(共25张PPT)
第二章 二次函数
4 二次函数的应用
第1课时 利用二次函数解决以最大面积
为代表的实际问题
利用二次函数解决最值问题的思路
（1）理解题意，分析各量之间的关系；
（2）列函数关系式；
（3）利用函数性质求最大值或最小值；
（4）检验结果是否符合题意.
例：如图，在矩形ABCD中，AB＝16 cm，AD＝
4 cm，点P从点A出发，沿AB方向以2 cm/s的速度匀速
运动到点B，同时，点Q从点B出发沿BC方向以1 cm/s
的速度匀速运动到点C，当其中一点到达终点时，另一
点也随之停止运动.设运动时间为x s，△PBQ的面积为
y cm2.求△PBQ的面积的最大值，并指出此时x的值.
根据题意填空：
BC＝AD＝ cm，AP＝ cm，BQ
＝ cm，则PB＝AB－AP＝ cm.
∴y＝ ＝ ，自变量x的
取值范围为 ，
∴当x＝ 时，△PBQ的面积有最大值，最大值
为 .
4
2x
x
（16－2x）
x（16－2x）
－x2＋8x
0＜x≤4
4
16
题型一 实际问题中的面积问题
某农场拟建一间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有
墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总
长为50 m.设饲养室的长为x（m），占地面积为y
（m2）.
图1
（1）如图1，请问饲养室的长x为多少时，占地面积y
最大？
解：（1）由题意，得
y＝x· ＝－ （x－25）2＋
（0＜x＜50）.∵－ ＜0，
∴当x＝25时，y有最大值，
即当饲养室的长为25 m时，占地面积最大.
图1
（2）如图2，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且
仍使饲养室的占地面积最大.小敏说：“只要饲养室的
长比（1）中的长多2 m就行了.”请你通过计算，判断
小敏的说法是否正确？
图2
图2
解：（2）由题意，得
y＝x· ＝－ （x－26）2＋338
（2＜x＜52）.∵－ ＜0，
∴当x＝26时，y有最大值，即当饲养
室的长为26 m时，占地面积最大.
∵26－25＝1（m）≠2 m，
即只要饲养室的长比（1）中的长多1 m，
∴小敏的说法不正确.
[方法总结]（1）在几何图形中建立函数关系式的方法常
见的有两类：一是常用公式，如周长公式、面积公式；
二是图形的有关性质，如勾股定理、三角形相似.如果
建立的函数是二次函数，可以运用二次函数的性质求最
值；（2）本题中x是有取值范围的，不要忽略.
跟踪训练
1. 如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化
示意图，该矩形的长、宽分别为5 cm，
3 cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板.设
挡板的宽度为x cm，小球滚动的区域（空
白区域）面积为y cm2，则y关于x的函数关
系式为 .（化简为一般式）
（第1题）
y＝x2－8x＋15
2. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充
分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙
（墙的长度为10 m），另外三面用栅栏围
成，中间再用栅栏把它分成两个面积比为
1∶2的矩形.已知栅栏的总长度为24 m，设较
小矩形的宽为x m（如图）.
（1）若矩形养殖场的总面积为36 m2，求此时x的值；
（第2题）
解：（1）根据题意，得较大矩形的宽为2x
m，长为 ＝（8－x）m，
∴（x＋2x）（8－x）＝36.
解得x＝2或x＝6.
∵墙的长度为10 m，∴0＜x≤ .
∴x＝2.
答：此时x的值为2.
（第2题）
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值
为多少？
解：（2）设矩形养殖场的总面积为y m2.
根据题意，得y＝（x＋2x）（8－x）＝
－3x2＋24x＝－3（x－4）2＋48.
（第2题）
∵－3＜0，抛物线的对称轴为直线x＝4.
∴当0＜x≤ 时，y随x的增大而增大，
∴当x＝ 时，y取最大值，最大值为
－3× ＋48＝ （m2）.
答：当x＝ 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为
m2.
（第2题）
题型二 动态几何中的面积问题
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC
＝6.若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A，运动
速度为每秒2个单位长度，点D不与端点A重合.过点D
作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，
AE的长为y.
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取
值范围；
解：（1）∵DE∥BC，∴ ＝ .
又∵AD＝8－2x，AB＝8，AE＝y，AC＝6，
∴ ＝ ，即y＝－ x＋6.
由解得0≤x＜4.
∴y＝－ x＋6（0≤x＜4）.
（2）求出△BDE的面积S与x之间的函数关系式；
解：（2）S＝ BD·AE＝ ·2x·y
＝ ·2x· ＝－ x2＋6x.
（3）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值
为多少？
解：（3）∵S＝－ x2＋6x＝－ （x－
2）2＋6，
－ ＜0，0≤x＜4，
∴当x＝2时，S有最大值，最大值为6.
跟踪训练
3. 如图，正方形ABCD的边长为4，E，F，G，H分
别是边AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝
CG＝DH，则四边形EFGH的面积的最小值为 .
（第3题）
8
4. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c（b，c是常数）的顶点
为C，与x轴交于A，B两点，且点A（1，0），AB＝
4，点P为线段AB上的动点（不与A，B重合），过点
P作PQ∥BC交AC于点Q.
（1）求该抛物线的解析式；
（第4题）
解：（1）∵点A（1，0），AB＝4，
∴点B的坐标为（－3，0）.
将点A（1，0），B（－3，0）代入函数
解析式中，
得解得
∴该抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
（第4题）
（第4题）
（2）求△CPQ的面积的最大值，并求出此时点P的坐
标.
解：（2）∵y＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，
∴点C（－1，－4）.
由点B（－3，0），C（－1，－4），
可求得直线BC的解析式为y＝－2x－6.
由点A（1，0），C（－1，－4），
可求得直线AC的解析式为y＝2x－2.
∵PQ∥BC，
∴设直线PQ的解析式为y＝－2x＋n，
∴P .
联立解得
（第4题）
∴点Q .
∵点P在线段AB上，∴－3＜ ＜1，
∴－6＜n＜2，
则S△CPQ＝S△BPQ＝ × ×
＝－ （n＋2）2＋2.
∵－ ＜0，－6＜n＜2，
（第4题）
∴当n＝－2时，S△CPQ最大，最大值为2，此时点P的坐标为（－1，0）.
（第4题）(共19张PPT)
第二章 二次函数
5 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系
一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0
（a≠0） 二次函数y＝ax2＋bx＋c
（a≠0）
b2－
4ac
＞0 有
实数根 抛物线与x轴有 交
点，交点的 是一
元二次方程ax2＋bx＋c＝0
的两个根x1与x2
两个不相等
的
两个
横坐标
一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0
（a≠0） 二次函数y＝ax2＋bx＋c
（a≠0）
b2－
4ac
＝0 有
实数根 抛物线与x轴有且只有
交点（顶点）（即顶点
在x轴上）
两个相等的
一
个
一元二次方程ax2
＋bx＋c＝0
（a≠0） 二次函数y＝ax2＋bx＋c
（a≠0）
b2－
4ac
＜0 抛物线与x轴 交点
无实数根
没有
注意：（1）抛物线与一元二次方程是有密切联系的，
方程ax2＋bx＋c＝0的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c与
x轴的交点的横坐标，即若一元二次方程ax2＋bx＋c＝
0的两个根是x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的
两个交点坐标分别是（x1，0），（x2，0）.
（2）若抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝kx＋m有交
点，则交点坐标就是方程组的解.反
之，若方程组有实数解，则两函数y
＝ax2＋bx＋c，y＝kx＋m的图象有交点；若无实数
解，则没有交点.
题型一 二次函数与一元二次方程的关系
如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，
根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个
实数根；
（2）写出y的值随x的值的增大而减小
时自变量x的取值范围；
（3）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，
求k的取值范围.
[分析] （1）根据函数与方程的关系，函数图象与x轴
的两个交点的横坐标即为方程ax2＋bx＋c＝0的两个
实数根；
解：（1）由图象可知，方程的两个实数
根为x1＝1，x2＝3.
（2）根据函数图象可知，在对称轴的右侧，y的值随x
的值的增大而减小，找到函数的对称轴即可得到x的取
值范围；
解：（2）由图象可知，当x＞2时，
y的值随x的值的增大而减小.
（3）方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，即
函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y＝k有两个交
点，据此即可直接写出k的取值范围.
解：（3）由图象可知，k的取值范围
是k＜2.
