2024-2025学年江苏省南京九中、十三中高二（上）第一次调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省南京九中、十三中高二（上）第一次调研
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知一组数据：，，，，的平均数为，则该组数据的分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知三个单位向量，，满足，则向量，的夹角为( )
A. B. C. D.
4.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知两直线和的交点为，则过，两点的直线方程为( )
A. B. C. D.
6.设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围( )
A. B. C. D.
7.在三棱柱中，平面，，，是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是( )
A. B. C. D.
8.已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于，两点已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为两个随机事件，以下命题正确的是( )
A. 若与对立，则
B. 若与互斥，，则
C. 若，且，则与相互独立
D. 若与相互独立，，则
10.已知点，在圆：上，点在直线：上，则( )
A. 直线与圆相离
B. 当时，的最小值是
C. 当、为圆的两条切线时，为定值
D. 当、为圆的两条切线时，直线过定点
11.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它藴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线：就是一条形状优美的曲线，则( )
A. 曲线上两点间距离的最大值为
B. 若点在曲线内部不含边界，则
C. 若曲线与直线有公共点，则
D. 若曲线与圆有公共点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ______．
13.若直线和直线将圆的周长四等分，则 ______．
14.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：已知点在圆：上，点在直线：上，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：，点和点分别是直线，上一动点．
若直线经过原点，且，求直线的方程；
设线段的中点为，求点到原点的最短距离．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，
求；
若，且的面积为，求的周长．
17.本小题分
在四棱锥中，平面平面，，，，，．
证明：；
若为等边三角形，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于另一点，与轴交于另一点．
求证：为定值．
设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．
在的条件下，设，分别是直线：和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标．
19.本小题分
已知圆：与直线交于、两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为．
Ⅰ求的值及的面积；
Ⅱ若圆与轴交于、两点，点是圆上异于、的任意一点，直线、分别交：于、两点当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得：，：平行，
故两直线的距离为，
所以和两直线垂直，
因为、的斜率为，
所以，
所以直线的方程为；
因为、互相平行，所以线段的中点的轨迹为，即，
所以点到原点的最短距离即点到直线的距离，
因为点到直线的距离为，
所以点到原点的最短距离为．
16.解：在中，由及正弦定理，
得，而，
则，即，
化简得，又，
所以；
由及三角形面积公式，
得，解得，
由余弦定理，得，
所以的周长为．
17.证明：，，，，
又，，则．
平面平面，且平面平面，平面，
平面，可得；
解：在面内过点作，
平面平面，且平面平面，
平面，
已知，
由知平面，根据线面垂直的性质有，
在中，，而，
则．
设点到平面的距离为，
由得，，解得．
点到平面的距离为．
18.证明：由题意可得：圆的方程为：，
可化为：，与坐标轴的交点分别为：，
，为定值．
解：，原点在线段的垂直平分线上，
设线段的中点为，则，，三点共线，
的斜率，，解得，
，，
可得圆心，
圆的方程为：．
解：由可知：圆心，半径，
点关于直线的对称点为，
则，
又点到圆上点的最短距离为，
则的最小值为．
直线的方程为：，此时点为直线与直线的交点．
故所求的点
19.解：Ⅰ由题知：直线方程为，
则由，得到，即，
点为线段的中点，，
，，
到直线距离为．
，
又：到直线的距离为，边上的高为．
；
Ⅱ不妨设直线的方程为，其中，
在直线的方程中，令，可得，
因为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
线段的中点为，半径平方为，
所以以线段为直径的圆的方程为，
即，
由，解得，
因此，当点变化时，以为直径的圆恒过圆内的定点．
第1页，共1页