出到轨迹交点处过程，由动能定理有：，可得轨迹交点处速度大小：，h相等，初速率v0相等，所以在轨迹的交点处，两秧苗的速度大小相等，同理，从抛出到落地过程，利用动能定理可知落地处，两秧苗的速度大小相等，但方向不同，故CD错误。
故选：A。
（2024 济南开学）体育课上，小杜同学将篮球使劲掷向地面后篮球向斜向上方反弹，从篮球反弹到篮球到达最高点（离地高度h＝2m）的过程中，忽略空气阻力，关于篮球的动能Ek（下图中实线所示）和重力势能Ep（下图中虚线所示）随高度h变化的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：篮球升到最高点时速度不为零，所以h＝2m时，动能Ek不为零，
由图可知h＝0时，动能Ek＝20J，重力势能EP＝0，则篮球在地面的机械能E＝Ek+EP＝20J+0＝20J
篮球运动过程，只有重力做功，机械能守恒，所以在h＝2m时动能和重力势能之和也为20J，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2024 武进区校级开学）如图所示，一不可伸长的轻质细绳，绳长为L，一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球，小球绕O点在竖直平面内做圆周运动（不计空气阻力）。
（1）若小球通过最高点A时的速度为v，求此时绳对小球拉力大小；
（2）若小球恰好能通过最高点A，求小球通过B点时，绳对小球的拉力大小；
（3）若小球恰好能通过最高点A，小球运动到最低点C或最高点A时，绳突然断开，两种情况下小球从抛出到落地水平位移大小相等，求O点距离地面高度h。
【解答】解：（1）设球通过最高点时的速度为v，根据牛顿第二定律和向心力公式，有
绳对小球拉力大小为
（2）若小球恰好通过最高点，则在最高点A，重力提供向心力，有
由从A点到B点根据机械能守恒，有
解得
在B点，则拉力提供向心力
（3）小球运动到最高点绳突然断开后做平抛运动时间为t，则
，x＝vAt
小球运动到最低点C的速度为vC，由机械能守恒定律得
绳突然断开后小球做平抛运动时间为t'，则
，x＝vCt'
小球运动到最高点时
解得
故
（2024秋 开福区校级月考）如图所示，光滑圆弧AB在竖直平面内，圆弧B处的切线水平。A、B两端的高度差为0.2m，B端高出水平地面0.8m，O点在B点的正下方。将一滑块从A端由静止释放，落在水平面上的C点处。g取10m/s2。
（1）求OC的长；
（2）在B端水平衔接一长为1.0m的木板MN，滑块从A端释放后正好运动到N端停止，求木板与滑块间的动摩擦因数；
（3）在（2）问的条件下，若将木板右端截去长为ΔL的一段，滑块从A端释放后将滑离木板落在水平面上P点处，要使落地点距O点的距离最远，ΔL应为多少？
【解答】解：（1）根据动能定理有
代入数据解得
vB＝2m/s
做平抛运动时有
，x＝vBt
代入数据解得
x＝0.8m
（2）滑块从B端运动到N端停止的过程有
代入数据解得
μ＝0.2
（3）若将木板右端截去长为ΔL的一段后，由动能定理有
则落地点距O点的距离为
s＝L﹣ΔL+vt
联立得
根据数学知识知，当
即ΔL＝0.16m时，s最大，且
smax＝1.16m
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8.4 机械能守恒定律
（1）通过机械能守恒定律的学习，初步建立能量观念、体会守恒思想。
（2）会用能量观念分析具体实例中动能与势能（包括弹性势能）之间的相互转化。
（3）理解机械能守恒定律的推导过程。
（4）会从做功和能量转化的角度判断机械能是否守恒，能应用机械能守恒定律解决有关问题，体会利用机械能守恒定律解决问题的便利性。
伽利略曾研究过小球在斜面上的运动。他发现 ：无论斜面 B 比斜面 A 陡些或缓些，小球的速度最后总会在斜面上的某点变为 0，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度基本相同。
在小球的运动过程中，有哪些物理量是变化的？哪些是不变的？你能找出不变的量吗？
知识点1 追寻守恒量
伽利略曾研究过小球在斜面上的运动，如图所示．
将小球由斜面A上某位置由静止释放，如果空气阻力和摩擦力小到可以忽略，小球在斜面B上速度变为0(即到达最高点)时的高度与它出发时的高度相同，不会更高一点，也不会更低一点．这说明某种“东西”在小球运动的过程中是不变的．
