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专题强化（9）机械能守恒定律的理解
掌握机械能守恒定律的相关模型与分析思路
知识点1 机械能守恒定律的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
（2024秋 大连期中）如图，斜面倾角为θ，底部O点与光滑水平地面平滑相连，地面上一根轻弹簧左端固定，右端自然伸长。质量为m的小滑块从高度为h的斜面顶端由静止开始释放，滑块能滑上地面压缩弹簧。滑块通过O点前后速度大小不变，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度范围内。下列说法正确的是（ ）
A．μ的值可能大于tanθ
B．滑块在光滑地面上的运动过程中，机械能守恒
C．弹簧具有的最大弹性势能为
D．滑块与斜面因为摩擦产生的热量最多为Q＝mgh
【解答】解：A、滑块从斜面顶端由静止释放能够下滑，是因为mdsiθ＞μmgcosθ，所以μ的值一定小于tanθ，故A错误；
B、滑块在光滑地面上的运动过程中，受到弹簧对它的作用力，对它做功，所以滑块的机械能不守恒，故B错误；
C、当滑块的速度第一次为零时，弹簧的弹性势能最大，根据能量守恒有 ，故C错误；
D、滑块不断的在斜面上和水平面上来回运动，最后停留在斜面的底端，把重力势能全部转化为内能，根据能量转化和守恒定律可知滑块与斜面因为摩擦产生的热量最多为Q＝mgh，故D正确。
故选：D。
（2024秋 重庆月考）近年来无人机在军事、工业等领域均有广泛的应用，一质量为m的无人机在执行远程侦察任务，某段时间内该无人机以速度v沿着与水平方向成θ角斜向上的方向匀速直线飞行，重力加速度为g，则（ ）
A．该无人机处于超重状态
B．该无人机在运动的过程中机械能守恒
C．空气对该无人机作用力的大小为mg
D．重力对无人机做功的瞬时功率为mgv
【解答】解：A、依题意，该无人机做匀速直线运动，处于平衡状态，故A错误；
B、无人机在运动的过程中动能不变，重力势能增加，则两者之和即机械能增加，故B错误；
C、无人机在运动过程中受到自身竖直向下的重力和空气的作用力，两者等大反向，则空气对该无人机作用力的大小为mg，故C正确；
D、重力方向与速度v的方向有夹角，则重力对无人机做功的瞬时功率大小不等于mgv，而等于mgvsinθ，故D错误。
故选：C。
（2024春 岱岳区校级期末）在下面列举的各个实例中，不考虑空气阻力，叙述正确的是（ ）
A．甲图中跳水运动员在空中运动的过程中机械能守恒
B．乙图中物体在外力F作用下沿光滑斜面加速下滑的过程中机械能守恒
C．丙图中通过轻绳连接的物体A、B运动过程中A的机械能守恒
D．丁图中小球在光滑水平面上以一定的初速度压缩弹簧的过程中，小球的机械能守恒
【解答】解：A、甲图中跳水运动员在空中运动的过程中，不考虑空气阻力，只有重力做功，其机械能守恒，故A正确；
B、乙图中物体在外力F作用下沿光滑斜面加速下滑的过程中，外力F对物体做功，物体的机械能不守恒，故B错误；
C、丙图中通过轻绳连接的物体A、B运动过程中，细绳拉力对A做功，则A的机械能不守恒，故C错误；
D、丁图中小球在光滑水平面上以一定的初速度压缩弹簧的过程中，弹簧对小球做功，小球的机械能不守恒，故D错误。
故选：A。
知识点2 单物体的机械能守恒问题
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
（2024秋 常州月考）如图，质量为m＝1kg的小滑块（视为质点）在半径为R＝0.4m的四分之一圆弧A端由静止开始释放，它运动到B点时速度为v＝2m/s。当滑块经过B后立即将圆弧轨道撤去。滑块在光滑水平面上运动一段距离后，通过换向轨道由C点过渡到倾角为θ＝37°、长s＝1m的斜面CD上，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在0≤μ≤1.5之间调节。斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点。认为滑块在C、D两处换向时速度大小均不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。
（1）求滑块对B点的压力大小以及在AB上克服阻力所做的功。
（2）若设置μ＝0，求弹簧的最大弹性势能。
（3）若滑块不会回到BC平面上且最终停在D点，求μ的取值范围。
【解答】解：（1）在B点，根据牛顿第二定律可得：F﹣mg＝m
解得：F＝20N
由牛顿第三定律，滑块对B点的压力大小为：F'＝20N
从A到B，由动能定理得：mgR﹣Wmv2
代入数据解得：W＝2J；
（2）若设置μ＝0，根据机械能守恒可得：Epmgs sinθ
代入数据解得：EP＝8J；
（3）最终滑块停在D点有两种可能：
a、滑块恰好能从C下滑到D。
从C到D，根据动能定理可得：mgsinθ s﹣μ1mgcosθ s＝0mv2
得到：μ1＝1；
b、滑块在斜面CD和水平地面间多次反复运动，最终静止于D点，当滑块恰好能返回C，根据动能定理可得：
﹣μ2mgcosθ 2s＝0mv2
解得：μ2＝0.125
当滑块恰好静止在斜面上，则有：mgsinθ＝μ3mgcosθ，得到：μ3＝0.75
所以，当0.125≤μ＜0.75，滑块在CD和水平地面间多次反复运动，最终静止于D点。
综上所述，μ的取值范围是0.125≤μ＜0.75或μ＝1。
答：（1）滑块对B点的压力大小为20N，在AB上克服阻力所做的功为2J；
（2）若设置μ＝0，弹簧的最大弹性势能为8J；
（3）若滑块不会回到BC平面上且最终停在D点，μ的取值范围是0.125≤μ＜0.75或μ＝1。
（2024秋 沙河口区校级月考）如图所示，固定在同一竖直面内的倾角为θ的轨道AB和圆弧轨道BCD相切于B点，圆弧轨道的圆心为O，CD为竖直直径，BE连线过O点，一质量为m可视为质点的光滑小球从倾斜轨道上的P点由静止滑下，圆弧轨道的半径为r，PB间的距离为L，重力加速度大小为g。
（1）试论证小球从D点离开轨道后是否能直接落到BC间的轨道上；
（2）若倾角θ＝30°，则为何值时，小球从D点离开后会落到轨道AB上与O点等高处？
（3）若，为使小球能通过E点，θ应满足的条件（用三角函数表示）。
【解答】解：（1）设小球做平抛运动的初速度为vD，竖直位移为h，运动时间为t，则
ND+mg＝m
h
水平位移x＝vDt
而ND≥0，h＞r
整理得xr
而BC间任一点到CD竖直线的距离均小于r.所以小球不可能直接落到BC间的轨道上。
