(共22张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
3 三角函数的计算
1. 用计算器求三角函数值
（1）用科学计算器求三角函数值，要用到 sin cos 和tan
键.
（2）用科学计算器求三角函数值时，如无特别说明，
计算结果一般精确到 位.
万分
2. 用计算器由三角函数值求角度
（1）已知三角函数值求角度，要用到 sin cos tan 键的
第二功能“ sin －1， cos －1，tan －1”和 键.
（2）用计算器根据三角函数值求角度时，如无特别说
明，计算结果一般精确到 .
1″
3. 仰角、俯角
当从低处观测高处的目标时，视线与 所成的
锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线
与 所成的锐角称为俯角.
注意：在有关俯角、仰角问题中，常作水平线与铅垂线
来构造直角三角形.
水平线
水平线
题型一 已知锐角求三角函数值
用计算器求下列各式的值：
（1） cos 45.32°； （2） sin 72°38'25″；
（3）tan 60°25'41″； （4） sin 18°＋ cos 55°－tan
59°.
解：（1）按键顺序为 cos 4 5 · 3 2 ＝，
显示：0.703 146 544，
∴ cos 45.32°≈0.703 1.
（2）按键顺序为 sin 7 2 。，，， 3 8 。，，， 2
5 。，，， ＝，
显示：0.954 450 312，
∴ sin 72°38'25″≈0.954 5.
（3）按键顺序为tan 6 0 。，，， 2 5 。，，， 4
1 。，，， ＝，
显示：1.762 327 064，
∴tan 60°25'41″≈1.762 3.
（4）按键顺序为 sin 1 8＋ cos 5 5－tan 5 9 ＝，
显示：－0.781 686 051，
∴ sin 18°＋ cos 55°－tan 59°≈－0.781 7.
跟踪训练
1. 若用科学计算器计算 sin 36°18'，按键顺序正确的
是（ D ）
A. sin 3 6 · 1 8 ＝
B. sin 3 6 。，，， 1 8 ＝
C. sin 3 6 。，，， 1 8 ＝
D. sin 3 6 。，，， 1 8 。，，， ＝
D
2. 用计算器求下列各式的值：
（1） cos 63°17'≈ ；
（2）tan 27.35°≈ ；
（3）2 cos 40°＋ sin 35°·tan58°≈ ；
（4） ＋3tan 56°≈ .
0.449 6
0.517 2
2.450 0
10.015 4
题型二 已知三角函数值求锐角
已知∠A为锐角，根据下列条件求∠A的度数：
（用度、分、秒表示）
（1） sin A＝0.153 6； （2） cos A＝0.675 3；
（3）tan A＝0.671 8.
解：（1）按键顺序为 sin 0 · 1 5 3 6 ＝ 。，，， ，
显示：8°50'8.2″，∴∠A≈8°50'8″.
（2）按键顺序为 cos 0 · 6 7 5 3 ＝ 。，，， ，
显示：47°31'21.18″，∴∠A≈47°31'21″.
（3）按键顺序为 tan 0 · 6 7 1 8 ＝ 。，，， ，
显示：33°53'35.54″，∴∠A≈33°53'36″.
跟踪训练
3. 若∠A是锐角，tan A＝ ，则下列各式正确的是
（ C ）
A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45°
C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90°
C
4. 已知∠A为锐角，根据下列三角函数值，求其相应的
度数：（结果精确到1'）
（1） sin A＝0.75，则∠A≈ ；
（2） cos A＝0.888 9，则∠A≈ ；
（3）tan A＝45.43，则∠A≈ .
48°35'
27°16'
88°44'
题型三 解决与仰角、俯角有关的实际问题
如图，某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高
度.他从点A出发，沿着坡度i＝1∶2.4的斜坡AB步行26
m到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为
37°，建筑物底端E的俯角为30°.若AF为水平的地
面，测角仪竖直放置，其高度BC＝1.6 m，求建筑物的
高度DE. （结果精确到0.1 m，参考数据：
≈1.73， sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan
37°≈0.75）
解：如图，延长CB交AE于点H，过点C作CP⊥DE于
点P.