跟踪训练
1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c为常
数）的图象如图所示，则方程ax2＋bx＋c＝m有实数
根的条件是（ A ）
A. m≥－4 B. m≥0
C. m≥5 D. m≥6
（第1题）
A
2. （1）若二次函数y＝－x2＋2x＋k的图象与x轴有两
个交点，则k的取值范围是 ；
（2）若关于x的函数y＝kx2＋2x－ 与x轴仅有一个
交点，则实数k的值为 ；
（3）若二次函数y＝mx2＋（m－2）x＋m的顶点在x
轴上，则m＝ ；
k＞－1
0或－
－2或
（4）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部
分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A
（3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解
集是 .
[第2（4）题]
－1＜x＜3
题型二 抛物线与一次函数图象的交点
如图，直线y＝－2x＋8与x轴交于点A，与y轴交
于点B，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A和点B.
（1）求抛物线的表达式；
解：（1）把x＝0代入y＝－2x＋8，得y＝8，
∴点B的坐标为（0，8）.
把y＝0代入y＝－2x＋8，得0＝－2x＋8，
解得x＝4，∴点A的坐标为（4，0）.
将（0，8），（4，0）代入y＝x2＋bx＋c
中，得解得
∴抛物线的表达式为y＝x2－6x＋8.
（2）结合图象直接写出不等式x2＋bx＋c＞－2x＋8的
解集；
解：（2）由图象可得，不等式x2＋bx＋c＞
－2x＋8的解集为x＜0或x＞4.
（3）若点C（1，y1），D（m，y2）都在抛物线上，
当y2＞y1时，求m的取值范围.
解：（3）∵y＝x2－6x＋8，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝3.
∴点C（1，y1）关于对称轴的对称点C'的坐
标为（5，y1）.
∵抛物线开口向上，
∴当y2＞y1时，m＜1或m＞5.
跟踪训练
3. 如图，直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c交于
A（－1，p），B（5，q）两点，则关于x的不等式
mx＋n＜ax2＋bx＋c解集是 .
（第3题）
－1＜x＜5
4. 已知二次函数y＝－x2＋x＋6及一
次函数y＝2x－m，将该二次函数在
x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下
方，图象的其余部分不变，得到一个
新函数的图象（如图所示），当直线
y＝2x－m与新函数图象有4个交点
时，m的取值范围是 .
6＜ m＜
（第4题）(共31张PPT)
第二章 二次函数
4 二次函数的应用
第2课时 利用二次函数解决以最大利润
为代表的实际问题
常用等量关系
（1）增长后的量＝增长前的量·（
）.
（2）利润＝售价－ .
（3）销售利润＝销售总额－ ＝每件利润
× .
（4）对于一些函数应用题常常还要结合自变量的取值
范围，以此确定在这个范围内的最值，有时最值不一定
在顶点处取得.
1＋增长
率
进价
总成本
销售量
注意：解决有关最值问题的应用题的思路与一般应用题
类似，但也有不同，主要有两点：
（1）在设未知数方面，在“当某某为何值时，什么最
大（或最小、最省）”的设问中，“某某”要设为自变
量，“什么”要设为函数.
（2）在问题的求解方面，问题的求解一般依靠配方法
或最值公式，而不是解方程.
例：某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在
销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件的售价
x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x
为整数）.当每件消毒用品的售价为9元时，每天的销售
量为105件；当每件消毒用品的售价为11元时，每天的
销售量为95件.
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）设该商店销售这种消毒用品每天获利w元，当每
件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？
最大利润是多少元？
解：（1）设每天的销售量y（件）与每件售价x（元）
的函数表达式为 .
由题意可知此一次函数图象经过点
， .
y＝kx＋b
（ 9，
105）
（11，95）
解：∴解得
∴y与x之间的函数表达式为 .
y＝－5x＋150
（2）由题意可知，每件消毒用品的利润为
元，销售量为 件.
∴总利润w＝ ，
即w＝－5（ ）2＋ .
∵－5＜0，x的取值范围为
，
∴当x＝ 时，w有最大值为 .
（x－
8）
（－5x＋150）
（x－8）（－5x＋150）
x－19
605
8≤x≤15，且x为整
数
15
525
题型一 利用二次函数解决最大利润问题
为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了
“千亩桃园”.今年该村桃子丰收，销售前对本地市场
进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12
吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨.据测算，每吨
平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村
产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5
千元.请解答以下问题：
（1）求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的
函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
解：（1）根据题意，得
y＝12－2（x－4）＝－2x＋20（4≤x≤5.5）.
（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大
利润是多少？
解：（2）设每天获得的利润为w千元.
根据题意，得w＝（－2x＋20）（x－2）＝－2x2＋
24x－40＝－2（x－6）2＋32.
∵－2＜0，4≤x≤5.5，
∴当x＝5.5时，w有最大值，最大值为－2×（5.5－
6）2＋32＝31.5.
∴将批发价定为5.5千元/吨时，每天获得的利润最大，
最大利润是31.5千元.
跟踪训练
1. （2024·成都石室）电商平台销售某款儿童组装玩
具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周该款
玩具的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足
一次函数关系y＝－2x＋320（其中100≤x≤120，且x
为整数），则电商平台每周销售这款玩具所获的最大利
润是 元.
1 600
2. （2024·南充）2024年“五一”假期期间，阆中古城
景区某特产店销售A，B两类特产.A类特产的进价为50
元/件，B类特产的进价为60元/件.已知购买1件A类特
产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类
特产需540元.
（1）求A类特产和B类特产的售价各是多少元/件？
解：（1）设A类特产的售价为x元/件，则B类特产的
售价为（132－x）元/件.
由题意，得3x＋5（132－x）＝540，解得x＝60.
∴132－x＝72.
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为
72元/件.
（2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.
市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每
件售价不低于进价）.设每件A类特产降价x元，每天的
销售量为y件，直接写出y与x的函数关系式，并写出自
变量x的取值范围；
解：（2）y＝10x＋60（0≤x≤10）.
（3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天
只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类
特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出
每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是
多少元？（利润＝售价－进价）
解：（3）由题意，得
w＝（60－50－x）（10x＋60）＋100×（72－60）
＝－10x2＋40x＋1 800＝－10（x－2）2＋1 840.
∵－10＜0，0≤x≤10，
∴当x＝2时，w有最大值1 840.
∴每件A类特产降价2元时总利润w最大，最大利润为
1 840元.
题型二 与图象表格信息有关的问题
某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园
产量.如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受
光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低.根据经
验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为
75 kg.在确保每棵果树的平均产量不低于40 kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵
果树的平均产量为y kg，它们之间的函数关系满足如图
所示的图象.
（1）图中点P所表示的实际意义是
，每增种1棵
果树时，每棵果树的平均产量减少 kg；
增种果树28棵
时，该果园每棵果树的平均产量为66 kg
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x
的取值范围；
解：（2）设y与x之间的函数关系式为
y＝kx＋b.
把点（28，66），（10，75）代入，得
解得∴y＝－ x＋80.
当y＝40时，x＝80.
∴0≤x≤80，
∴y＝－ x＋80（0≤x≤80）.
（3）当增种果树多少棵时，该果园的总产量W（kg）
最大？最大产量是多少？
解：（3）设增种果树a棵.根据题
意，得
W＝（60＋a） ＝－ （a
－50）2＋6 050.
∵－ ＜0，0≤a≤80，
∴当a＝50时，W取最大值，W最大＝
6 050.
∴当增种果树50棵时，该果园的总产
量W（kg）最大，最大产量是6 050 kg.
跟踪训练
3. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：
m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图
所示.下列结论：
（第3题）
①小球在空中经过的路程是80 m；
②小球抛出后至3 s，速度越来越慢；
③小球抛出6 s时速度为0；
④小球的高度h＝30 m时，t＝1.8 s.
其中正确的是（ A ）
A. ①② B. ①④
C. ②③④ D. ①②③
A
（第3题）
4. 精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫困户李大叔在
政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二
月份正式上市销售.在30天的试销中，每天的销售量与
销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：
（第4题）
x（天） 1 2 3 … x
每天的销售 量（千克） 10 12 14 …
2x＋8
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如
下图象.已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的
利润是w元.（利润＝销售收入－成本）
（1）将表格中的最后一列补充完整；
（2）求y关于x的函数关系式；
解：（2）由函数图象知，当0＜x≤20时，y与x成一次
函数关系，且函数图象过点（10，14），（20，9）.
设y＝kx＋b，
∴解得
∴y＝－ x＋19（0＜x≤20）.
（第4题）
当20＜x≤30时，y＝9，
∴y关于x的函数关系式为
y＝
（第4题）
（3）销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利
润是多少元？
解：（3）由题意知，当0＜x≤20时，
w＝（2x＋8） ＝－x2＋24x＋112
＝－（x－12）2＋256.