知识点2 动能与势能的相互转化
1．重力势能与动能的转化
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能；若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能．
2．弹性势能与动能的转化
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能．
3．机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能．
（2024 湖北开学）足球比赛中，某足球运动员长传足球，由于水平恒定风力的作用，足球在空中飞行的轨迹如图所示。位置1、3足球在同一高度，位置2足球在最高点，在位置3时足球速度刚好竖直向下，则足球速度最小的位置（ ）
A．在位置1和位置2之间某位置
B．在位置2
C．在位置2和位置3之间某位置
D．在位置3
（2024 浙江）如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球（ ）
A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
（2023春 渝中区校级月考）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关，空气阻力与雨滴的形状和下落的速度有关。质量为m的雨滴（忽略雨滴间的相互作用和雨滴质量的变化）由静止开始，当下落高度h时速度为v，则雨滴在这一过程中（ ）
A．速度均匀增加 B．加速度均匀增加
C．动能一定持续增加 D．机械能一直减小
（多选）（2024春 垫江县校级月考）从地面以v0的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为g，以地面为重力势能的零势能面。下列说法正确的是（ ）
A．物体在空中运动的时间为
B．物体上升的最大高度为
C．物体的重力势能和动能相等时，物体离地面的高度为
D．物体的重力势能和动能相等时，物体的速度为
（2022秋 嘉定区校级期中）为了节能环保，地铁站建得总是比铁轨更高（如图所示），这样（ ）
A．在出站时，列车的动能将转化成重力势能
B．在进站时，不需要刹车就能准确停到指定位置
C．在出站时，铁轨的支持力能使列车沿铁轨加速
D．在进站时，重力沿铁轨的分力能使列车沿铁轨减速
如图所示，射箭运动员用力把弓拉开，然后放手让箭射出。对此过程的判断，下列说法正确的是（ ）
A．在把弓拉开过程中，运动员的动能转化弓和弦的动能
B．在把弓拉开过程中，弓和弦的弹性势能转化为运动员的动能
C．在箭射出过程中，弓和弦的弹性势能转化为箭的动能
D．在箭射出过程中，弓和弦的弹性势能转化为运动员的动能
（多选）一根细长绳的下端系一个金属小球，上端固定，就制成一个摆。把小球拉离竖直位置松手，让它摆动起来，如图所示，可以观察到小球在摆动过程中摆动的幅度会逐渐减小，最终会停下来，对于小球在摆动过程中的能量转化情况，下列说法中不正确的是（ ）
A．小球从低处向高处摆动过程中，动能全部转化为势能
B．小球每次经过最低点时，动能会逐渐减少
C．小球从低处向高处摆动过程中，线对小球的拉力做了功
D．小球从高处向低处摆动过程中，势能部分转化为动能
知识点3 机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mv22＋mgh2＝mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
3．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算．
4．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化．
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．
(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零．
注意：机械能守恒的物体所受合外力不一定为零．
5．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
