2024-2025学年上海市奉贤中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年上海市奉贤中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个不透明袋子中装有大小和质地完全相同的个红球和个白球，从袋中不放回地依次随机摸出个球．则下列事件中互斥而不对立的是( )
A. “第一次摸到红球”与“第二次摸到红球”
B. “至少摸到一次红球”与“至少摸到一次白球”
C. “两次都摸到红球”与“两次都摸到白球”
D. “两次都摸到红球”与“至少摸到一次白球”
2.某城市新修建的一条道路上有个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有( )
A. B. C. D.
3.在空间，已知直线及不在上两个不重合的点、，过直线做平面，使得点、到平面的距离相等，则这样的平面的个数不可能是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无数个
4.如图，从开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或向上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从移动到：就是一条移动路线从移动到数字的不同路线条数记为，从移动到的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是( )
，，，．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.若，则 ______．
6.的展开式中只有第六项的系数最大，则 ______．
7.已知圆锥的底面半径为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为______．
8.的展开式中，系数最小的项为第______项
9.正整数有______个不同的正约数．
10.展会期间，要安排位志愿者到个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排个人，剩下两个展区各安排个人，不同的安排方案共有______种
11.已知长为的线段的两个端点到平面的距离分别为和，则直线与平面的所成角大小为______．
12.的展开式中项的系数为 ．
13.如图所示，在平行四边形中，，，将它沿对角线折起，使二面角的大小为，则点与点之间的距离为______；
14.九官格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如表所示，小明需要在个小格子中填上至中不重复的整数，小明通过推理已经得到了个小格子中的准确数字，，，，，这个数字未知，且，为奇数，则的概率为______．
15.若集合，，，满足，，都是的子集，且，，均只有一个元素，且，称为的一个“有序子集列”若有个元素，则有______个“有序子集列”．
16.从，，，中任取两个数，可以相同，则的个位数是的概率为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式；
解方程．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点是线段上任意一点．
求证：；
当长为多少时，与平面所成角的大小为．
19.本小题分
某电视台举办“读经典”知识挑战赛．初赛环节，每位选手先从，，三类问题中选择一类，该类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续回答．再次选择的一类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰．已知选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，能正确回答类问题的概率为，每题是否回答正确与回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立．
Ⅰ已知选手甲先选择类问题且回答正确，接下来他按照，的顺序对各类问题继续回答，求他能取得复赛资格的概率；
Ⅱ由于选手甲能正确回答，两类问题的概率均为，故可将回答顺序和顺序视为同一个顺序；为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由．
20.本小题分
已知为正整数的二项展开式．
若，求展开式中所有项的系数之和；
若，求展开式中的无理项的个数；
若，求展开式中系数最大的项．
21.本小题分
从数据组：中取出是自然数，且个不同的数构成一个新数据组：若对任意的，存在，，，，使得，，，则称数据组为数据组的一个维基本数据库．
判断数据组：是否为数据组：的一个维基本数据库；
若数据组：是数据组：的一个维基本数据库，请求出的最大值，并写出此时的维基本数据库．
若数据组是数据组的一个维基本数据库，求证：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：首先由组合的性质可得：且，解可得；
原不等式可化为；
化简可得：；
解可得；
又由的范围，
所以或．
不等式的解集为；
由题意可得，
，
即，
或舍去，
即方程的解集为．
18.证明：连接，四边形为正方形，
，
又平面，平面，
．
，平面．
又平面，．
解：设，平面，
与平面所成角为．
在中，由，解得
当时，与平面所成角的大小为．
19.解：分两类，第一类是回答正确，概率；第二类回答错误，且回答正确两道，概率，
所以取得复赛资格的概率为：．
根据的不同位置分为三类：，，．
若按照顺序回答，则取得复赛资格的概率为：，
若按照顺序回答，则取得复赛资格的概率为：，
若按照顺序回答，则取得复赛资格的概率为：，
可得，
故按顺序回答问题取得复赛资格的概率最大．
20.解：由可得，
令可得，
所以展开式中所有项的系数之和为；
若，则，解得，或舍去，
设的通项为，，
所以当，，，，时可得展开式中的无理项，所以共有个无理项；
设的通项为，
且，
则，解得，，，
所以展开式中系数最大的项为和．
21.解：因为，，，
，，
所以数据组：是数据组：的一个维基本数据库；
不妨设，，，
则，组成的数据的个数最多有：，，
，，，，共个，
所以，
当时，因为是，组成的数据中最大的项，且必存在，
所以有，则，
而，组成的数据中最小的项可能为或，
若，则由无法得到这一项，不满足题意；
若，则，
此时，，，
，，，
所以：是数据组：的一个维基本数据库，满足题意；
所以的最大值为，此时的维基本数据库：．
证明：不妨设，
则形如的正整数共有个；
形如的正整数共有个；
形如，的正整数至多有个；
形如的正整数至多有个；
又数据组：含个不同的正整数，数据组是数据组的一个维基本数据库，
故，化简得．
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