∵－1＜0，0＜x≤20，
∴当x＝12时，w有最大值，最大值为256；
当20＜x≤30时，
w＝（2x＋8）×（9－5）＝8x＋32.
∵20＜x≤30，w随x的增大而增大，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为272.
综上所述，销售草莓的第30天时，当天的利润最大，最
大利润是272元.(共28张PPT)
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y＝ax2＋c的图象与性质
1. 把抛物线y＝ax2向上平移c（c＞0）个单位长度，就
得到抛物线 ；向下平移c（c＞0）个单
位长度，就得到抛物线 .
2. 类比y＝ax2与y＝ax2＋c的性质：
y＝ax2＋c
y＝ax2－c
2. 类比y＝ax2与y＝ax2＋c的性质：
函数 y＝ax2 y＝ax2＋c
开口 方向 a＞0 a＞0
a＜0 a＜0
顶点 （0，0）
对称轴 y轴（或直线x＝0） y轴（或直线x＝0）
向上
向上
向下
向下
（0，c）
函数 y＝ax2 y＝ax2＋c
有最高 （低）
点 a＞0 有 点 a＞0 有 点
有最高 （低）
点 a＜0 有 点 a＜0 有 点
最低
最低
最高
最高
函数 y＝ax2 y＝ax2＋c
最大
（小）
值 a＞0 最 值为
0 a＞0 最 值为
c
a＜0 最 值为
0 a＜0 最 值为
c
小
小
大
大
增减性 a＞0 当 时，y的值随x值的增大
而增大；
当 时，y的值随x值的增大
而减小
增减性 a＜0 当 时，y的值随x值的增大
而减小；
当 时，y的值随x值的增大
而增大
x＞0
x＜0
x＞0
x＜0
注意：（1）二次函数y＝ax2（a≠0）与y＝ax2＋c
（a≠0） 的图象的形状相同，开口方向相同，对称轴
相同，只是顶点坐标不同.
（2）对于抛物线y＝ax2＋c（a≠0），当｜a｜相同
时，图象的形状和大小完全相同，只是在位置上不同.
（3）对于增减性记住一个重要结论：当a＞0时，越靠
近对称轴，y值越小；当a＜0时，越靠近对称轴，y值
越大.
3. 求函数与两坐标轴的交点坐标：与x轴相交，令y＝
0；与y轴相交，令x＝0.
题型一 y＝ax2＋c的图象与性质
已知函数y＝－ x2，y＝－ x2＋3和y＝－ x2－1.
（1）分别画出它们的图象；
解：（1）如答案图所示.
（答案图）
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
解：（2）它们图象的开口都向下，对称轴都为y轴，顶
点坐标分别为（0，0），（0，3），（0，－1）.
（3）试说明函数y＝－ x2＋3，y＝－ x2－1的图象分
别由抛物线y＝－ x2作怎样的平移才能得到.
解：（3）函数y＝－ x2＋3的图象由抛物线y＝－ x2
向上平移3个单位长度得到，函数y＝－ x2－1的图象由
抛物线y＝－ x2向下平移1个单位长度得到.
（1）抛物线y＝ x2－4可由抛物线y＝ x2沿
轴向 平移 个单位长度得到，它的开口方向
向 ，顶点坐标是 ，对称轴
是 轴，当 时，y有最 值为
，当 时，y的值随x值的增大而增大，
当 时，y的值随x值的增大而减小；
y
下
4
上
（0，－4）
y
x＝0
小
－4
x＞0
x＜0
（2）抛物线y＝ax2＋b的形状与函数y＝2x2的图象的
形状相同，开口方向相反，与y轴交于点（0，－2），
则该抛物线的表达式为 ；
y＝－2x2－2
（3）已知点（－9，y1），（4，y2），（－2，y3）都
在抛物线y＝ax2＋m（a＞0）上，则（ C ）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2
C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y1＜y3
C
[结论] 开口向上的抛物线越靠近对称轴的点，函数值越
小，反之越大；开口向下的抛物线越靠近对称轴的点，
函数值越大，反之越小.
跟踪训练
1. 抛物线y＝ x2与抛物线y＝－ x2＋2的相同点是
（ B ）
A. 顶点相同 B. 对称轴相同
C. 开口方向相同 D. 顶点都在x轴上
B
2. 若抛物线y＝x2＋3上有三点A（1，y1），B（5，
y2），C（－2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为
（ B ）
A. y2＜y1＜y3 B. y1＜y3＜y2
C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1
B
3. （1）要由抛物线y＝2x2变换得到抛物线y＝2x2＋
1，只需将抛物线y＝2x2沿y轴向 平移 个单
位长度；
（2）把抛物线y＝ax2＋c向上平移3个单位长度，得到
抛物线y＝－4x2，则a＝ ，c＝ .
上
1
－4
－3
4. 如图，二次函数y＝－ x2＋2的图象与x轴、y轴分
别交于点A，B，C.
（1）直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴；
解：（1）抛物线的顶点坐标为（0，2），
对称轴为y轴.
（第4题）
（2）若y的值随x的值的增大而减小，求x的取值范
围；
解：（2）由图象可知，若y的值随x的值
的增大而减小，
则x＞0.
（第4题）
（3）求△ABC的面积.
解：（3）令y＝0，即－ x2＋2＝0，
解得x1＝－2，x2＝2.
∴点A的坐标为（－2，0），点B的坐标为
（2，0）.
∴AB＝2－（－2）＝4.
由（1）知，点C（0，2），则OC＝2，
∴S△ABC＝ AB·OC＝ ×4×2＝4.
（第4题）
题型二 二次函数综合
如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0，c＞0）交y轴于
点C，直线AB与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点
D（0，d）.
（1）若d＝4，点A（－1，3），
且满足BD＝2AD，求点B的坐标；
解：（1）如答案图，过点A作AF⊥y轴于
点F，过点B作BG⊥y轴于点G.
（答案图）
∴AF∥BG. ∴ ＝ ＝ ＝ .
∵点A（－1，3），∴AF＝1，OF＝3.
∴BG＝2AF＝2.
∵d＝4，点D（0，d），∴OD＝4.
∴DF＝OD－OF＝1.∴DG＝2DF＝2.
∴OG＝OD＋DG＝6.
∴点B的坐标为（2，6）.
（2）在（1）的条件下，作BE⊥x轴，交x轴于点E，
试说明点A，C，E在同一条直线上.
解：（2）将点A（－1，3），B（2，6）代
入y＝ax2＋c，
得解得
∴抛物线的表达式为y＝x2＋2.
令x＝0，则y＝2，∴点C（0，2）.
∵BE⊥x轴，点B（2，6），∴点E（2，
0）.
∴直线AE的表达式为y＝－x＋2.
令x＝0，则y＝2，
∴直线AE与y轴交于点（0，2）.
∴点C在直线AE上.
∴点A，C，E在同一条直线上.
跟踪训练
5. 已知抛物线y＝ x2＋1（如图所示）.
（第5题）
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），
对称轴是 ；（2）已知y轴上一
点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，
垂足为B，若△PAB是等边三角形，求点P的坐标.
解：（2）如答案图.
0
1
y轴（或直线x＝0）
（答案图）
∵△PAB是等边三角形，PB⊥x轴，
∴∠ABO＝90°－60°＝30°.
∴AB＝2OA＝4.∴PB＝4.
把y＝4代入y＝ x2＋1中，得x＝±2 .
∴点P的坐标为（2 ，4）或（－2 ，4）.
（答案图）(共25张PPT)
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y＝a（x－h）2，
y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
1. 二次函数y＝a（x－h）2的图象和性质
函数 y＝a（x－h）2（a
＞0） y＝a（x－h）2（a＜
0）
大致图象 h＞0
h＜0
函数 y＝a（x－h）2（a
＞0） y＝a（x－h）2（a＜
0）
开口方向
顶点坐标
对称轴
最值 当x＝h时， 最 值为0 当x＝h时，
最 值为0
向上
向下
（h，0）
直线x＝h
小
大
函数 y＝a（x－h）2（a
＞0） y＝a（x－h）2（a＜
0）
增减性 x＜h时，y的值随x
值的增大而
； x＞h时，y的值随x
值的增大而 x＜h时，y的值随x值
的增大而 ；
x＞h时，y的值随x值
的增大而
减
小
增大
增大
减小
2. 二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质
函数 y＝a（x－h）2
＋k（a＞0） y＝a（x－h）2＋k（a＜
0）
开口方向
对称轴 直线
顶点坐标
最值 当x＝h时， 最 值为k 当x＝h时，
最 值为k
向上
向下
x＝h
（h，k）
小
大
函数 y＝a（x－h）2
＋k（a＞0） y＝a（x－h）2＋k（a＜
0）
增减性 x＜h时，y的值
随x值的增大
而 ； x＞h时，y的值
随x值的增大
而 x＜h时，y的值随x值的
增大而 ；
x＞h时，y的值随x值的
增大而
减小
增大
增大
减小
注意：当k＝0时，上表就是y＝a（x－h）2（a≠0）
的性质.