(3)机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加．
（2024 前进区开学）如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．甲图中，从滑梯上加速下滑的小朋友机械能守恒
B．乙图中，在匀速转动的摩天轮中的游客机械能守恒
C．丙图中，在光滑的水平面上，小球的机械能守恒
D．丁图中，不计任何阻力和细绳质量时，A、B组成的系统机械能守恒
（2024春 潍坊期末）图甲所示装置为灭火火箭筒，主要用于实施远距离高效、安全灭火作业。在一次消防演练中，消防员在同一位置用火箭筒先后两次以相同速率、不同角度发射火箭弹，火箭弹均击中着火点，火箭弹的两次运动轨迹如图乙所示。忽略空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．不同轨迹的火箭弹，击中着火点时的速度相同
B．不同轨迹的火箭弹，运动过程中速度变化量相同
C．火箭弹沿轨迹1的运动时间大于沿轨迹2的运动时间
D．火箭弹沿轨迹1的最小速度大于沿轨迹2的最小速度
（2024 南岗区校级开学）小明用台秤研究人在竖直升降电梯中的运动。他先在地面上用台秤称得自己的体重为500N，再将台秤移至电梯内，电梯从t＝0时由静止开始向下运动到t＝11s时停止，测得台秤对自己的支持力F随时间t变化的图象如图所示，则（ ）
A．0～2s的过程中，小明的动能不变
B．2s～10s的过程中，小明的重力势能转化为动能
C．10s～11s的过程中，小明的机械能不断减小
D．0～11s的过程中，小明的机械能不断增大
（2024 青岛自主招生）如图所示，体育课上，小明在老师的指导下进行爬杆训练。他以0.2m/s的速度匀速爬上3m高的竖直杆，又以0.5m/s的速度匀速下杆。已知小明的质量为60kg，在本次爬杆训练过程中，下列说法正确的是（ ）
A．上杆过程中小明的机械能不变
B．上杆过程中小明受到的摩擦力方向竖直向下
C．下杆过程中小明受到的摩擦力和上杆过程中的摩擦力相等
D．下杆过程中小明所受重力做功的功率为30W
（2024秋 新郑市校级月考）如图所示，一个光滑导轨长臂水平固定、短臂竖直，系有没有弹性细线的轻质圆环套在长臂上，细线另一端与质量为m的小球相连。左手扶住圆环右手拿起小球将细线水平拉直，已知细线长度为L（单位为米），此时圆环距短臂x＝0.4L，重力加速度为g＝10m/s2，若将圆环与小球同时释放，则（ ）
A．小球开始做圆周运动
B．小球运动过程中机械能守恒
C．小球运动的最大速度大小为
D．小球运动到最低点前瞬间对绳子的拉力大小等于17m
（多选）（2024秋 开福区校级月考）如图，将一质量为2m的重物悬挂在轻绳一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点正下方，AB距离为d。现将环从A点由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法中正确的是（ ）
A．环到达B处时，重物上升的高度
B．环能下降的最大距离为
C．环到达B处时，环与重物的速度大小之比为
D．环从A到B减少的机械能等于重物增加的机械能
（2024秋 沙河口区校级月考）如图所示，固定在同一竖直面内的倾角为θ的轨道AB和圆弧轨道BCD相切于B点，圆弧轨道的圆心为O，CD为竖直直径，BE连线过O点，一质量为m可视为质点的光滑小球从倾斜轨道上的P点由静止滑下，圆弧轨道的半径为r，PB间的距离为L，重力加速度大小为g。
（1）试论证小球从D点离开轨道后是否能直接落到BC间的轨道上；
（2）若倾角θ＝30°，则为何值时，小球从D点离开后会落到轨道AB上与O点等高处？
（3）若，为使小球能通过E点，θ应满足的条件（用三角函数表示）。
（2024春 朝阳区校级期末）下列哪种能量不是机械能（ ）
A．动能
B．重力势能
C．相互摩擦产生的能量
D．拉弯的弓所具有的势能
（2024春 和平区期末）如图所示，摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）
A．摩天轮转动过程中，乘客的线速度保持不变
B．摩天轮转动过程中，乘客所受合力保持不变
C．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变
D．摩天轮转动一周，乘客所受重力做功为零