（2）小球落到与O等高处，则h＝r
x
解得vD
从P到D，根据机械能守恒定律
mg（Lsinθ﹣r﹣rcosθ）
整理得4
（3）若小球能通过E点，则
mgcosθ≤m
解得
vE
小球从P到E，根据机械能守恒定律
mg（Lsinθ﹣2rcosθ）
整理得tanθ
答：（1）见解析；
（2）若倾角θ＝30°，则为4时，小球从D点离开后会落到轨道AB上与O点等高处；
（3）为使小球能通过E点，θ应满足的条件为tanθ。
（2024秋 开福区校级月考）如图所示，光滑圆弧AB在竖直平面内，圆弧B处的切线水平。A、B两端的高度差为0.2m，B端高出水平地面0.8m，O点在B点的正下方。将一滑块从A端由静止释放，落在水平面上的C点处。g取10m/s2。
（1）求OC的长；
（2）在B端水平衔接一长为1.0m的木板MN，滑块从A端释放后正好运动到N端停止，求木板与滑块间的动摩擦因数；
（3）在（2）问的条件下，若将木板右端截去长为ΔL的一段，滑块从A端释放后将滑离木板落在水平面上P点处，要使落地点距O点的距离最远，ΔL应为多少？
【解答】解：（1）根据动能定理有
代入数据解得
vB＝2m/s
做平抛运动时有
，x＝vBt
代入数据解得
x＝0.8m
（2）滑块从B端运动到N端停止的过程有
代入数据解得
μ＝0.2
（3）若将木板右端截去长为ΔL的一段后，由动能定理有
则落地点距O点的距离为
s＝L﹣ΔL+vt
联立得
根据数学知识知，当
即ΔL＝0.16m时，s最大，且
smax＝1.16m
答：（1）OC的长0.8m；
（2）木板与滑块的动摩擦因数0.2；
（3）要使落地点距O点的距离最远，ΔL应为0.16m。
知识点3 连接体的机械能守恒问题
1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
2．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等。
系统机械能守恒的特点
(1)一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。
3．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B运动的过程中，A、B的速度并非均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程不相等，则A、B的速度大小不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
列系统机械能守恒的两种思路
(1)系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。
(2)一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。
类型1 轻绳连接的物体系统
（多选）（2023 普宁市校级二模）如图所示，两个轻质滑轮用无弹性的轻质细绳连接起来，一个滑轮下方挂着重物A，另一个滑轮下方挂着重物B，悬挂滑轮的绳均竖直，重物B用手固定。松开手后，A、B两个重物同时运动。已知A、B质量均为m，重力加速度为g，忽略一切摩擦和空气阻力。当B的位移大小为h时（未着地），下列说法正确的是（ ）
A．重物A的重力势能增加了mgh
B．松开手瞬间，重物B的加速度大小为g
C．松开手瞬间，重物A的加速度大小为g
D．运动过程中重物B的动能是重物A的动能的4倍
【解答】解：A、由滑轮知识可知，在相同的时间内，B运动的位移大小是A的2倍，当下B降h时，A上升0.5h，A的重力势能增加了0.5mgh，故A错误；
BC、由可知，B的加速度大小是A的2倍，即aB＝2aA
受力分析可知，松开手后，重物B下落，A上升，松开手的瞬间，设绳上的拉力为T，
对物体A有2T﹣mg＝maA，
对物体B有mg﹣T＝maB，
解得aAg，aBg，故B错误，C正确；
D、由v＝at可知，B的速度是A的2倍，由可知，运动过程中重物B的动能是重物A的动能的4倍，故D正确。
故选：CD。
（多选）（2023 绵阳模拟）如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内，圆环的圆心O的正上方B点固定有一定滑轮，B点的左侧再固定有一定滑轮。质量为m的小球套在圆环上，轻质细线跨过两个定滑轮，一端连接小球，另一端连接质量为m的物块，用竖直向下的拉力F（未知）把小球控制在圆环上的A点，OA与竖直方向的夹角为53°，且AB正好沿圆环的切线方向，P点为圆环的最高点，不计一切摩擦，不计滑轮、小球以及物块的大小，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。下列说法正确的是（ ）
A．小球与物块静止时，竖直向下的拉力Fmg
B．撤去拉力F的瞬间，细线的拉力大小为mg
C．小球由A点运动到P点的过程中，物块的重力势能减少量为mgR
D．若小球在P点的速度大小为v，则物块的速度大小也为v
【解答】解：A、对物块进行受力分析，由二力平衡可得细线的拉力大小为T1＝mg
在A点，对小球进行受力分析，由平衡条件可得：（F+mg）sin53°＝T1
解得：，故A正确；
B、在撤去拉力F的瞬间，设细线的拉力大小为T2，小球和物块的加速度大小相等设为a，对小球和物块分别由牛顿第二定律可得
T2﹣mgsin53°＝ma
mg﹣T2＝ma
联立解得：T2mg，故B错误；
C、撤去拉力F后，当小球运动到P点时，设小球的速度大小为v，由几何关系可得：
，，BP＝OB﹣R
小球从A到P，物块下降的高度为h＝AB﹣BP
联立解得：
故物块的重力势能减少量为，故C正确；
D、小球在P点时，细线与小球的速度v垂直，则绳子伸长的速度为0，根据物块和小球沿细线方向的分速度相等可知，此时物块的速度为0，故D错误。
故选：AC。
（多选）（2023 辽宁一模）如图所示，竖直固定的光滑细杆上穿着一个小球B，小球通过一根不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与质量为m的物块A相连，用手将物块A竖直向上托起至定滑轮左侧细绳与竖直方向的夹角为θ，现突然松手，物块A开始在竖直方向上做往复运动，小球最高能到达M点。已知定滑轮到细杆的距离为d，Q点和定滑轮的高度相同，OM⊥OP，sinθ＝0.6，重力加速度大小为g，定滑轮可看作质点，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过Q点时的加速度为0