3. 二次函数y＝ax2与y＝a（x－h）2的图象的关系
形状 ，开口方向 .
只要把y＝ax2的图象向左（h＜0）或向右（h＞0）平
移 个单位长度，就可以得到y＝a（x－h）2的图象.
相同
相同
4. 二次函数y＝ax2与y＝a（x－h）2＋k的图象的关系
形状 ，开口方向 .
只要把y＝ax2的图象向右（或向左）平移 个单位长
度，再向上（或向下）平移 个单位长度就可以得到y
＝a（x－h）2＋k的图象.
相同
相同
注意：（1）事实上，y＝ax2＋k，y＝a（x－h）2，y
＝a（x－h）2＋k的图象均可通过平移二次函数y＝
ax2的图象得到.平移的规律可总结为“左加右减自变
量，上加下减常数项”.
（2）由于从y＝a（x－h）2＋k中可以直接看出抛物
线的顶点坐标，所以通常把y＝a（x－h）2＋k叫做二
次函数的顶点式.
题型一 二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质
在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝（x－
1）2与y＝（x＋1）2的图象，并指出图象间的关系.
解：图象如图所示，关系：函数y＝x2的图象向右平移1
个单位长度得到函数y＝（x－1）2的图象；函数y＝x2
的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝（x＋1）2的
图象.
（1）抛物线y＝－ （x＋1）2可以看作由y＝－ x2
向 平移 个单位长度形成的；
（2）抛物线y＝－ （x－1）2可以看作由y＝－ x2
向 平移 个单位长度形成的；
左
1
右
1
（3）抛物线y＝2（x＋3）2的开口 ；顶点坐标
为 ；对称轴是直线 ；当
x 时，y的值随x的值的增大而减小；当x
时，y的值随x的值的增大而增大；
（4）抛物线y＝－2（x－1）2的开口 ；顶点坐
标为 ；对称轴是直线 ；当x
时，y的值随x的值的增大而减小；当x 时，
y的值随x的值的增大而增大.
向上
（－3，0）
x＝－3
＜－3
＞
－3
向下
（1，0）
x＝1
＞
1
＜1
跟踪训练
1. 关于抛物线y＝（x－1）2，下列说法错误的是
（ B ）
A. 开口向上
B. 当x＞1时，y的值随x的值的增大而减小
C. 对称轴是直线x＝1
D. 顶点坐标为（1，0）
B
2. 抛物线y＝3（x＋5）2的开口向 ，顶点坐标
为 ；当x＝ 时，y有最
值，为 .
上
（－5，0）
－5
小
0
题型二 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
请直接指出下列函数的图象特征.
函数 y＝2（x－2）2－1 y＝－（x＋1）2＋1
开口
方向
顶点
坐标
对称
轴 直线 直线
向上
向下
（2，－1）
（－1，1）
x＝2
x＝－1
函数 y＝2（x－2）2－1 y＝－（x＋1）2＋1
增减
性 当 时，y的
值随x的值的增大而
增大；当
时，y的值随x的值的
增大而减小 当 时，y的值
随x的值的增大而减小；
当 时，y的值
随x的值的增大而增大
最值 当 时，y有
最小值为－1 当 时，y有最
大值为1
x＞2
x＜2
x＞－1
x＜－1
x＝2
x＝－1
（1）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再
向上平移4个单位长度，得到的抛物线是（ A ）
A. y＝（x－3）2＋4 B. y＝（x＋3）2＋4
C. y＝（x－3）2－4 D. y＝（x＋3）2－4
（2）若点A（m－3，y1），B（m，y2），C（m＋
4，y3）都在二次函数y＝（x－m）2＋1（m为常数）
的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .
（用“＞”号连接起来）
A
y3＞y1＞y2
跟踪训练
3. 下列关于抛物线y＝－（x－1）2＋2的说法，不正确
的是（ D ）
A. 开口向下
B. 顶点在第一象限
C. 对称轴是直线x＝1
D. 当x＜1时，y的值随x的值的增大而减小
D
4. 如图，二次函数的图象是由y＝－x2向右平移1个单
位长度，再向上平移4个单位长度得到的，这时图象与x
轴的交点为A，B（点A在点B的左边），与y轴交于
点C.
（1）求二次函数的表达式；
（第4题）
解：（1）抛物线y＝－x2向右平移1个
单位长度再向上平移4个单位长度后所
得抛物线的表达式为y＝－（x－1）2
＋4.
（第4题）
（2）若P是抛物线的对称轴l上一动点，求使AP＋CP
最小的点P的坐标.
解：（2）当y＝0时，则－（x－1）2
＋4＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴点A（－1，0），点B（3，0）.
当x＝0时，y＝－（x－1）2＋4＝－1
＋4＝3，
∴点C（0，3）.
（第4题）
易得抛物线y＝－（x－1）2＋4的对称轴l为直线x＝
1，点A与点B关于直线x＝1对称.
如答案图，连接BC交直线x＝1于点P，
则PA＝PB，
（答案图）
∴PA＋PC＝PB＋PC＝BC.
∴此时AP＋CP的值最小.
设直线BC的表达式为y＝kx＋b.
把B（3，0），C（0，3）分别代入，得
解得
∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.
当x＝1时，y＝－1＋3＝2，
∴点P的坐标为（1，2）.
（答案图）(共17张PPT)
第二章 二次函数
5 二次函数与一元二次方程
第2课时 利用二次函数图象求方程近似根
1. 用图象法求一元二次方程的近似根
方
法
一 直接作出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则图
象与x轴的交点的 就是一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0的根
方
法
二 先将一元二次方程变为ax2＋bx＝－c，再在同一
平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2＋bx和直线
y＝－c，则两图象交点的 就是方程
ax2＋bx＋c＝0的根
横坐标
横坐标
方
法
三 先将一元二次方程化为x2＋ x＋ ＝0，移项后，
得x2＝－ x－ ，再在同一平面直角坐标系中画
出抛物线y＝x2和直线y＝－ x－ ，则两图象交
点的 就是方程ax2＋bx＋c＝0的根
横坐标
2. 用图象法求一元二次方程的近似根的基本步骤
（1）画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
（2）确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之
间；
（3）列表，在（2）中的两数之间取值，进行估计.
在列表求近似根时，近似根就出现在对应y值正负交换
的位置，也就是对x取一系列值，看y对应于哪两值由
负变成正，或由正变成负，此时x的两个对应值之间必
有一个近似根.
题型一 利用二次函数图象求方程近似根
利用二次函数的图象求一元二次方程－x2＋2x－3
＝－8的近似根.
解：在平面直角坐标系内作出函数y＝－x2＋2x－3的图象，如答案图所示.
（答案图）
由图象可知，方程－x2＋2x－3＝－8的根是抛物线y＝－x2＋2x－3与直线y＝－8的交点的横坐标.一个交点的横坐标在－1和－2之间，另一个交点的横坐标在3和4之间.
（答案图）
①先求－1与－2之间的根，利用计算器进行探索：
x －1.1 －1.2 －1.3 －1.4 －1.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
因此，x＝－1.4是方程－x2＋2x－3＝－8的一个近似
根.
②另一个根可以类似地求出：
x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
y －6.41 －6.84 －7.29 －7.76 －8.25
因此，x＝3.4是方程－x2＋2x－3＝－8的另一个近似
根.
∴一元二次方程－x2＋2x－3＝－8的近似根为
x1≈－1.4，x2≈3.4.
现在我们用求根公式来验证一下.
对于方程－x2＋2x－3＝－8，
整理，得x2－2x－5＝0.
解得x＝ ＝1± .
∴x1＝1－ ≈－1.4，x2＝1＋ ≈3.4.
∴利用图象法求得方程－x2＋2x－3＝－8的近似根x1≈
－1.4，x2≈3.4是完全正确的.