（2024秋 沈阳月考）如图所示，把质量为m的石块从h高处以30°角斜向上方抛出，初速度大小为v0，不计空气阻力，重力加速度为g。取石块出手点为零势能参考平面，则下列说法正确的是（ ）
A．石块运动过程中的最大动能为
B．石块运动过程中的机械能为
C．石块从抛出到落地动能的变化量为mgh
D．石块运动过程中最小速度为
（2024 海淀区校级开学）如图所示，一个质量为m的物体以某一速度从A点冲上一个倾角为30°的斜面，其运动的加速度为g。这个物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这过程中（ ）
A．物体的重力势能增加了mgh
B．物体的机械能损失了mgh
C．物体的动能损失了mgh
D．物体的重力势能增加了mgh
（2024 重庆）2024年5月3日，嫦娥六号探测成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中（ ）
A．减速阶段所受合外力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g＝9.8m/s2
（多选）（2024春 蓟州区期末）在忽略空气阻力的情况下，小球在如下所列运动过程中，机械能守恒的是（ ）
A．小球在空中飞行的过程
B．小球沿斜面匀速下滑的过程
C．小球沿粗糙曲面下滑的过程
D．悬挂的小球摆动的过程
（2024秋 如东县月考）如图所示，一球员将足球从球门正前方某处踢出，在竖直平面内经位置1、2、3后落地，位置1、3等高，位置2在最高点。不考虑足球的旋转，则足球（ ）
A．在位置3与位置1时的速度大小相等
B．上升过程的时间小于下落过程的时间
C．在水平方向先减速运动，后匀速运动
D．从位置1到2过程机械能增加，从位置2到3过程机械能减小
（2024 西城区校级模拟）北京冬奥会高台滑雪场地示意如图。一运动员（含装备）的质量为m，从助滑坡上A点由静止沿坡（曲线轨道）下滑，经最低点B从坡的末端C起跳，在空中飞行一段时间后着陆于着陆坡上D点。已知A、C的高度差为h1，C、D的高度差为h2，重力加速度大小为g，摩擦阻力和空气阻力不能忽略，运动员可视为质点。则下列判定正确的是（ ）
A．运动员在B点处于失重状态
B．运动员起跳时的速率vC
C．运动员着陆前瞬间的动能EkD＝mg（h1+h2）
D．运动员在空中飞行的时间t
（2024秋 常州月考）在播种季节，农民经常采用抛秧的方式种植水稻。如图所示，两颗秧苗a、b从同一位置以相同的速率v0抛出，运动轨迹如图所示，忽略空气阻力的影响，下列判断正确的是（ ）
A．秧苗a在空中运动的时间大于秧苗b在空中运动的时间
B．在轨迹的最高点，秧苗a的速度大于秧苗b的速度
C．在轨迹的交点处，秧苗a的速度大于秧苗b的速度
D．秧苗a与秧苗b落地时的速度相同
（2024 济南开学）体育课上，小杜同学将篮球使劲掷向地面后篮球向斜向上方反弹，从篮球反弹到篮球到达最高点（离地高度h＝2m）的过程中，忽略空气阻力，关于篮球的动能Ek（下图中实线所示）和重力势能Ep（下图中虚线所示）随高度h变化的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024 武进区校级开学）如图所示，一不可伸长的轻质细绳，绳长为L，一端固定于O点，另一端系一质量为m的小球，小球绕O点在竖直平面内做圆周运动（不计空气阻力）。
（1）若小球通过最高点A时的速度为v，求此时绳对小球拉力大小；
（2）若小球恰好能通过最高点A，求小球通过B点时，绳对小球的拉力大小；
（3）若小球恰好能通过最高点A，小球运动到最低点C或最高点A时，绳突然断开，两种情况下小球从抛出到落地水平位移大小相等，求O点距离地面高度h。
（2024秋 开福区校级月考）如图所示，光滑圆弧AB在竖直平面内，圆弧B处的切线水平。A、B两端的高度差为0.2m，B端高出水平地面0.8m，O点在B点的正下方。将一滑块从A端由静止释放，落在水平面上的C点处。g取10m/s2。
（1）求OC的长；
（2）在B端水平衔接一长为1.0m的木板MN，滑块从A端释放后正好运动到N端停止，求木板与滑块间的动摩擦因数；
（3）在（2）问的条件下，若将木板右端截去长为ΔL的一段，滑块从A端释放后将滑离木板落在水平面上P点处，要使落地点距O点的距离最远，ΔL应为多少？
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