在Rt△ABH中，∵i＝1∶2.4，AB＝26 m，
∴BH＝10 m.
∴PE＝CH＝10＋1.6＝11.6（m）.
在Rt△CPE中，∵∠PCE＝30°，
∴PC＝ ＝ ≈20.068（m）.
在Rt△CPD中，∵∠DCP＝37°，
∴PD＝PC·tan 37°≈15.1 m.
∴DE＝PD＋PE≈15.1＋11.6＝26.7（m）.
答：建筑物的高度DE约为26.7 m.
（第5题）
跟踪训练
5. （2024·成都七中）如图，小文家所在居民楼
高AB为56 m，从楼顶A处测得另一座大厦顶部
C的仰角α是45°，大厦底部D的俯角β是
37°，大厦高度的CD约为 m.
（结果精确到0.1 m，参考数据： sin 37°
≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
130.7
6. （2024·广安）风电项目对于调整能源结构和转变经
济发展方式具有重要意义.某电力部门在某地安装了一
批风力发电机，如图1，某校实践活动小组对其中一架
风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图
（点A，B，C，D，E均在同一平面内，AB⊥BC）.
已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡
顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，
坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机塔杆
AB的高度.
（结果精确到个位，参考数据： sin 20°≈0.34，
cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36， ≈1.73）
解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于
点H，
（第6题）
在Rt△DCH中，∠DCH＝60°，CD＝10米，
∴CH＝CD· cos 60°＝10米，
（第6题）
DH＝CD· sin 60°＝10 米≈17.3米.
∵∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90°，
∴四边形DFBH为矩形，∴BH＝FD，BF＝DH.
∵BH＝BC＋CH＝30＋10＝40（米），∴FD＝40米.
在Rt△AFD中，∠ADF＝20°，
∴AF＝FD·tan 20°≈40×0.36＝14.4（米），
∴AB＝AF＋BF＝14.4＋17.3≈32（米）.
答：该风力发电机塔杆AB的高度约为32米.(共25张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
2 30°，45°，60°角的三角函数值
1. 特殊角的三角函数值
锐角α三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α 1
1
2. 含有30°，45°角的直角三角形各边数量关系
注意：（1）特殊角的三角函数值可以借助上面两个图
形，结合三角函数的定义来记忆，含30°的直角三角形
三边之比为1∶ ∶2，等腰直角三角形三边之比为
1∶1∶ .
（2）求某些特殊角的三角函数值时，关键要构造合适
的直角三角形.
题型一 30°，45°，60°角的三角函数值
计算：
（1） sin 30°·tan 45°＋ sin 2 60°－2 cos 60°；
解：原式＝ ×1＋ －2×
＝ .
（2） ；
解：原式＝
＝ .
（3）3tan 30°－ ＋ ＋
cos 45°.
解：原式＝3× －2＋ ＋ ×
＝ －2＋ －1＋2
＝2 －1.
[方法总结] 做此类题时，应先利用特殊角的三角函数值
进行替换，将三角函数式的运算转化为代数式的运算，
求得的结果一般不取近似值.
跟踪训练
1. tan 60°的值为（ C ）
A. B. C. D. 2
C
2. 计算：
（1）tan 45°－2 sin 60°＋ cos 45°；
解：原式＝1－2× ＋ ×
＝1－ ＋
＝ － .
（2） cos 30°－ ＋tan 60°；
解：原式＝ － ＋
＝ ＋ －1＋ ＝2 －1.
（3）tan230°＋ cos 230°－ sin 60°· cos 45°＋
sin 45°.
解：原式＝ ＋ － × ＋ ×
＝ ＋ － ＋ ＝ － .
题型二 由特殊角的三角函数值求角的度数
（1）若2 cos α－ ＝0，则锐角α的度数
为 ；
（2）在△ABC中，若 ＋ ＝0，
则∠C的度数为（ D ）
A. 30° B. 60°
C. 90° D. 120°
30°
D
[分析] （2）由 ＋ ＝0，得 sin A
＝ ，tan B＝ ，根据特殊角的三角函数值可得∠A，
∠B的度数，结合三角形的内角和为180°，可求得
∠C的度数.