跟踪训练
1. 根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a，b，c为常数）的自变量x与函数值y的部分对应
值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的范围是
（ C ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
y＝ax2＋bx＋c －0.11 －0.04 0.01 0.04
A. 6.16＜x＜6.17 B. 6.17＜x＜6.18
C. 6.18＜x＜6.19 D. 6.19＜x＜6.20
C
2. 如图是二次函数y＝ax2＋bx－c的部分图象，由图象
可知关于x的一元二次方程ax2＋bx＝c的两个根可能
是 .（精确到0.1）
（第2题）
x1＝0.8，x2＝3.2（合理即可）
题型二 抛物线的对称性运用
（1）如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图
象与x轴的一个交点是（－2，0），顶点是（1，3），
下列说法中不正确的是（ C ）
图1
C
A. 抛物线的对称轴是直线x＝1
B. 抛物线的开口向下
C. 抛物线与x轴的另一交点是（2，0）
D. 当x＝1时，y有最大值是3
（2）已知二次函数y＝2x2－8x＋6的图象交x轴于A，
B两点.若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足
＝ ＝ ＝m，则m的值是
（ C ）
A. 1 B. C. 2 D. 4
C
[分析] （2）由已知条件可判定三点中必有一点在二次
函数y＝2x2－8x＋6的顶点上，通过求解二次函数的顶
点坐标及与坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积公式
可求解m值.
（3）如图2，抛物线y＝x2－2mx＋2m－1与x轴交于
A，B两点，且点A，B都在原点右侧，抛物线的顶点
为点P，当△ABP为直角三角形时，m的值为 .
2
图2
[归纳总结] 抛物线的对称性主要注意以下三点：
（1）若抛物线与x轴交于两点A（x1，0），B（x2，
0），则对称轴为直线x＝ ；
（2）若抛物线图象上有两点M（x1，m），N（x2，
m），则对称轴为直线x＝ ；
（3）若抛物线图象上有两点的纵坐标相同，则这两点
到对称轴的距离相等.
跟踪训练
3. （1）已知二次函数y＝－ax2＋2ax＋3（a＞0），
若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的
值为 ；
（2）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线
x＝2，且经过点（3，0），则a＋b＋c的值为 .
4. 已知抛物线与x轴两交点间的距离为4，顶点为（3，
－2），则抛物线的函数表达式为 .
2
0
y＝ x2－3x＋ (共35张PPT)
第二章 二次函数
3 确定二次函数的表达式
第2课时 由三点确定二次函数的表达式
二次函数的表达式有三种基本形式
一
般
式 （a，b，c为常数，且
a≠0）
顶
点
式 （a≠0），其中
点 为顶点坐标，对称轴为直线
y＝ax2＋bx＋c
y＝a（x－h）2＋k
（h，k）
x
＝h
交
点
式 （a≠0），其中
x1，x2是抛物线与x轴的交点的
y＝a（x－x1）（x－x2）
横坐标
注意：求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根
据不同条件，设出恰当的表达式：
（1）若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝
ax2＋bx＋c（a≠0）；
（2）若给出抛物线的顶点坐标、对称轴或最值，通常
可设顶点式y＝a（x－h）2＋k（a≠0）；
（3）若给出抛物线与x轴的交点、对称轴或与x轴的交
点间的距离，通常可设交点式y＝a（x－x1）（x－
x2）（a≠0）.
题型一 确定二次函数的表达式
根据下列条件，分别求二次函数的表达式.
（1）图象经过A（1，3），B（－2，12），C（－1，
5）三点；
解：（1）设所求函数表达式为y＝ax2＋bx＋c.
∴解得
∴所求函数表达式为y＝2x2－x＋2.
（2）图象经过点A（1，0），B（0，－3），且对称
轴是直线x＝2；
解：（2）设所求函数表达式为y＝a（x－2）2＋k.
将点A（1，0），B（0，－3）分别代入表达式中，
得解得
∴所求函数表达式为y＝－（x－2）2＋1＝－x2＋4x
－3.
（3）图象经过A（－1，0），B（3，0），C（0，3）
三点.
解：（3）设所求函数表达式为y＝a（x＋1）（x－
3），
将点C（0，3）代入表达式中，得
3＝a×（0＋1）×（0－3），解得a＝－1.
∴所求函数表达式为y＝－（x＋1）（x－3）＝－x2＋
2x＋3.
跟踪训练
1. （1）经过A（4，0），B（－2，0），C（0，3）
三点的抛物线的表达式是 ；
（2）已知抛物线y＝x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c
等于 ；
y＝－ x2＋ x＋3
16
（3）在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x
的部分对应值如下表：
x … －2 －1 0 1 2 3 4 5 …
y … 12 5 0 －3 －4 －3 0 m …
其中m的值是 .
5
2. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，
C三点.
（1）观察图象，写出A，B，C三点的坐标，并求出抛
物线的函数表达式；
解：（1）点A（－1，0），B（0，
－3），C（4，5）.
把A，B，C三点的坐标分别代入，得
解得
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－
3.
（第2题）
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
解：（2）∵y＝x2－2x－3＝（x－1）2
－4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，－4），对
称轴为直线x＝1.
（第2题）
（3）观察图象，当x分别取何值时，y＜0、y＝0、y
＞0？
解：（3）由对称性可知，抛物线与x轴
的另一个交点为（3，0）.观察图象，可
得当－1＜x＜3时，y＜0；
当x＝－1或3时，y＝0；
当x＜－1或x＞3时，y＞0.
（第2题）
题型二 二次函数表达式与几何变换
将二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象.
（1）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度
后得到的抛物线的表达式为 ；
（2）绕它的顶点旋转180°后所得抛物线的表达式
为 ；
（3）绕原点旋转180°后所得抛物线的表达式为
；
y＝－x2＋8x－16
y＝x2－2x＋3
y＝
x2＋2x－1
（4）关于x轴对称的抛物线的表达式为
；
（5）沿y轴翻折后所得抛物线的表达式为
.
y＝x2－2x－
1
y＝－x2－
2x＋1
[分析] 二次函数图象的三大变换都可以先化为顶点式再
进行处理：
（1）先化成顶点式，根据“上加下减，左加右减”的
原则进行解答即可；
（2）先化成顶点式，将其绕顶点旋转180°后，开口大
小和顶点坐标都没有变化，变化的只是开口方向，可据
此求解；
（3）根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵
坐标互为相反数得出新抛物线的顶点坐标，进而得出新
抛物线的表达式；
（4）利用关于x轴对称的点的坐标性质得出新抛物线的
顶点坐标，进而得出新的抛物线表达式；
（5）利用关于y轴对称的点的坐标性质得出新抛物线的
顶点坐标，进而得出新的抛物线表达式.
跟踪训练
3. 将抛物线y＝（x－2）（x－4）先绕坐标原点O旋
转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的表达
式为（ C ）
A. y＝x2＋10x＋24 B. y＝－x2－10x－24
C. y＝－x2－2x D. y＝x2＋2x
C
4. 二次函数y＝x2－2x－3关于x轴对称的函数图象的
表达式为 .
y＝－x2＋2x＋3
题型三 二次函数与几何综合
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋
bx＋2与x轴交于点A（－1，0），B（2，0），与y轴
上方交于点C，点F是抛物线上一动点.
（1）求抛物线的解析式；
解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋2
（a≠0）与x轴交于点A（－1，0），B
（2，0），
∴解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋2.
（2）当点F在第一象限运动时，过点F作FH∥AC交
BC于点H，求FH的最大值；
解：（2）如答案图1，连接BC，过点F作
FN⊥x轴于点N，交BC于点M，过点H作
HK⊥FN于点K.
（答案图1）
（答案图1）
∵易知点C（0，2），
∴OB＝OC＝2，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°.
易得直线BC的解析式为y＝－x＋2.
设点F（x，－x2＋x＋2），其中0＜x＜2，则点M（x，－x＋2），
∴FM＝（－x2＋x＋2）－（－x＋2）＝－x2＋2x.
∵AC∥HF，OC∥FN，
∴∠HFK＝∠ACO，
∴tan∠HFK＝tan∠ACO＝ ，
∴FK＝2HK，∴FH＝ HK，
∴当HK的值最大时，FH的值最大.
（答案图1）
易知∠HMK＝∠BMN＝∠BCO＝45°，
∴HK＝KM. ∴FM＝3HK，
∴HK＝ FM＝ （－x2＋2x）＝
－ （x－1）2＋ .∵－ ＜0，0＜x＜2，
∴当x＝1时，HK有最大值为 ，此时FH有最大值为 .
（答案图1）
（3）过点F作FE⊥x轴交直线BC于点D，交x轴于点
E. 若∠FCD＋∠ACO＝45°，求点F的坐标.
解：（3）易知点F在y轴右侧.
①如答案图2，当点F在直线BC上方时，延长射线CF交x轴于点N.
（答案图2）
由（2）知，∠BCO＝∠OBC＝45°.