B．小球的质量为
C．绳中的最小张力为
D．该系统的最大总动能为
【解答】解：A、小球B经过Q点时，水平方向受力平衡，在竖直方向上仅受到重力作用，则小球经过Q点时的加速度为g，故A错误；
B、小球从P到M的过程中，根据物块A和小球组成的系统机械能守恒有，解得小球的质量：，故B正确；
C、设小球在最高点的加速度大小为a高，则物块对应的加速度大小为a高sinθ，由牛顿第二定律得
对小球有：
对物块有：mg﹣T高＝ma高sinθ
解得绳中的张力：，故C错误；
D、设轻绳与水平方向的夹角为α时，系统的总动能为Ek，有
解得，为第一象限内单位圆上的点与定点（0，5）连线的斜率，所以，该系统的最大总动能为，故D正确。
故选：BD。
类型2 轻杆连接的物体系统
（多选）（2024春 九龙坡区校级期末）如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定倾斜直杆上，倾斜直杆与水平面成45°角，B套在固定水平直杆上，两直杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计且杆足够长，A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆（初始时轻杆与水平面成30°角）连接，A、B从静止释放，B沿水平面向右运动，不计一切摩擦，滑块A、B均视为质点，重力加速度大小为g，在运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当A到达B所在水平面时
B．当A到达B所在水平面时，B的速度为
C．滑块B到达最右端时，A的速度为
D．滑块B的最大动能为
【解答】解：A、当A到达B所在水平面时，根据A沿沿刚性轻杆方向的分速度等于B的速度，如图所示。
则有：vAcos45°＝vB，解得：，故A正确；
B、从开始到A到达B所在的水平面的过程中，A、B两滑块组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律有
mgLsin30°
结合，解得：，故B正确；
C、滑块B到达最右端时，轻杆与倾斜直杆垂直，则此时滑块B的速度为零，由系统机械能守恒得
解得：，故C错误；
D、由题意可知，B的加速度为零时，速度最大，当轻杆与水平直杆垂直时B的合力为零，速度最大，此时A的速度为零，由系统机械能守恒可得：
mgL（1+sin30°）＝EkB
解得滑块B的最大动能为：，故D正确。
故选：ABD。
（多选）（2021秋 高新区校级月考）如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则（ ）
A．a落地前，轻杆对b先做正功后做负功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，某一时刻其加速度大小大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为0
【解答】解：A、当a到达底端时，杆处于水平位置，在水平方向上杆的速度为零，则此时b的速度为零，b的速度在整个过程中，先增大后减小，则动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，故A正确；
B、a运动到最低点时，b的速度为零，根据系统机械能守恒定律得：
mAgh，解得vA，故B错误；
C、b的速度在整个过程中，先增大后减小，所以杆对b的作用力先是动力后是阻力，所以杆对a的作用力就先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，杆对a是斜向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，故C正确；
D、a、b整体机械能守恒，当a的机械能最小时，b的动能最大，速度最大，b的加速度为零，故此时b受到杆的力为零，b受重力、地面支持力的作用，且支持力与重力的大小相等，所以此时b对地面的压力大小为mg，故D错误。
故选：AC。
如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下．求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
【解答】解：若取B的最低点为零重力势能参考平面，根据系统机械能守恒得，：
又因A球对B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA
联立两式得：．
根据动能定理，可解出杆对A、B做的功．
对于A有：，
即：WA＝﹣0.2mgL
对于B有：，
即：WB＝0.2mgL．
故轻杆对A、B两球分别做功为﹣0.2mgL，0.2mgL．
类型3 含弹簧类机械能守恒问题
1．物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能．
2．发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能．
（多选）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，两个物体A、B通过细绳及轻弹簧连接于光滑定滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板。开始时用手按住质量为m的物体A，此时A与挡板的距离为s，滑轮两侧的细绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态。松开手后，A在斜面上运动的过程中，弹簧形变不超过其弹性限度，B始终静止在水平面上。重力加速度为g，空气阻力不计。则下列说法正确的是（ ）
A．A和B组成的系统机械能守恒
B．若A恰好能到达挡板处，此时A的加速度为零
C．若A恰好能到达挡板处，此时弹簧的弹性势能EP＝0.5mgs
D．若A恰好能到达挡板处，当A的速度最大时，弹簧的弹力F＝0.5mg
【解答】解：A、对于A和B组成的系统，由于弹簧对系统要做功，所以系统的机械能不守恒，故A错误。
B、当A的速度最大时，A的加速度为零，合力为零，此后A继续下滑，弹簧的弹力继续增大，可知，若A恰好能到达挡板处，此时A的合力不为零，加速度不为零，故B错误。
C、若A恰好能到达挡板处，根据A、B和弹簧组成的系统机械能守恒得：此时弹簧的弹性势能等于A重力势能的减少量，即为：EP＝mgs sin30°＝0.5mgs，故C正确。