跟踪训练
3. 在锐角三角形ABC中，若∠A，∠B满足
＋ ＝0，则∠C的度数为（ C ）
A. 30° B. 45°
C. 75° D. 105°
C
4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ ，则
sin ＝ .
题型三 30°，45°，60°角的三角函数值的应用
如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的
高BC是10 m，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A
点10 m处有一建筑物HQ. 为了方便行人推车过天桥，
市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角
∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至
少3 m宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算
最后结果保留一位小数.参考数据： ≈1.414，
≈1.732）
[分析] 在Rt△ABC中，由题意求出AB的长，在
Rt△DBC中，由题意求出DB的长，再由DH＝AH－
AD＝AH－（DB－AB）求出DH的长，比较大小即可
判定该建筑物是否需要拆除.
解：由题意，得AH＝10 m，BC＝10 m，
在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10 m.
在Rt△DBC中，∠CDB＝30°，
∴DB＝ ＝ ＝10 （m），
∴DH＝AH－AD＝AH－（DB－AB）＝10－10 ＋
10＝20－10 ≈2.7（m）.
∵2.7 m＜3 m，∴该建筑物需要拆除.
跟踪训练
5. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其
中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，
∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘坐电梯从一楼到
二楼上升的高度h是（ B ）
A. m B. 4 m
C. 4 m D. 8 m
（第5题）
B
6. 如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装
了一个测速仪，检测点设在距离公路10 m的A处，测得
一辆汽车从B处行驶到C处所用的时间为0.9 s.已知
∠B＝30°，∠C＝45°.
（第6题）
（1）求B，C两点之间的距离；（保留根号）（2）如
果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说
明理由.（参考数据： ≈1.7， ≈1.4）
解：（1）如答案图，过点A作AD⊥BC于点D，
（答案图）
则AD＝10 m.
∵在Rt△ACD中，∠C＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形.
∴CD＝AD＝10 m.
在Rt△ABD中，∠B＝30°，tan B＝ ，
∴BD＝ ＝10 （m）.
∴BC＝BD＋DC＝（10 ＋10）m.
（2）超速.理由如下：
由（1）知BC＝（10 ＋10）m≈27 m.
∴汽车速度v＝ ＝30（m/s），
30 m/s＝108 km/h.
∵108＞80，∴这辆汽车超速.(共22张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
6 利用三角函数测高
1. 测量底部可以到达的物体的高度
①如图，在测点C处安置测倾器，测得B的仰
角 ＝α；
②量出测点C到物体底部A的水平距离 ＝b；
∠BDE
CA
③量出测倾器的高度 ＝a，然后求出物体AB的
高度为AE＋BE＝ .
CD
a＋btan α
2. 测量底部不可以到达的物体的高度
①如图，在测点M处安置测倾器，测得此时B的仰
角 ＝α；
②在测点M与物体之间的C处安置测倾器（M，C与A
在一条直线上，且M，C之间的距离可以直接测得），
测得此时B的仰角 ＝β；
∠BNE
∠BDE
③量出测倾器的高度MN＝CD＝a，以及测点M，C之
间的距离MC＝b，然后求出物体AB的高度为AE＋BE
＝a＋
.
题型一 测量底部可以到达的物体的高度问题
无人机在实际生活中应用广泛.如图所示，小明利
用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼
CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角
为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100 m，楼
AB的高度为10 m，从楼AB的A处测得楼CD的D处的
仰角为30°（点A，B，C，D，P在同一平面内）.
（1）填空：∠APD的度数为 ，∠ADC的度数
为 ；
75°
60°
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；
解：（2）如答案图，过点A作AE⊥CD于点E.
由题意可得AE＝BC＝100 m，EC＝AB＝10 m，
在Rt△AED中，∠DAE＝30°，∴DE＝
AE·tan 30°＝ m，∴CD＝DE＋EC
＝ m.