∵∠FCD＋∠ACO＝45°，
∠OBC＝∠FCD＋∠BNC＝45°，
∴∠ACO＝∠BNC，
∴tan∠CNO＝tan∠ACO＝ .
∴ON＝2OC＝4，∴N（4，0）.
（答案图2）
解得x1＝0（舍去），x2＝ ，
∴点F的坐标是 ；
易得直线CN的解析式为y＝－ x＋2.
令－ x＋2＝－x2＋x＋2，
（答案图2）
②如答案图3，当点F在直线BC下方时，设CF交x轴于
点Q.
（答案图3）
∵∠FCD＋∠ACO＝45°，
∠OCB＝∠FCO＋∠FCD＝45°，
∴∠ACO＝∠FCO，
∴△AQC是等腰三角形，CO平分∠ACQ，
∴OQ＝OA＝1，∴Q（1，0）.
易得直线CQ的解析式为y＝－2x＋2.
令－2x＋2＝－x2＋x＋2，
解得x1＝0（舍去），x2＝3，
∴点F的坐标是（3，－4）.
综上所述，点F的坐标是
或（3，－4）.
（答案图3）
跟踪训练
5. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于
A，B两点，与y轴交于点C，且AC＝ ，OB＝OC
＝3OA.
（1）求抛物线的表达式；
（第5题）
解：（1）∵OB＝OC＝3OA，AC＝ ，
∴OA＝1，OC＝OB＝3，
∴A（1，0），B（－3，0），C（0，3）.
将A，B，C三点代入y＝ax2＋bx＋c中，
得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.
（第5题）
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形
PBAC的面积最大，求出四边形PBAC面积的最大值，
并求出此时点P的坐标.
解：（2）如答案图，S四边形PBAC＝S△ABC＋
S△PBC.
∵S△ABC为定值，为6，
∴S△PBC最大时，S四边形PBAC最大.
（答案图）
（答案图）
过点P作y轴的平行线交BC于点H.
∵B（－3，0），C（0，3），
∴直线BC的表达式为y＝x＋3.
设点P（m，－m2－2m＋3），
则点H（m，m＋3），其中－3＜m＜0.
∴S△PBC＝ PH·OB＝－ m2－ m
＝－ ＋ .
∵－ ＜0，－3＜m＜0，
∴当m＝－ 时，S△PBC最大，
即S四边形PBAC最大，最大
值为 ，此时点P .
（答案图）(共23张PPT)
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第4课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
我们可以用配方法将y＝ax2＋bx＋c化为y＝a
＋ ，其中－ ， 与y＝a（x－h）2＋
k中的h，k对应，因此可以由y＝a（x－h）2＋k的性
质得到y＝ax2＋bx＋c的性质，如下表：
函数 y＝ax2＋bx＋c （a＞0） y＝ax2＋bx＋c
（a＜0）
开口 方向
对称轴 直线
向上
向下
x＝－
函数 y＝ax2＋bx＋c （a＞0） y＝ax2＋bx＋c
（a＜0）
顶点 坐标
最值 当x＝－ 时， 最 值为 当x＝－ 时，
最 值为
小
大
函数 y＝ax2＋bx＋c （a＞0） y＝ax2＋bx＋c
（a＜0）
增减性 当x＜－ 时（对称
轴左侧），y的值随
x的值的增大而
；当x＞－ 时（对称轴右侧），y的值随x的值的增大而 当x＜－ 时（对称轴左
侧），y的值随x的值的
增大而 ；
当x＞－ 时（对称轴右
侧），y的值随x的值的
增大而
减
小
增大
增大
减小
注意：（1）探究一般式y＝ax2＋bx＋c的性质往往是
化成顶点式来研究，注意配方的熟练运用.
（2）一般式的顶点坐标公式要熟练记忆.
（3）画出二次函数大致图象时一般要求出与坐标轴的
交点、对称轴及顶点坐标.
（4）比较函数值的大小，应根据二次函数的对称性把
两个点归纳在对称轴的同侧，然后利用函数的增减性即
可比较大小.一定记住：若a＞0，越靠近对称轴，y的
值越小；若a＜0，越靠近对称轴，y的值越大.
题型一 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
已知二次函数y＝x2＋x－6，请回答下列问题：
（1）将它配方化为y＝a（x－h）2＋k的形式；
解：（1）y＝ － .
（2）写出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴
和函数的最值；
解：（2）该函数图象的开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线x＝－ ，该函数有最小值为－ .
（3）画出函数y＝x2＋x－6的大致图象；
解：（3）函数y＝x2＋x－6的大致图象如答案图：
（答案图）
（4）根据图象回答：当x 时，y的值随x的值
的增大而增大；当x 时，y＞0；当－3
＜x≤2时，y的取值范围是 .
＞－
＜－3或x＞2
－ ≤y≤0
（1）若点A（－1，y1），B（2，y2），C（3，
y3）在抛物线y＝－2x2＋8x＋c的图象上，则y1，y2，
y3的大小关系是（ C ）
A. y3＜y2＜y1 B. y2＜y1＜y3
C. y1＜y3＜y2 D. y3＜y1＜y2
（2）把二次函数y＝ x2＋3x＋ 的图象向右平移2个单
位长度后，再向上平移3个单位长度，所得函数图象的
顶点坐标是 .
C
（－1，1）
跟踪训练
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx－c（a≠0），其中b＞
0，c＞0，则该函数的图象可能为（ C ）
A B
C
C D
2. （1）抛物线y＝x2＋4x＋5的顶点坐标是
，对称轴是 ；
（2）已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上部分点的坐
标（x，y）的对应值如表所示：
x … 0 1 2 …
y … －3 －4 －3 …
则b的值为 ；
（－2，
1）
直线x＝－2
－2
（3）将抛物线y＝x2－2x＋1向下平移2个单位长度，
再向左平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是
.
y
＝x2－2
3. 已知二次函数y＝－ x2＋2x＋6，请回答下列问题：
（第3题）
（1）把它配方成y＝a（x－h）2＋k的形式，写出该
函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）作出
函数y＝－ x2＋2x＋6的图象；
解：（1）y＝－ （x－2）2＋8，该函数图象的开口向
下，顶点坐标为（2，8），对称轴为直线x＝2.
（2）作图略.
（3）该函数与x轴的交点坐标为
和 ，与y轴的交点坐标为 ；
（4）当0＜x＜3时，y的取值范围是 ；当0
＜y＜6时，x的取值范围是 .
（－2，0）
（6，0）
（0，6）
6＜y≤8
－2＜x＜0或4＜x＜6
题型二 二次函数综合
如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A（3，0）和
B（0，3），与x轴负半轴交于点C，D是抛物线上的
动点.
（1）求抛物线的表达式；
解：（1）将点A（3，0）和B（0，3）代
入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
（2）过点D作DE⊥AB于点E，交x轴于点F，连接
BF，当点D在第一象限且S△BEF＝2S△AEF时，求点D的
坐标.
解：（2）易知OA＝OB＝3，∴AB＝3 ，
∠BAO＝45°.∵DF⊥AB，∴EF＝AE.
∵S△BEF＝2S△AEF，∴AE＝ .∴AF＝2.
∴点F（1，0）.∴点E（2，1）.
∴直线DF的表达式为y＝x－1.
联立方程组
解得或
∵点D在第一象限，
∴点D .
跟踪训练
4. 如图，抛物线y＝－ x2平移后经过原点O和点A
（6，0），平移后的抛物线的顶点为点B，对称轴与抛
物线y＝－ x2相交于点C，则图中直线BC与两条抛物
线围成的阴影部分的面积为（ C ）
A. B. 12 C. D. 15
（第4题）
C
5. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽
6 m；则当水面下降 m时，水面宽8 m.
（第5题）
(共17张PPT)
第二章 二次函数
1 二次函数
1. 二次函数的定义
一般地，形如 （a，b，c是常数，
a≠0）的函数叫做x的二次函数.其中 是二次项系
数， 是一次项系数， 是常数项.
y＝ax2＋bx＋c
a
b
c
注意：（1）关于x的代数式一定是整式，a，b，c为
常数，且a≠0，当a＝0时，y＝bx＋c为一次函数或常
函数.
（2）等式右边的最高次数为2，可以没有一次项和常数
项，但不能没有二次项.
例如：①当b＝c＝0时，y＝ax2 （a≠0）；
②当b＝0时，y＝ax2＋c （ac≠0）；
③当c＝0时，y＝ax2＋bx （ab≠0）.
2. 列二次函数关系式的一般步骤
（1）审清题意，找出实际问题中的常量和变量，并分
析它们之间的关系；
（2）建立函数关系式，注意把关系式化为y＝ax2＋bx
＋c（a≠0）的形式.