D、若A恰好能到达挡板处，当A的速度最大时，合力为零，则弹簧的弹力为：F＝mgsin30°＝0.5mg，故D正确。
故选：CD。
（多选）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．下列说法正确的是（ ）
A．斜面倾角α＝30°
B．A获得最大速度为2g
C．C刚离开地面时，B的加速度为g
D．从释放A到C刚离开地面这两个状态，A、B两小球组成的系统机械能守恒
【解答】解：A、设当物体C刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为xC，则
kxC＝mg ①
物体C刚刚离开地面时，以B为研究对象，物体B受到重力mg、弹簧的弹力kxC、细线的拉力T三个力的作用，
设物体B的加速度为a，根据牛顿第二定律，
对B有：T﹣mg﹣kxC＝ma ②
对A有：4mgsinα﹣T＝4ma ③
由②、③两式得
4mgsinα﹣mg﹣kxC＝5ma ④
当B获得最大速度时，有 a＝0 ⑤
由①④⑤式联立，解得 sinα，所以：α＝30°，故A正确；
B、设开始时弹簧的压缩量xB，则 kxB＝mg
设当物体C刚刚离开地面时，弹簧的伸长量为xC，则 kxC＝mg
当物体C刚离开地面时，物体B上升的距离以及物体A沿斜面下滑的距离均为：
h＝xC+xB
由于弹簧处于压缩状态和伸长状态时的弹性势能相等，且物体C刚刚离开地面时，A、B两物体的速度相等，设为vBm，以A、B及弹簧组成的系统为研究对象，
由机械能守恒定律得：4mghsinα﹣mgh（4m+m） VBm2
代入数据，解得：VBm＝2g，故B正确；
C、C刚离开地面时，B的速度最大，加速度为零，故C错误；
D、从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球以及弹簧构成的系统机械能守恒，A、B两小球组成的系统机械能不守恒。故D错误；
故选：AB。
（多选）（2024秋 海淀区校级月考）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学在研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，做出小球所受弹力F大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的是（ ）
A．当x＝h+x0时，重力势能与弹性势能之和最小
B．小球在最低点的加速度一定大于g
C．小球动能的最大值为
D．当x＝h+2x0时，小球的重力势能最小
【解答】解：A、根据乙图可知，当x＝h+x0，小球的重力等于弹簧的弹力，此时小球具有最大速度，小球的动能最大。以弹簧和小球组成的系统为研究对象，由系统机械能守恒可知，当x＝h+x0，小球的重力势能与弹性势能之和最小，故A正确；
B、若小球从弹簧原长处静止释放，释放时的速度为零、加速度大小为g，方向向下，此后小球做简谐运动，根据对称性可知小球达到最低点的加速度大小为g，方向向上。现在小球从弹簧原长处某一位置由静止释放，最低点的高度比由原长处释放时更低、弹簧推力更大，加速度大于g，故B正确；
C、小球达到最大速度的过程中，根据动能定理可知mg（h+x0） Ekm﹣0，当x＝h+x0时，有mg＝kx0，解得最大动能为：Ekm＝mgh，故C正确；
D、若小球从弹簧原长处静止释放，此后小球做简谐运动，下降x0时速度最大，根据对称性可知小球达到最低点时下降的高度为2x0。现在小球从弹簧原长处某一位置由静止释放，最低点的高度比由原长处释放时更低，所以当x＝h+2x0时，小球速度不为零，还要向下运动，此时的重力势能不是最小，故D错误。
故选：ABC。
（2024秋 朝阳区校级月考）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由静止开始下滑，经过B处时速度最大，到达C处时速度为零，AC＝h。若圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A处；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则圆环（ ）
A．下滑过程中，加速度一直减小
B．下滑过程中，克服摩擦力做功为
C．在C处时，弹簧的弹性势能为
D．上滑经过B的速度大小等于下滑经过B的速度大小
【解答】解：A.圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，所以圆环先做加速运动，再做减速运动，经过B处的速度最大，则经过B处时的加速度为零，所以加速度先减小后增大，故A错误；
B.研究圆环从A处由静止开始下滑到C过程，运用动能定理得mgh﹣Wf﹣W弹＝0﹣0，在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A处，运用动能定理得，解得，故B正确；
C.设弹力做功大小为W弹，从A到C由动能定理得mgh﹣Wf﹣W弹＝0﹣0，且，解得W弹＝mgh，所以弹簧的弹性势能为Ep，故C错误；
D.研究圆环从A处由静止开始下滑到B过程，运用动能定理得mgh'﹣W'f，研究圆环从B处上滑到A的过程，运用动能定理得﹣mgh′﹣Wf′+W弹′＝0m，由以上两式得vB′＞vB，上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度，故D错误。
故选：B。
（2024秋 东莞市校级月考）2023年9月21日，莞外高三年级篮球比赛决赛开打，一同学第一次跳投出手，篮球的初速度方向与竖直方向的夹角α＝60°；第二次不起跳出手，篮球的初速度方向与竖直方向的夹角β＝30°；两次出手的位置在同一竖直线上，结果两次篮球正好垂直撞击到篮板同一位置点。不计空气阻力，则从篮球出手到运动到点C的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动时间的比值为1：3
B．上升的最大高度的比值为
C．两次出手时篮球的初动能相等
D．两次投篮，篮球在C点的机械能相等
【解答】解：AB．因为篮球垂直撞在C点，则两次篮球运动过程的逆过程是平抛运动，根据平抛运动中速度偏角和位移偏角的正切值关系，对第一、二次出手，分别有tan30°，tan60°，联立可得，且，，联立可得，故AB错误；
CD．对第一次出手，有，，，对第二次出手，有，，，联立可得v1＝v2，
因二者初速度大小相同，则初动能相同，由于篮球两次运动过程中的初始位置不等高，末位置在同一位置，根据机械能守恒定律可知，篮球在C点时，两球的机械能不同，故C正确，D错误。
