2024-2025学年吉林省长春市第二实验中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市第二实验中学高一（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则集合的真子集个数为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，，则
4.已知关于的不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是( )
A. B. 或
C. 或 D.
5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
6.一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
7.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
8.若，则下列结论中正确结论的个数为( )
；；若，，则；若，且，则；存在且，满足．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数中，与表示同一函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10.已知函数，下列关于函数的结论正确的是( )
A. 的定义域是 B. 的值域是
C. 若，则 D. 的图象与直线有一个交点
11.已知，为正实数，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.已知，，，则的取值范围为______．
14.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
若中没有元素，求实数的取值集合；
若中只有一个元素，求实数的取值集合．
16.本小题分
设集合，，．
当时，求，及；
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
二次函数满足且．
求的解析式；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，．
若时，当时，求的最小值；
求关于的不等式的解集．
19.本小题分
已知二次函数，．
若在的最大值为，求实数的值；
若，当时，对，，使得，求正实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：对于方程，若，则，不合题意，故，
集合中没有元素，则，即，
所以实数的取值集合为；
对于方程，
若，则，符合题意；
若，中只有一个元素，即，即，
故的取值集合为．
16.解：当时，，故或，
而，
故A，，或；
由“”是“”的充分不必要条件，可得，
故当时，，可得，符合题意；
当时，需满足，解得，
综上可得，的取值范围为或
17.解：由题意，设，
则．
从而，，
又，
即，
又，
．
由及，
令，，
则当时，为减函数，
当时，，
从而要使不等式恒成立，则．
故得实数的取值范围是．
18.解：若时，．
，．
．
当且仅当，即时等号成立．
故的最小值为．
由题意，
当时，．
则不等式的解集为：．
当时，令，解得，．
当时，．
解不等式，得．
当时，．
不等式的解集为．
当且时，由基本不等式得，．
解不等式，得，或．
综上所述，可得：
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为；
当且时，不等式的解集为，或
19.解：，图象开口向下，对称轴为，
当，即时，则时有最大值，所以，
当时，即时，则时有最大值，则，
又，
所以都不成立，
当，即时，时有最小值，
所以，
综上所述：或；
当时，，对称轴为，且，，
对任意的，，
时，在上单调递增，
又，，则，
若对任意的，总存在，使成立，
所以，
所以，解得，
所以正实数的取值范围是．
第1页，共1页