注意：在一般情况下，自变量可以取任意实数，但在实
际问题中，自变量要符合实际意义.
题型一 二次函数的概念
（1）观察：①y＝6x2；②y＝－3x2＋5；③y＝
200x2＋400x＋200；④y＝x3－2x；⑤y＝x2－ ＋3；
⑥y＝（x＋1）2－x2；⑦y＝ x2－2x＋5；⑧y＝ax2
＋bx＋c.其中一定是二次函数的有 ；
（填序号）
（2）如果函数y＝（m－2）· 是二次函数，
那么m的值为 .
①②③⑦
－3
跟踪训练
1. 下列是二次函数的是（ B ）
A. y＝ ＋x2 B. y＝1＋3x2
C. y＝x＋1 D. 2x2－1
2. 将函数y＝（1－2x）（3x－2）化成y＝ax2＋bx＋
c（a≠0）的形式是 ，其中二次
项系数是 ，一次项系数是 ，常数项
是 .
B
y＝－6x2＋7x－2
－6
7
－2
3. 若y＝（a＋1） －x＋3是关于x的二次函数，
则a的值是 .
－5
题型二 函数值与自变量的计算
填空：
（1）在二次函数y＝2x2－4x＋1中，当x＝0时，y
＝ ；当x＝2时，y＝ ；
（2）在二次函数y＝－3x2＋2x＋1中，当y＝0时，x
＝ ；当y＝2时，－3x2＋2x＋1＝2的解
为 ；
1
1
1或－
无解
（3）二次函数y＝ax2＋bx－3，当x＝2时，y＝4，则
代数式8a＋4b＋1的值为（ C ）
A. 3 B. 9 C. 15 D. －15
[分析] （3）把x＝2，y＝4代入函数关系式中，可得4a
＋2b＝7，再将4a＋2b＝7整体代入代数式，求值即可.
C
跟踪训练
4. 若物体在空中从静止自由下落的路程h（米）与时间
t（秒）之间的关系为h＝ gt2（g＝9.8米/秒2），则当t
＝4秒时，该物体所经过的路程为 米.
5. 若二次函数y＝x2＋2x－7的函数值为8，则对应的自
变量x的值是 .
78.4
3或－5
题型三 列二次函数关系式
用长为32 m的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩
形一边长为x m，面积为y m2.
（1）求y与x之间的函数关系式；
解：（1）围成的矩形一边长为x m，则邻边长为32÷2
－x＝（16－x）m.根据题意，得
y＝x（16－x）＝－x2＋16x（0＜x＜16）.
∴y与x之间的函数关系式是
y＝－x2＋16x（0＜x＜16）.
（2）当边长为多少时，围成的养鸡场的面积为60 m2？
解：（2）由（1）知，y＝－x2＋16x.
当y＝60，即－x2＋16x＝60时，
解得x1＝6，x2＝10.
当x＝6时，16－x＝10；
当x＝10时，16－x＝6.
∴当边长为6 m或10 m时，围成的养鸡场的面积为60 m2.
（3）能否围成面积为70 m2的养鸡场？如果能，请求出
其边长；如果不能，请说明理由.
解：（3）不能.理由如下：
令y＝70，则－x2＋16x＝70，
即x2－16x＋70＝0.
∵Δ＝（－16）2－4×1×70＝－24＜0，
∴该方程无实数解.
∴不能围成面积为70 m2的养鸡场.
[思维点拨] （1）解决此类问题的关键是运用几何图形
的特征建立等量关系，从而得到函数关系式；（2）已
知函数值求自变量的值就是将二次函数转化为一元二次
方程，再解方程的问题.
跟踪训练
6. 如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边
上.若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y与x的
函数关系为 .
（第6题）
y＝2x2－4x＋4（0＜x＜2）
7. 某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备
（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料
成本.据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润
的月平均值w（万元）满足w＝10x＋90.
（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y万
元，请写出y与x之间的函数关系式；
解：（1）y与x之间的关系式为
y＝w·x＝（10x＋90）x＝10x2＋90x（x为正整数）.
（2）请问前几个月的利润和等于1 620万元？
解：（2）令y＝1 620，即10x2＋90x＝1 620，
解得x1＝9，x2＝－18（舍去）.
故前9个月的利润和等于1 620万元.(共26张PPT)
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2的图象与性质
二次函数y＝ax2（a≠0）的图象与性质
（1）抛物线y＝ax2的图象与性质
函数 y＝ax2（a＞0） y＝ax2（a＜0）
大致 图象
开口 方向
向上
向下
函数 y＝ax2（a＞0） y＝ax2（a＜0）
对称轴 y轴（
） y轴（
）
顶点 坐标 （0，0） （0，0）
或直线x＝
0
或直线x＝
0
函数 y＝ax2（a＞0） y＝ax2（a＜0）
有最高 或 最低点 有 点 有 点
最值 当x＝ 时，y有
最 值，是 当x＝ 时，y有
最 值，是
最低
最高
0
小
0
0
大
0
函数 y＝ax2（a＞0） y＝ax2（a＜0）
增减性 当x＜0时，y的值随x
值的增大而
；当x＞0时，y的
值随x值的增大而
当x＜0时，y的值随x
值的增大而
；当x＞0时，y的
值随x值的增大而
减
小
增
大
增
大
减
小
注意：讨论二次函数的增减性时，一定要说明其图象在
对称轴左侧还是右侧.
（2）抛物线y＝x2与y＝－x2关于x轴对称，因此，抛
物线y＝ax2与y＝－ax2关于x轴对称，开口大小相同.
引例：在如图所示的同一直角坐标系中，画出函数y＝
2x2，y＝ x2，y＝－2x2与y＝－ x2的图象.思考：从
你所画的函数图象中，你发现了什么？
画函数图象的基本方法：
列表、描点、连线.
x
y＝2x2
y＝－2x2
y＝ x2
y＝－ x2
发现：当a＞0时，a越大，抛物线的开口越小；当a＜0
时， a 越大，抛物线的开口越小.因此， a 越大，抛物
线的开口越小，反之， a 越小，抛物线的开口越大.
题型一 二次函数y＝ax2（a≠0）的图象与性质
（1）抛物线y＝ x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数
a 0；顶点都是 ；对称轴都是 ；
顶点是抛物线的最 点（填“高”或“低”）.当
x 0时，y的值随x的值的增大而增大；当
x 0时，y的值随x的值的增大而减小；
＞
原点
y轴
低
＞
＜
（2）抛物线y＝－ x2，y＝－x2，y＝－2x2的二次项
系数a 0；顶点都是 ；对称轴都是
；顶点是抛物线的最 点（填“高”或
“低”）.当x 0时，y的值随x的值的增大而增
大；当x 0时，y的值随x的值的增大而减小；
（3）已知点A ，B（－1，y2），C（－4，
y3）都在二次函数y＝－3x2的图象上，则y1，y2，y3的
大小关系为 .
＜
原点
y
轴
高
＜
＞
y1＞y2＞y3
已知函数y＝（m＋2） 是关于x的二次函
数，当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，
此时当x为何值时，y的值随着x的值的增大而增大？
解：由题意，得
解得m1＝－3，m2＝2，
即m的值是－3或2.
∵抛物线有最低点，∴m＋2＞0.
∴当m＝2时，该抛物线有最低点.
当m＝2时，y＝4x2，该函数的最低点的坐标为（0，
0），当x＞0时，y的值随x的值的增大而增大.
跟踪训练
1. 二次函数y＝（2－m）x2的图象是开口向上的抛物
线，则m的取值范围是（ D ）
A. m＞0 B. m＞2
C. m＜0 D. m＜2
D
2. （1）二次函数y＝－ x2的图象是 ，它的
对称轴是 ，顶点坐标是 ，开口方
向是 ；
抛物线
y轴
（0，0）
向下
[第2（2）题]
（2）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1
a2.（填“＞”“＝”或“＜” ）
＞
3. 利用二次函数y＝－ x2的图象回答下列问题.
（1）当x＝2时，y＝ ；
（2）当y＝－8时，x＝ ；
（3）当－4≤x≤－2时，y的取值范围是
；当0≤x≤4时，y的取值范围是 ；
当－3≤x≤2时，y的取值范围是 .
－2
±4
－8≤y≤
－2
－8≤y≤0
－4.5≤y≤0
题型二 二次函数图象与性质综合
如图，直线AB：y＝kx＋3过点（－2，4），且与
抛物线y＝ x2交于A，B两点.
（1）求A，B两点的坐标；
解：（1）把点（－2，4）代入y＝kx＋3中，得－2k＋3＝4，解得k＝－ .