故选：C。
（2024秋 如皋市月考）如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，一小球由弹簧的正上方自由下落，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内.小球向下运动的整个过程中，小球重力的瞬时功率P、弹簧的弹性势能Ep与位移x的关系图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：AB、小球接触弹簧前做自由落体运动，则：v2＝2gx，解得：v，重力做功功率为：，根据数学知识可知P﹣x图像是开口向右的抛物线；小球开始接触弹簧，向下的合力减小，做加速度减小的加速运动，当弹簧弹力等于重力时，加速度为零，此时速度最大，小球重力的瞬时功率最大；之后做减速运动，直到速度减为零，小球向下运动到最低点，此时小球重力的瞬时功率为零，故A错误，B正确；
CD、小球接触弹簧前，弹簧的弹性势能为零，保持不变；接触弹簧后，根据弹性势能表达式可得：，所以Ep﹣x图像是开口向上的抛物线，故CD错误。
故选：B。
（2024春 建邺区校级期末）劲度系数k＝100N/m的轻弹簧一端固定在倾角θ＝30°的固定光滑斜面的底部，另一端和质量mA＝2kg的小物块A相连，质量mB＝2kg的小物块B紧靠A静止在斜面上，轻质细线一端连在物块B上，另一端跨过定滑轮与质量mC＝1kg的物体C相连，对C施加外力，使C处于静止状态，细线刚好伸直，且线中没有张力，如图甲所示。从某时刻开始，撤掉外力，使C竖直向下运动，取g＝10m/s2，以下说法中正确的是（ ）
A．撤掉外力瞬间，A的加速度为2.5m/s2
B．当A、B恰好分离时，A的加速度为2.5m/s2
C．当A、B恰好分离时，弹簧恢复原长
D．A运动过程中的最大速度为
【解答】解：A、撤掉外力瞬间，取ABC系统
mCg＝（mA+mB+mC）a1
代入数据解得，故A错误；
BC、AB恰好分离时，以BC整体为研究对象有
mCg﹣mBgsinθ＝（mB+mC）a2
代入数据解得a2＝0
则A的加速度大小也为0，此时弹簧处于压缩状态，故BC错误；
D、开始AB静止，设弹簧压缩量为x0，则
kx0＝（mA+mB）gsinθ
代入数据解得x0＝0.2m
当加速度为0时，A的速度最大，当ABC一起加速运动位移为x时，对C受力分析有
mCg﹣T＝mCa
对AB受力分析有
T+F﹣（mA+mB）gsinθ＝（mA+mB）a
弹簧弹力大小为
F＝k（x0﹣x）
联立解得
代入数据联立解得a＝（2﹣20x）m/s2
当t1＝0时，加速度，当a2＝0时，位移x2＝0.1m，a﹣x图像如图所示，
由a﹣x图像与坐标轴围成的面积可计算物块A的最大速度，则最大速度大小为
代入数据解得，故D正确。
故选：D。
（2024 故城县校级开学）如图所示，两个质量相等可视为质点的小球a、b通过铰链用长为的刚性轻杆连接，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°。两根足够长的细杆M、N不接触（a、b球均可无碰撞通过O点），且两杆间的距离忽略不计，将两小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．a、b两球组成系统机械能不守恒
B．a球到达与b球等高位置时速度大小为
C．a球运动到最低点时，b球速度最大
D．a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力一直做负功
【解答】解：A．a球和b球所组成的系统只有重力做功，则机械能守恒，故A错误；
B．根据系统机械能守恒，可知a球到达与b球等高位置时，b球速度为零，有
解得
故B错误；
C．当a球运动到两杆的交点后再往下运动，此时b球到达两杆的交点处，a球的速度为0，b球的速度达到最大，有
解得
故C正确；
D．由于系统机械能守恒，a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力先做负功后做正功再做负功，故D错误。
故选：C。
（2024 寻甸县校级开学）如图所示，质量分别为m、2m的A、B小球固定在轻杆的两端，可绕水平轴O无摩擦转动。已知杆长为l，水平轴O在杆的中点，初始时A、B、O在同一A竖直线上。给B球一个水平向右的初速度，在杆绕轴O转过90°的过程中（ ）
A．小球A和B的重力势能变化量之和为
B．小球A和B的重力势能变化量之和为mgl
C．杆对小球A不做功，小球A的机械能守恒
D．A球和B球的总机械能减少
【解答】解：AB、在杆绕轴O转过90°的过程中，小球A的重力势能减小mgl，B的重力势能增加mgl，那么小球A和B的重力势能变化量之和为mgl，故A正确，B错误；
CD、A、B组成的系统在运动过程中，只有重力做功，系统机械能守恒，故A球和B球的总机械能保持不变。系统的重力势能增加了，则A、B的总动能减少，A、B两球的速率始终相等，故A、B的动能都减小，所以A球机械能减小，杆对A做负功，故CD错误。
故选：A。
（2024春 江北区校级月考）如图，将轻弹簧一端固定在O点，另一端与小球相连，现将小球拉到A点（弹簧处于自然长度）静止释放，让它自由下摆，不计空气阻力，小球从A点运动到的B点（O点正下方）的过程中，下列描述正确的是（ ）
A．弹簧对小球不做功 B．弹簧对小球做正功
C．小球机械能守恒 D．小球机械能减少
【解答】解：小球下摆到O点正下方过程中，弹簧伸长，小球做的不是圆周运动，故弹力与速度成钝角，弹簧弹力对小球做负功，所以小球机械能减少，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2024春 北碚区校级月考）如图所示，A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过轻质细线绕过轻质定滑轮相连，用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证弹簧、细线ab段和cd段均竖直。已知A、B的质量均为m，重力加速度g＝10m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后，C竖直向下运动，当A刚要离开地面时，B获得最大速度，此时C未落地，下列说法正确的（ ）
A．物体C的质量mC＝4m
B．物体A刚离开地面时，物体C的加速度为g
C．物体B的最大速度