（答案图）
答：楼CD的高度为 m.
（3）求此时无人机距离地面BC的高度.
解：（3）如答案图，过点P作PG⊥BC于
点G，交AE于点F，
则∠PFA＝∠AED＝90°，
FG＝AB＝10 m.
∵MN∥AE，∴∠PAF＝∠MPA＝60°.
∵∠ADE＝60°，∴∠PAF＝∠ADE.
∵∠DAE＝30°，∴∠PAD＝30°.
（答案图）
∵∠APD＝75°，∴∠ADP＝75°.
∴∠ADP＝∠APD.
∴AP＝DA. ∴△APF≌△DAE.
∴PF＝AE＝100 m.
∴PG＝PF＋FG＝100＋10＝110（m）.
答：此时无人机距离地面BC的高度为110 m.
（答案图）
跟踪训练
1. 如图，在离铁塔200 m的A处，用测倾仪测得塔顶B
的仰角为α，测倾仪高AD为1.5 m，则铁塔的高BC为
（ C ）
A. （1.5＋200 sin α）m
B. （1.5＋200 cos α）m
C. （1.5＋200tan α）m
D. m
（第1题）
C
2. 如图，山坡AB的坡度i＝1∶ ，AB＝10米，AE＝
15米.在高楼的顶端竖立一块倒计时牌CD，在点B处测
量倒计时牌的顶端C的仰角是45°，在点A处测量倒计
时牌的底端D的仰角是60°，求这块倒计时牌CD的高
度.（测角器的高度忽略不计，结果保留根号）
（第2题）
解：如答案图，作BF⊥DE于点F，BG⊥AE于点G.
（答案图）
易知四边形BGEF为矩形，
∴BG＝EF，BF＝GE.
在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，
∴DE＝AE·tan∠DAE＝15 米.
∵山坡AB的坡度i＝1∶ ，AB＝10米，
∴BG＝5米，AG＝5 米，
∴EF＝BG＝5米，BF＝AG＋AE
＝（5 ＋15）米. ∵∠CBF＝45°，
∴CF＝BF＝（5 ＋15）米，
∴CD＝CF＋EF－DE＝（20－10 ）米.
答：这块倒计时牌CD的高度为（20－10 ）米.
（答案图）
题型二 测量底部不可以到达的物体的高度问题
（2024·成都七中）天府新区秦皇湖，有天府新区小
“泸沽湖”之称，在湖畔对面是天府国际会议中心，该
中心以“天府之檐”为主题，沿秦皇湖东侧展开以中国
古建筑“佛光寺大殿”抬梁式木结构为原型，建构了亚
洲最大单体木结构建筑.天府新区某学校开展综合实践
活动，测量该建筑物顶端到地面的高度.
如图，AB为建筑物，在地面观测点C处测得该建筑物
顶端A的仰角为45°，然后沿BC方向走6.5米到点D处，
即CD＝6.5米，在位于点D正上方的观光台点E处测得
建筑物顶端A的仰角为37°，已知DE＝3米，AB⊥BC，
DE⊥BC，根据以上测量数据，请求出该建筑物顶端到
地面的高度.（结果精确到1米；参考数据： sin
37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）
解：如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F.
由题意，得ED＝BF＝3米，EF＝BD，
设BC＝x米，
则EF＝BD＝CD＋BC＝（x＋6.5）米.
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC·tan 45°＝x米.
在Rt△AFE中，∠AEF＝37°，
∴AF＝EF·tan 37°≈0.75（x＋6.5）米，
∴0.75（x＋6.5）＋3＝x，解得x＝31.5，
∴AB＝31.5≈32（米），
答：该建筑物顶端到地面的高度约为32米.
跟踪训练
3. 如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C
的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°.C，D，B
在同一水平线上，又知河宽CD为50 m，则山高AB为
（ C ）
A. 50 m B. 25 m
C. 25（ ＋1）m D. 75 m
（第3题）
C
（第4题）
4. 如图，某测量小组为了测量山BC的高度，
在地面A处测得山顶B的仰角为45°，然后沿
着坡度为1∶ 的坡面AD走了200 m到达D
处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，
则山BC的高度是 m.