∴直线AB的表达式为y＝－ x＋3.
联立解得
∴点A的坐标为 ，
点B的坐标为（2，2）.
（2）求以O，A，B为顶点的三角形的面积.
解：（2）如图，连接OA，OB，设直线
AB与y轴交于点C，则点C（0，3）.
∴S△OAB＝S△OAC＋S△OBC
＝ OC· ＋ OC·
＝ ×3×3＋ ×3×2＝ .
跟踪训练
4. （1）如图，边长为2的正方形ABCD的
中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，
以O为顶点且过A，D两点的抛物线与以
O为顶点且过B，C两点的抛物线将正方
形分割成几部分，则图中阴影部分的面积
是 ；
2
[第4（1）题]
（2）如图，A是抛物线y＝－x2上的一点，AB⊥x轴于
点B，连接AO. 若点B的坐标为（－2，0），则点A的
坐标为 ，S△AOB＝ .
[第4（2）题]
（－2，－4）
4
5. 如图，直线y＝－ x＋b与抛物线y＝ax2交于A，B
两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（－4，8）.
（1）求a，b的值；
解：（1）把点A（－4，8）代入y＝－ x
＋b，得－ ×（－4）＋b＝8，∴b＝6.
把点A（－4，8）代入y＝ax2，
得（－4）2×a＝8，∴a＝ .
（第5题）
（2）若CD⊥AB于点C，且CD＝CA，试说明点D在
抛物线上.
解：（2）如答案图，分别过点A，D作
AM⊥y轴于点M，DN⊥y轴于点N.
（答案图）
由（1）知，直线AB的解析式为y＝－ x＋6.
令x＝0，则y＝6，∴C（0，6）.
∵∠AMC＝∠CND＝∠ACD＝90°，
∴∠ACM＋∠DCN＝90°，∠DCN＋∠CDN＝90°，∴∠ACM＝∠CDN.
又∵CA＝CD，
∴△AMC≌△CND（AAS），
∴CN＝AM＝4，DN＝CM＝2，
∴ON＝OC－CN＝2，
∴D（－2，2）.
（答案图）
当x＝－2时，y＝ ×（－2）2＝2，
∴点D在抛物线y＝ x2上.
由（1）知，抛物线的解析式为y＝ x2.
（答案图）(共25张PPT)
第二章 二次函数
3 确定二次函数的表达式
第1课时 由两点确定二次函数的表达式
1. 待定系数法定义
一般地，在求一个函数的表达式时，如果知道这个函数
的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数
待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通
过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做
.
待定
系数法
2. 二次函数的表达式常见的三种形式
（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
若已知抛物线上任意三点，通常设函数表达式为y＝ax2
＋bx＋c（a≠0），将三点的坐标代入，列出含有a，
b，c的 方程组，求解即可.
三元一次
（2）顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）.
若已知抛物线的 坐标（也可能是对称轴或最
值）和抛物线上另一点坐标时，通常设函数表达式为y
＝a（x－h）2＋k（a≠0）.
①当抛物线的顶点是原点时，h＝0，k＝0，可设函数
的表达式为 ；
顶点
y＝ax2
②当抛物线的对称轴为y轴时，h＝0，可设函数的表达
式为 ；
③当抛物线的顶点在x轴上时，k＝0，可设函数的表达
式为 .
y＝ax2＋k
y＝a（x－h）2
（3）交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.
若已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为
（x1，0），（x2，0）时，通常可设函数的表达式为y
＝a（x－x1）（x－x2），再把另一点的坐标代入即可
解得a，便可求出抛物线的表达式.
3. 用待定系数法求二次函数的表达式的步骤
（1）设出合适的函数表达式；
（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入函数
表达式中，得到关于待定系数的方程（组）；
（3）解方程（组）求出待定系数的值，从而写出函数
表达式.
题型一 由条件确定二次函数的表达式
根据以下条件，分别求二次函数的表达式.
（1）二次项系数为1，且图象经过（2，－1）与（3，
2）两点；
解：（1）设所求二次函数的表达式为y＝x2＋bx＋c.
∴解得
∴所求二次函数的表达式为y＝x2－2x－1.
（2）图象的顶点坐标是（－2，3），且经过点（2，
－3）；
解：（2）设所求二次函数的表达式为y＝a（x＋2）2
＋3.
∴－3＝a×（2＋2）2＋3，解得a＝－ .
∴所求二次函数的表达式为
y＝－ （x＋2）2＋3＝－ x2－ x＋ .
（3）图象与x轴交点的横坐标分别为－2和4，且经过点
（0，5）；
解：（3）设所求二次函数的表达式为y＝a（x＋2）
（x－4）.
∴5＝a×（0＋2）×（0－4），解得a＝－ .
∴所求二次函数的表达式为
y＝－ （x＋2）（x－4）＝－ x2＋ x＋5.
（4）二次函数的最低点的纵坐标是4，且图象经过
（1，8）和（5，8）两点.
解：（4）对称轴为直线x＝ ＝3，
设所求二次函数的表达式为y＝a（x－3）2＋4.
∴8＝a×（1－3）2＋4，解得a＝1.
∴所求二次函数的表达式为
y＝（x－3）2＋4＝x2－6x＋13.
[技巧归纳] 当二次函数各项系数中有两个是未知的，知
道图象上两点的坐标，可设函数的表达式为y＝mx2＋
bx＋c或y＝ax2＋mx＋c或y＝ax2＋bx＋m（m为已知
常数）；当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的
坐标时，通常设函数的表达式为y＝a（x－h）2＋k；
当已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标x1，x2及另外
一点时，通常设函数的表达式为y＝a（x－x1）（x－
x2）.
跟踪训练
1. 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）如图所示，根据图
象回答：
（第1题）
（1）这个二次函数的表达式是 ；
（2）当x＝ 时，y＝3；
y＝x2－2x
－1或3
（3）当x 时，y＞0.
＜0或x＞2
（第1题）
2. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）上部分点的横
坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … －1.5 0 1 2 4 …
y … n 1 3 1 m …
（1）该抛物线的表达式为 ；
（2）表中m的值为 ；
（3）请比较m和n 的大小： .
y＝－2x2＋4x＋1
－15
m＜n
3. 已知抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）经过点（－1，
0），（3，0），求a，b的值.
解：∵抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）经过点（－1，
0），（3，0），
∴解得
题型二 二次函数的实际应用
如图1是气势如虹、古典凝重的开封北门，也叫安
远门，有安定远方之寓意.其主门洞的截面如图2，上部
分可看作是抛物线形，下部分可看作是矩形，边AB为
16 m，边BC为6 m，最高处点E到地面AB的距离为8 m.
（1）请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛
物线的表达式；
解：（1）如答案图所示建立平面
直角坐标系，
（答案图）
由题意可得，点E的坐标为（0，8），
点D的坐标为（－8，6）.
设抛物线的表达式为y＝ax2＋8.
∵点D在该抛物线上，
∴6＝a×（－8）2＋8，解得a＝－ .
∴该抛物线的表达式为y＝－ x2＋8.
（答案图）
（2）该主门洞内设双向行驶车道，正中间有0.6 m宽
的双黄线.车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄
线，并保持车辆最高点与门洞有不少于0.6 m的空隙
（安全距离），试判断一辆大型货运汽车装载某大型
设备后，宽3.7 m，高6.6 m，能否安全通过该主门
洞？并说明理由.
解：（2）这辆大型货运汽车能安
全通过该主门洞.
理由如下：
将x＝3.7＋0.3＝4代入y＝－ x2
＋8，
得y＝－ ×42＋8＝7.5.
∵7.5＞6.6＋0.6，
∴这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞.
跟踪训练
4. 如图1，小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物
线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7 m，水柱在距喷水头P水平距离5 m处达到最高，最高点距地面3.2 m.建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y＝a（x－h）2＋k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度.
（第4题）
（1）求抛物线的表达式；
解：（1）根据题意可知，抛物线的顶点
坐标为（5，3.2），点P的坐标为
（0，0.7）.则抛物线的表达式为
y＝a（x－5）2＋3.2.将点（0，0.7）
代入，得0.7＝25a＋3.2，解得a＝－0.1.
∴抛物线的表达式为y＝－0.1（x－5）2＋3.2
＝－0.1x2＋x＋0.7.
（2）小红爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距
离3 m，身高1.6 m的小红在水柱下方走动，当小红的头
顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.
解：（2）令y＝1.6，得－0.1x2＋x＋0.7
＝1.6，解得x1＝1，x2＝9.
∴当小红的头顶恰好接触到水柱时，
她与爸爸的水平距离为3－1＝2（m）
或9－3＝6（m）.