D．从释放物体C到物体B获得最大速度的过程中，绳子拉力对物体C所做的功为
【解答】解：AB、当A刚要离开地面时，B获得最大速度，此时B、C的加速度均为0；
对A，由平衡条件有
F′弹＝kx′＝mg
此时B、C刚好合力均为0，则有
F′弹+mg＝T，T＝mCg
解得物体C的质量为：mC＝2m，故AB错误；
C、开始时整个系统处于静止状态，细线刚刚拉直但无拉力作用，对B，由平衡条件有
F弹＝kx＝mg
比较可知，x′＝x
则从静止释放到物体B的速度达到最大，初位置弹簧的压缩量等于末位置弹簧的伸长量，则弹性势能的变化为0，根据B、C及弹簧组成的系统机械能守恒得
联立解得物体B的最大速度为，故C错误；
D、从释放物体C到物体B获得最大速度的过程中，以C为研究对象，根据动能定理得
解得绳子拉力对物体C所做的功为，故D正确。
故选：D。
（2024秋 长安区月考）如图所示，倾角θ＝30°的足够长的光滑斜面甲的底端有一挡板，由轻质弹簧相连的处于斜面上的两物块A、B，质量均为m，物块B紧靠挡板放置。另一倾角a＝53°的足够长的粗糙斜面乙上静置着物块C（初始时被镇定），物块A、C之间由一跨过等高定滑轮的轻质细线相连，细线恰好伸直，且与A、C两物块相连的部分分别与甲、乙两斜面平行，现由静止释放物块C，当C运动到最低点时，B恰好离开挡板.已知物块C与斜面乙间的动摩擦因数μ，弹簧的劲度系数为k，弹簧的弹性势能Epkx2（x为弹簧的形变量），物块均可视为质点，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
（1）从释放C到B恰好离开挡板，弹簧弹性势能的变化量大小；
（2）物块C的质量mc；
（3）在此运动过程中，物块A的最大速度vm。
【解答】解：（1）开始时，对A根据平衡条件，有：kx1＝mgsinθ
B恰好离开挡板时，对B根据平衡条件，有：kx2＝mgsinθ
由此可知：x1＝x2
所以ΔEp＝0
（2）设C开始运动到C运动至最低点通过的距离为x，根据能量守恒定律得：mCgxsinα﹣mgxsinθ＝μmCgxcosα+ΔEp
代入数据解得：
（3）物体A的速度最大时，物块A、C均受力平衡，且二者的速度大小相等，设此时绳子拉力为T，弹簧弹力为F
根据平衡条件得：
对C，有mCgsinα＝μmcgcosα+T
对A，有T+F＝mgsinθ
连理解得：F＝0，表明此时弹簧处于原长。
从C开始运动到弹簧恢复到原长的过程中，根据能量守恒定律得：
解得：
（2024春 故城县校级期末）如图所示，将内壁光滑的细管弯成四分之三圆形的轨道（圆心为O）并竖直固定，轨道半径为R，细管内径远小于R。轻绳穿过细管连接小球A和重物B，小球A的质量为m，直径略小于细管内径，用手托住重物B使小球A静止在Q点（OQ与竖直直径的夹角为53°；松手后，小球A运动至P点（OP与竖直直径的夹角为37°时对细管恰无作用力。重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取π＝3.2，求：
（1）小球A静止在Q点时对细管壁的压力大小N；
（2）重物B的质量M。
【解答】解：（1）小球A静止在Q点时的受力图如下，N为轨道对小球的支持力，
根据平衡条件，在支持力N所在的方向上，有N＝mgcos53°，解得N＝0.6mg，根据牛顿第三定律可知，小球对细管壁的压力大小也为N＝0.6mg
（2）对小球A和重物B组成的系统，在小球A从Q点到P点的过程中，由机械能守恒有
对小球A在P点时，根据牛顿第二定律
联立解得M＝1.5m
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专题强化（9）机械能守恒定律的理解
掌握机械能守恒定律的相关模型与分析思路
知识点1 机械能守恒定律的判断
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变．
2．条件
只有重力或弹力做功．
3．判断方法
(1)用定义判断：若物体动能、势能均不变，则机械能不变．若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减少)，其机械能一定变化．
(2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒．
(3)用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒．
(4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失．
（2024秋 大连期中）如图，斜面倾角为θ，底部O点与光滑水平地面平滑相连，地面上一根轻弹簧左端固定，右端自然伸长。质量为m的小滑块从高度为h的斜面顶端由静止开始释放，滑块能滑上地面压缩弹簧。滑块通过O点前后速度大小不变，滑块与斜面的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度范围内。下列说法正确的是（ ）
A．μ的值可能大于tanθ
B．滑块在光滑地面上的运动过程中，机械能守恒
C．弹簧具有的最大弹性势能为
D．滑块与斜面因为摩擦产生的热量最多为Q＝mgh
（2024秋 重庆月考）近年来无人机在军事、工业等领域均有广泛的应用，一质量为m的无人机在执行远程侦察任务，某段时间内该无人机以速度v沿着与水平方向成θ角斜向上的方向匀速直线飞行，重力加速度为g，则（ ）
A．该无人机处于超重状态
B．该无人机在运动的过程中机械能守恒
C．空气对该无人机作用力的大小为mg
D．重力对无人机做功的瞬时功率为mgv
（2024春 岱岳区校级期末）在下面列举的各个实例中，不考虑空气阻力，叙述正确的是（ ）
A．甲图中跳水运动员在空中运动的过程中机械能守恒
B．乙图中物体在外力F作用下沿光滑斜面加速下滑的过程中机械能守恒
C．丙图中通过轻绳连接的物体A、B运动过程中A的机械能守恒
D．丁图中小球在光滑水平面上以一定的初速度压缩弹簧的过程中，小球的机械能守恒
知识点2 单物体的机械能守恒问题
机械能守恒的三种表达式
1．守恒观点
(1)表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E1＝E2.
(2)意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(3)注意：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面．
2．转化观点
(1)表达式：ΔEk＝－ΔEp.
