2024-2025学年北京三十五中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京三十五中高二（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
2.下列说法正确的是( )
A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B. 空间的基底有且仅有一个
C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D. 任一个向量在基底下的分解式与在基底下的分解式相同
3.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D. 与 相交
4.如图，已知斜三棱柱，设分别为与的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知空间三点，，共线，则和的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的所有棱长都是，点是的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
9.在棱长为的正方体，中，，分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，设点为的中点，则点到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
10.在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是( )
A. 点可以是棱的中点
B. 线段的最大值为
C. 点的轨迹是正方形
D. 点轨迹的长度为
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知点，则该点关于平面的对称点坐标为______．
12.若，则 ______，若与互相垂直，则实数 ______．
13.如图，在长方体中，设，，则______，______．
14.已知正三棱锥底面边长为，侧棱长为，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为______．
15.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，平面与平面 填“垂直”或“不垂直”；的面积的最大值为 ．
16.如图，正方形和矩形所在的平面互相垂直点在正方形及其内部运动，点在矩形及其内部运动设，，给出下列四个结论：
存在点，，使；
存在点，，使；
到直线和的距离相等的点有无数个；
若，则四面体体积的最大值为；
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，．
Ⅰ设点为上任意一点，求证：；
Ⅱ求直线和平面所成角的正弦值；
Ⅲ求二面角的余弦值．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上的一点．
Ⅰ求证：面；
Ⅱ求直线与直线所成角的余弦值；
Ⅲ若直线与平面所成角为，求点到平面的距离．
19.本小题分
设为正整数，若满足：
，，，，；
对于，均有；
则称具有性质．
对于和，定义集合，，，，．
Ⅰ设，若具有性质，写出一个及相应的；
Ⅱ设，请写出一个具有性质的，满足，，，，；
Ⅲ设，是否存在具有性质的，使得，，，，，，？若存在，判断满足条件的个数的奇偶；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.垂直

16.
17.解：Ⅰ证明：因为平面，平面，
所以，又因为，，，平面，
所以平面，点为上任意一点，
则平面，
所以．
Ⅱ因为平面，，
故以方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
设直线和平面所成角为，
则；
Ⅲ易知为平面的法向量，
则，
因为二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
18.Ⅰ证明：连接，由三棱柱性质可得平面平面，
又平面，故B平面；
Ⅱ解：因为平面，，平面，
所以，，而，
故AB，，两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
连接，则，，
由，故BC，
故直线与直线所成角的余弦值为；
Ⅲ解：设，，则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，
因为，
所以点到平面的距离为．
19.解：Ⅰ根据题意，令，即，，，
则根据题意可得，，则相应的一个；
Ⅱ当，，，，，，所以中的或者，
不妨设，接下来，，可能或，不妨取，中的剩余数，，可以分别对应，，，如此不唯一；
不存在
证明：不妨设，，并将其看做数列，
假设，，，，，，成立，集合中有个奇数，个偶数，设数列中有个奇数与有序数组中个偶数对应作差的绝对值，设数列中有个偶数与有序数组中个奇数对应作差的绝对值，共得到，则中剩余个奇数，个奇数，中剩余个偶数，个奇数，
要对应作差的绝对值恰好为个偶数，则，的剩余数中奇数与奇数相配对，偶数与偶数相配对，故，，即，但与相矛盾，故满足条件的不存在．
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