（结果保留根号）
（100＋100 ） (共22张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第2课时 正弦和余弦
1. 正弦和余弦的定义
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对
边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.∠A的对
边与斜边的比叫做∠A的 ，记作 ，即
sin A＝ ＝ .∠A的邻边与斜边的比叫做
∠A的 ，记作 ，即 cos A
＝ ＝ .
正弦
sin A
余弦
cos A
2. 三角函数
锐角A的正弦、 和 都是∠A的三角函
数.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随
之变化.
余弦
正切
注意：（1）锐角三角函数是针对直角三角形中的锐角
而言的.
（2）由定义可知，锐角三角函数本质特征是两条线段
长的比.因此，三角函数都只有数值，没有单位.
（3）三角函数的值都是比值，所以其大小只与角度有
关，与它所在的三角形的边长长短无关.
（4）由于Rt△ABC的三边长都是正数，所以锐角三角
函数值也都为正.又由于直角三角形的斜边大于任一直
角边，所以有0＜ sin A＜1，0＜ cos A＜1（0°＜∠A＜
90°）.
3. 梯子的倾斜程度与三角函数的关系
（1） sin A的值越 ，梯子越陡；
（2） cos A的值越 ，梯子越陡；
（3）tan A的值越 ，梯子越陡.
大
小
大
4. 各锐角三角函数之间的关系
若∠A＋∠B＝90°，则
（1）互余关系：
sin A＝ cos B＝ cos （90°－∠A）；
cos A＝ sin B＝ sin （90°－∠A）.
（2）同角关系：
①平方关系： sin 2A＋ cos 2A＝1；
②相除关系： tan A＝ .
题型一 根据边长求正弦和余弦值
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，
AC＝6.
（1）求 sin A， sin B的值；
解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝6，
∴AB＝ ＝ .
∴ sin A＝ ＝ ， sin B＝ ＝ .
（2）过点C作CD⊥AB于点D，求 cos ∠BCD的值.
解：（2）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠B＋∠A＝∠B＋∠BCD，
∴∠BCD＝∠A，
∴ cos ∠BCD＝ cos A＝ ＝ .
[方法点拨] 两个角相等，则它们的锐角三角函数值相
等，所以在求锐角三角函数值时，如果直接求该角的
三角函数值麻烦，则可以求与它相等角的对应的三角
函数值.
跟踪训练
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝3，则
sin B的值为（ B ）
A. B. C. D.
B
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是中线，
AC＝6，CD＝5，求 sin ∠ACD， cos ∠ACD的值.
（第2题）
解：∵∠BCA＝90°，CD是中线，
∴CD＝ AB＝AD＝BD.
∴∠A＝∠ACD，AB＝2CD＝10.
在Rt△ABC中，BC＝ ＝8，
则 sin ∠ACD＝ sin A＝ ＝ ，
cos ∠ACD＝ cos A＝ ＝ .
题型二 利用三角函数求线段的长度
如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC
边上的中线，已知AD＝8，BD＝4， cos ∠ABC＝ .
（1）求高CD的长；
解：（1）在Rt△BCD中，
∵ cos ∠ABC＝ ＝ ，BD＝4，
∴BC＝5.∴CD＝ ＝ ＝3.
（2）求tan∠EAB的值.
解：（2）如答案图，过点E作
EF⊥AB，垂足为F.
（答案图）
∵CD是边AB上的高，∴CD∥EF.
∵AE是BC边上的中线，∴BE＝CE.
∴EF是△BCD的中位线.∴EF＝ CD＝ ×3＝ ，
DF＝ BD＝ ×4＝2.∴AF＝AD＋DF＝8＋2＝10.
在Rt△AEF中，tan∠EAB＝ ＝ .