(2)意义：系统的机械能守恒时，系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或增加)的势能．
3．转移观点
(1)表达式：ΔEA增＝ΔEB减．
(2)意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量．
（2024秋 常州月考）如图，质量为m＝1kg的小滑块（视为质点）在半径为R＝0.4m的四分之一圆弧A端由静止开始释放，它运动到B点时速度为v＝2m/s。当滑块经过B后立即将圆弧轨道撤去。滑块在光滑水平面上运动一段距离后，通过换向轨道由C点过渡到倾角为θ＝37°、长s＝1m的斜面CD上，CD之间铺了一层匀质特殊材料，其与滑块间的动摩擦因数可在0≤μ≤1.5之间调节。斜面底部D点与光滑地面平滑相连，地面上一根轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点。认为滑块在C、D两处换向时速度大小均不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力。
（1）求滑块对B点的压力大小以及在AB上克服阻力所做的功。
（2）若设置μ＝0，求弹簧的最大弹性势能。
（3）若滑块不会回到BC平面上且最终停在D点，求μ的取值范围。
（2024秋 沙河口区校级月考）如图所示，固定在同一竖直面内的倾角为θ的轨道AB和圆弧轨道BCD相切于B点，圆弧轨道的圆心为O，CD为竖直直径，BE连线过O点，一质量为m可视为质点的光滑小球从倾斜轨道上的P点由静止滑下，圆弧轨道的半径为r，PB间的距离为L，重力加速度大小为g。
（1）试论证小球从D点离开轨道后是否能直接落到BC间的轨道上；
（2）若倾角θ＝30°，则为何值时，小球从D点离开后会落到轨道AB上与O点等高处？
（3）若，为使小球能通过E点，θ应满足的条件（用三角函数表示）。
（2024秋 开福区校级月考）如图所示，光滑圆弧AB在竖直平面内，圆弧B处的切线水平。A、B两端的高度差为0.2m，B端高出水平地面0.8m，O点在B点的正下方。将一滑块从A端由静止释放，落在水平面上的C点处。g取10m/s2。
（1）求OC的长；
（2）在B端水平衔接一长为1.0m的木板MN，滑块从A端释放后正好运动到N端停止，求木板与滑块间的动摩擦因数；
（3）在（2）问的条件下，若将木板右端截去长为ΔL的一段，滑块从A端释放后将滑离木板落在水平面上P点处，要使落地点距O点的距离最远，ΔL应为多少？
知识点3 连接体的机械能守恒问题
1．如图所示的两物体组成的系统，当释放B而使A、B运动的过程中，A、B的速度均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程相等，则A、B的速率相等。
判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力作用。
2．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B在竖直平面内绕O点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A、B转过的角度相等，则A、B转动的角速度相等。
系统机械能守恒的特点
(1)一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。
(2)内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。
3．如图所示的两物体组成的系统，当释放后A、B运动的过程中，A、B的速度并非均沿绳子方向，在相等时间内A、B运动的路程不相等，则A、B的速度大小不相等，但二者在沿着绳子方向的分速度大小相等。
列系统机械能守恒的两种思路
(1)系统动能的减少(增加)等于重力势能的增加(减少)。
(2)一个物体机械能的减少等于另一个物体机械能的增加。
类型1 轻绳连接的物体系统
（多选）（2023 普宁市校级二模）如图所示，两个轻质滑轮用无弹性的轻质细绳连接起来，一个滑轮下方挂着重物A，另一个滑轮下方挂着重物B，悬挂滑轮的绳均竖直，重物B用手固定。松开手后，A、B两个重物同时运动。已知A、B质量均为m，重力加速度为g，忽略一切摩擦和空气阻力。当B的位移大小为h时（未着地），下列说法正确的是（ ）
A．重物A的重力势能增加了mgh
B．松开手瞬间，重物B的加速度大小为g
C．松开手瞬间，重物A的加速度大小为g
D．运动过程中重物B的动能是重物A的动能的4倍
（多选）（2023 绵阳模拟）如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直平面内，圆环的圆心O的正上方B点固定有一定滑轮，B点的左侧再固定有一定滑轮。质量为m的小球套在圆环上，轻质细线跨过两个定滑轮，一端连接小球，另一端连接质量为m的物块，用竖直向下的拉力F（未知）把小球控制在圆环上的A点，OA与竖直方向的夹角为53°，且AB正好沿圆环的切线方向，P点为圆环的最高点，不计一切摩擦，不计滑轮、小球以及物块的大小，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。下列说法正确的是（ ）
A．小球与物块静止时，竖直向下的拉力Fmg
B．撤去拉力F的瞬间，细线的拉力大小为mg
C．小球由A点运动到P点的过程中，物块的重力势能减少量为mgR
D．若小球在P点的速度大小为v，则物块的速度大小也为v
（多选）（2023 辽宁一模）如图所示，竖直固定的光滑细杆上穿着一个小球B，小球通过一根不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与质量为m的物块A相连，用手将物块A竖直向上托起至定滑轮左侧细绳与竖直方向的夹角为θ，现突然松手，物块A开始在竖直方向上做往复运动，小球最高能到达M点。已知定滑轮到细杆的距离为d，Q点和定滑轮的高度相同，OM⊥OP，sinθ＝0.6，重力加速度大小为g，定滑轮可看作质点，下列说法正确的是（ ）
A．小球经过Q点时的加速度为0
B．小球的质量为
C．绳中的最小张力为
D．该系统的最大总动能为
类型2 轻杆连接的物体系统
（多选）（2024春 九龙坡区校级期末）如图所示，滑块A、B的质量均为m，A套在固定倾斜直杆上，倾斜直杆与水平面成45°角，B套在固定水平直杆上，两直杆分离不接触，两直杆间的距离忽略不计且杆足够长，A、B通过铰链用长度为L的刚性轻杆（初始时轻杆与水平面成30°角）连接，A、B从静止释放，B沿水平面向右运动，不计一切摩擦，滑块A、B均视为质点，重力加速度大小为g，在运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．当A到达B所在水平面时
B．当A到达B所在水平面时，B的速度为
C．滑块B到达最右端时，A的速度为
D．滑块B的最大动能为
（多选）（2021秋 高新区校级月考）如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则（ ）
A．a落地前，轻杆对b先做正功后做负功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，某一时刻其加速度大小大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为0
如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量均为m的小球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速释放摆下．求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
类型3 含弹簧类机械能守恒问题
1．物体由于发生弹性形变而具有的能量叫做弹性势能．
2．发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生弹性形变的物体才具有弹性势能．
（多选）如图所示，倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，两个物体A、B通过细绳及轻弹簧连接于光滑定滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板。开始时用手按住质量为m的物体A，此时A与挡板的距离为s，滑轮两侧的细绳恰好伸直，且弹簧处于原长状态。松开手后，A在斜面上运动的过程中，弹簧形变不超过其弹性限度，B始终静止在水平面上。重力加速度为g，空气阻力不计。则下列说法正确的是（ ）
A．A和B组成的系统机械能守恒
B．若A恰好能到达挡板处，此时A的加速度为零
C．若A恰好能到达挡板处，此时弹簧的弹性势能EP＝0.5mgs
D．若A恰好能到达挡板处，当A的速度最大时，弹簧的弹力F＝0.5mg
（多选）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上．现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行．已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态．释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面．下列说法正确的是（ ）
A．斜面倾角α＝30°
B．A获得最大速度为2g
C．C刚离开地面时，B的加速度为g
D．从释放A到C刚离开地面这两个状态，A、B两小球组成的系统机械能守恒
（多选）（2024秋 海淀区校级月考）如图甲所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地面上，一质量为m的小球，从离弹簧上端高h处由静止释放。某同学在研究小球落到弹簧上后继续向下运动到最低点的过程，他以小球开始下落的位置为原点，沿竖直向下方向建立坐标轴Ox，做出小球所受弹力F大小随小球下落的位置坐标x的变化关系如图乙所示，不计空气阻力，重力加速度为g。以下判断正确的是（ ）
A．当x＝h+x0时，重力势能与弹性势能之和最小
B．小球在最低点的加速度一定大于g
C．小球动能的最大值为
D．当x＝h+2x0时，小球的重力势能最小
（2024秋 朝阳区校级月考）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A处由静止开始下滑，经过B处时速度最大，到达C处时速度为零，AC＝h。若圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A处；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则圆环（ ）
A．下滑过程中，加速度一直减小
B．下滑过程中，克服摩擦力做功为
C．在C处时，弹簧的弹性势能为
D．上滑经过B的速度大小等于下滑经过B的速度大小
（2024秋 东莞市校级月考）2023年9月21日，莞外高三年级篮球比赛决赛开打，一同学第一次跳投出手，篮球的初速度方向与竖直方向的夹角α＝60°；第二次不起跳出手，篮球的初速度方向与竖直方向的夹角β＝30°；两次出手的位置在同一竖直线上，结果两次篮球正好垂直撞击到篮板同一位置点。不计空气阻力，则从篮球出手到运动到点C的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．运动时间的比值为1：3
B．上升的最大高度的比值为
C．两次出手时篮球的初动能相等
D．两次投篮，篮球在C点的机械能相等
（2024秋 如皋市月考）如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，一小球由弹簧的正上方自由下落，不计空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内.小球向下运动的整个过程中，小球重力的瞬时功率P、弹簧的弹性势能Ep与位移x的关系图像正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2024春 建邺区校级期末）劲度系数k＝100N/m的轻弹簧一端固定在倾角θ＝30°的固定光滑斜面的底部，另一端和质量mA＝2kg的小物块A相连，质量mB＝2kg的小物块B紧靠A静止在斜面上，轻质细线一端连在物块B上，另一端跨过定滑轮与质量mC＝1kg的物体C相连，对C施加外力，使C处于静止状态，细线刚好伸直，且线中没有张力，如图甲所示。从某时刻开始，撤掉外力，使C竖直向下运动，取g＝10m/s2，以下说法中正确的是（ ）
A．撤掉外力瞬间，A的加速度为2.5m/s2
B．当A、B恰好分离时，A的加速度为2.5m/s2
C．当A、B恰好分离时，弹簧恢复原长
D．A运动过程中的最大速度为
（2024 故城县校级开学）如图所示，两个质量相等可视为质点的小球a、b通过铰链用长为的刚性轻杆连接，a球套在竖直杆M上，b球套在水平杆N上，最初刚性轻杆与细杆M的夹角为45°。两根足够长的细杆M、N不接触（a、b球均可无碰撞通过O点），且两杆间的距离忽略不计，将两小球从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，重力加速度为g。下列说法中正确的是（ ）
A．a、b两球组成系统机械能不守恒
B．a球到达与b球等高位置时速度大小为
C．a球运动到最低点时，b球速度最大
D．a球从初位置下降到最低点的过程中，刚性轻杆对a球的弹力一直做负功
（2024 寻甸县校级开学）如图所示，质量分别为m、2m的A、B小球固定在轻杆的两端，可绕水平轴O无摩擦转动。已知杆长为l，水平轴O在杆的中点，初始时A、B、O在同一A竖直线上。给B球一个水平向右的初速度，在杆绕轴O转过90°的过程中（ ）
A．小球A和B的重力势能变化量之和为
B．小球A和B的重力势能变化量之和为mgl
C．杆对小球A不做功，小球A的机械能守恒
D．A球和B球的总机械能减少
（2024春 江北区校级月考）如图，将轻弹簧一端固定在O点，另一端与小球相连，现将小球拉到A点（弹簧处于自然长度）静止释放，让它自由下摆，不计空气阻力，小球从A点运动到的B点（O点正下方）的过程中，下列描述正确的是（ ）
A．弹簧对小球不做功 B．弹簧对小球做正功
C．小球机械能守恒 D．小球机械能减少
（2024春 北碚区校级月考）如图所示，A、B两物体通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B、C两物体通过轻质细线绕过轻质定滑轮相连，用手拿住C，使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证弹簧、细线ab段和cd段均竖直。已知A、B的质量均为m，重力加速度g＝10m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放C后，C竖直向下运动，当A刚要离开地面时，B获得最大速度，此时C未落地，下列说法正确的（ ）
A．物体C的质量mC＝4m
B．物体A刚离开地面时，物体C的加速度为g
C．物体B的最大速度
D．从释放物体C到物体B获得最大速度的过程中，绳子拉力对物体C所做的功为
（2024秋 长安区月考）如图所示，倾角θ＝30°的足够长的光滑斜面甲的底端有一挡板，由轻质弹簧相连的处于斜面上的两物块A、B，质量均为m，物块B紧靠挡板放置。另一倾角a＝53°的足够长的粗糙斜面乙上静置着物块C（初始时被镇定），物块A、C之间由一跨过等高定滑轮的轻质细线相连，细线恰好伸直，且与A、C两物块相连的部分分别与甲、乙两斜面平行，现由静止释放物块C，当C运动到最低点时，B恰好离开挡板.已知物块C与斜面乙间的动摩擦因数μ，弹簧的劲度系数为k，弹簧的弹性势能Epkx2（x为弹簧的形变量），物块均可视为质点，重力加速度为g，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
（1）从释放C到B恰好离开挡板，弹簧弹性势能的变化量大小；
（2）物块C的质量mc；
（3）在此运动过程中，物块A的最大速度vm。
（2024春 故城县校级期末）如图所示，将内壁光滑的细管弯成四分之三圆形的轨道（圆心为O）并竖直固定，轨道半径为R，细管内径远小于R。轻绳穿过细管连接小球A和重物B，小球A的质量为m，直径略小于细管内径，用手托住重物B使小球A静止在Q点（OQ与竖直直径的夹角为53°；松手后，小球A运动至P点（OP与竖直直径的夹角为37°时对细管恰无作用力。重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，取π＝3.2，求：
（1）小球A静止在Q点时对细管壁的压力大小N；
（2）重物B的质量M。
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