跟踪训练
3. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，
sin ∠DAC＝ ，BC＝10，则AB的值为（ B ）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
（第3题）
B
4. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，斜边BC的垂直平
分线分别交AB，BC于点D，E，如果 cos B＝ ，AB
＝7，那么CD的长等于 .
（第4题）
题型三 三角函数的综合运用
（1）比较大小：
cos 35° cos 45°，tan 50° tan 60°，
sin 40° cos 50°；
＞
＜
＝
（2）已知锐角α满足 sin α＝ ，试求锐角α的其他三角
函数值.
[分析] （2）假设∠α是直角三角形中的一个锐角，则由
sin α＝ 可设直角三角形的斜边为5k，∠α的对边为
3k，由勾股定理求出∠α的邻边，再由三角函数的定义
解决.
解：如答案图， sin α＝ ＝ ，不妨设AB＝5k（k＞
0），BC＝3k.
（答案图）
由勾股定理，得
AC＝ ＝ ＝4k.
∴ cos α＝ ＝ ＝ ，
tan α＝ ＝ ＝ .
[思维点拨] （2）题虽然没有明确指出直角三角形的各
边长，但是根据锐角的正弦值，不难确定一条直角边与
斜边的关系，利用这一关系，可以表示出另一条直角
边，然后利用三角函数的定义进行求解.由于三角函数
与三角形的边长长短无关，本题中也可直接令AB＝5，
BC＝3，得AC＝4，简化计算.由此可知，已知某个角
的一个三角函数值，可以求其余两个三角函数值.
跟踪训练
5. sin 77°， cos 77°，tan77°的大小关系是
（ D ）
A. tan77°＜ cos 77°＜ sin 77°
B. cos 77°＜tan77°＜ sin 77°
C. sin 77°＜ cos 77°＜tan77°
D. cos 77°＜ sin 77°＜tan77°
D
6. 如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC
的中点，BC＝14，AD＝12， sin B＝ .求：
（1）线段DC的长；
（第6题）
解：（1）在△ABC中，∵AD是边BC上的高，
∴AD⊥BC，∴ sin B＝ ＝ .
∵AD＝12，∴AB＝ AD＝15.
在Rt△ABD中，BD＝ ＝ ＝9，
∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.
（2）tan∠EDC的值.
解：（2）在Rt△ADC中，E是AC的中
点，
∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C，
∴tan∠EDC＝tan C＝ ＝ .
（第6题）(共26张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
5 三角函数的应用
1. 方位角：是从正北或正南方向到目标方向所形成的
大于或等于0度且小于或等于90度的角.通常表达成北
（南）偏东（西）××度，若正好为45度，则表示为东
北（或东南、西北、西南）方向；若正好为0度，则表
示正南（北）方向；若正好为90度，则表示正西（东）
方向.
如下图：
①OA方向可表示为 ；
②OB方向可表示为 ；
③OC方向可表示为 ；
④OD方向可表示为 .
北偏东60°
南偏东45°（或东南方向）
正东方向
南偏西20°
2. 构造直角三角形解决实际问题的一般步骤
（1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，
再转化为解直角三角形的问题；
（2）根据已知条件的特点，适当选用锐角三角函数解
直角三角形；
（3）得到数学问题的答案，达到解决实际问题的目的.
题型一 与三角函数有关的方位角问题
五一假期期间，小明和小亮相约去游乐
场游玩，经勘测，激流勇进项目B 在游乐场
大门A 的南偏东30°方向400米处方向，过
山车项目C 在游乐场大门A 的北偏东45°方
向， 摩天轮项目D 在激流勇进项目B 的正东方
向，在过山车项目C 的南偏东31°方向.
（1）求游乐场大门A 与过山车项目C 的距离（结果保
留根号）；
解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E.
由题意，得∠ACE＝45°，
∠ABC＝30°，AB＝400米.
在Rt△ABE中，
AE＝AB· sin ∠ABE＝400· sin 30°
＝200（米）.
在Rt△ACE中，
AC＝ ＝ ＝200 （米），
∴游乐场大门A与过山车项目C的距离为200 米.
（2）小明和小亮在游乐场门口A 汇合后，经商议，小
明沿路线A→B→D到激流勇进项目B游玩，小亮沿路
线A→C→D到过山车项目C游玩，最后两人在摩天轮
项目D集合，小明步行的速度是60米/分，在激流勇进排
队和乘坐项目用时27分钟，小亮步行的速度是70米/
分，在过山车排队和乘坐项目用时30分钟，请问小明和
小亮谁先到达摩天轮项目D？（参考数据： sin31°
≈0.52， cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60，
≈1.41， ≈1.73，结果精确到0.1）
解：（2）在Rt△ABE中，
BE＝AB· cos ∠ABE＝400· cos
30°＝200 （米），
在Rt△ACE中，CE＝ ＝
＝200（米），
∴BC＝CE＋BE＝米.
在Rt△BCD中，BD＝BC·tan∠BCD＝（200＋
200 ）·tan 31°≈327.6（米），CD＝ ≈ ≈634.9（米），∴小明到达摩
天轮项目D所需的时间约为 ＋27
≈39.1（分钟），小亮到达摩天轮项目D
所需的时间约为 ＋30≈43.1（分钟）.
∵39.1＜43.1，∴小明先到达摩天轮项目D.
跟踪训练
1. 如图，在A岛周围20海里水域有暗礁，一艘轮船由西
向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与
轮船相距52海里.若该轮船不改变航向，为航行安全，
需要计算A到OB的距离AC. 下列算法正确的是
（ A ）
A. AC＝52 cos 64° B. AC＝
C. AC＝52 sin 64° D. AC＝52tan 64°
（第1题）
A
2. 如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在
点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛
相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北
偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为
海里.
（第2题）
20
3. 如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是
沿湖泊修建的人行步道.经测量，点C在点A的正东方
向，AC＝200 m.点E在点A的正北方向.点B，D在点
C的正北方向，BD＝100 m.点B在点A的北偏东30°方
向，点D在点E的东北方向.（参考数据：
≈1.414， ≈1.732）
（1）求步道DE的长度（精确到个位）；
解：（1）如答案图，过点D作DF⊥AE于点F，
由已知，得四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200 m.
∵∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形.
∴DE＝ DF＝200 ≈283（m）.
（答案图）
（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取
水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.
请计算说明她走哪一条路较近？
解：（2）由（1）知△DEF是等腰直角
三角形，DE＝200 m，
∴EF＝DF＝200 m.
∵∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°.
∵AC＝200 m，∴AB＝2AC＝400 m，
BC＝ ＝200 m.
∵BD＝100 m，
∴小红经过点B到达点D的路程为
AB＋BD＝400＋100＝500（m），
AF＝CD＝BC＋BD＝（200 ＋100）m，
∴AE＝AF－EF＝（200 ＋100）－200
＝（200 －100）m.
∴小红经过点E到达点D的路程为
AE＋DE＝200 －100＋200 ≈529（m）.
∵529＞500，
∴她走经过点B到达点D这条路较近.
题型二 三角函数的综合应用
（2024·成都石室）在汉代之后，荡秋千逐渐成为清
明、端午等节日进行的民间习俗活动，现在也深受儿童
的喜爱.如图所示，成都市某公园的秋千，秋千链子的
长度为3.2 m；当摆角∠AOC为30°时，座板离地面的
高度AM为1 m，当摆动至最高位置时，摆角∠BOC为
60°.求座板距地面的最大高度为多少米？（结果精确
到0.1 m，参考数据： ≈1.73）
解：如答案图，过点A作AD⊥ON，垂足为D，过点B
作BE⊥ON，垂足为E.
（答案图）
由题意，得AM＝DN＝1 m，AO＝BO＝3.2 m，
在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，
∴AD＝AO· sin 30°＝1.6（m），
OD＝AO· cos 30°≈2.8（m）.
（答案图）
在Rt△OBE中，∠BOE＝60°，
∴OE＝OB· cos 60°＝3.2× ＝1.6（m），
∴EN＝OD＋DN－OE≈2.8＋1－1.6＝2.2（m），
∴座板距地面的最大高度约为2.2 m.
跟踪训练
4. 如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，在
司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的
上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC
的高度为0.5 m，AB的宽度为9 m，坡面的坡角为30°.
（结果精确到 0.1 m，参考数据： ≈1.7）
（1）根据图1求出入口处顶点C到坡面的铅直高度
CD；
（第4题）
解：（1）由题意可得∠BAD＝30°，
∵AB＝9 m，
∴BD＝AB·tan∠BAD＝9× ＝3 （m）.
∴CD＝BD－BC＝3 －0.5≈4.6（m）.
答：入口处顶点C到坡面的铅直高度CD约为4.6 m.
（2）图2中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，
现已知某货车高度为3.9 m，请判断该车能否进入该车
库停车？
解：（2）∵∠BAD＝30°，∴∠BDA＝60°.
∴CE＝CD· sin ∠CDE＝（3 －0.5）
× ＝ － ≈4.1（m）.
∵4.1＞3.9，
∴该车能进入该车库停车.(共27张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时 正 切
1. 正切的定义
如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A
的 与 的比便随之确定，这个比叫做
∠A的正切，记作 ，即
＝ ＝ .
对边
邻边
tan A
tan A
注意：（1）tan A是在直角三角形中定义的，∠A是一
个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）.
（2）tan A是一个比值，所以无单位.
（3）tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角
形的边长长短无关.
（4）两锐角相等，则正切值相等；两锐角的正切值相
等，则这两个锐角相等.
（5）两个互余的角，正切值的乘积等于1，
即tan A·tan（90°－A）＝1.
2. 判断梯子的倾斜程度
用正切来描述梯子的倾斜程度，正切值越 ，梯子
越 .
大
陡
3. 坡度的概念
如图，坡面的 与 的比称为坡
度（或坡比），用字母i表示，即i＝ .
铅直高度
水平宽度
注意：（1）坡面与水平面的夹角叫坡角.
（2）坡度等于坡角（记作α）的正切值，即i＝tan α.
题型一 根据边长求正切值
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝
12 cm，AB＝20 cm.
（1）求tan A和tan B的值；
（2）过点C作CD⊥AB于点D，求tan∠ACD的值.
[分析] （1）先用勾股定理求出边AC的长，再直接根据
正切的定义求tan A和tan B的值；
（2）利用同角的余角相等，可得∠ACD＝∠B，由等
角的正切值相等即可求出tan∠ACD的值.
解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
BC＝12 cm，AB＝20 cm，则
AC＝ ＝16 cm.
∴tan A＝ ＝ ＝ ，tan B＝ ＝ ＝ .
（2）∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，
∴∠A＋∠ACD＝90°，∠A＋∠B＝90°.
∴∠ACD＝∠B. ∴tan∠ACD＝tan B＝ .
[方法总结] 解决此类问题的关键是找准对应边，准确表
示所求角的正切.当所需边未知时，通常需要结合已知
条件利用勾股定理求解.当两个角相等时，它们的正切
值也相等，所以有时我们可以转换角来求正切值.
跟踪训练
1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC∶AB＝
3∶5，则tan A的值为（ C ）
A. B. C. D.
（第1题）
C
2. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，D
是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的
值为 .
（第2题）
2＋
题型二 根据正切值求边长及相关量
（1）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边
上一点，且AD＝BD＝5，tan∠CBD＝ ，线段AB的
长度是 ；
图1
4
（2）如图2，已知tan O＝ ，点P在边OA上，OP＝
5，点M，N在边OB上，PM＝PN. 如果MN＝2，那
么PM＝ .
图2
图3
[分析] （1）利用tan∠CBD＝ ，设DC＝3x，BC＝
4x，通过勾股定理可推出DC，BC的长，再由勾股定
理可算出AB的长；
（2）如图3，过点P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△POD中，利用锐角三角函数定义及勾股
定理求出PD的长，再由PM＝PN，利用三线
合一得到D为MN的中点，根据MN求出MD
的长，然后由勾股定理可求PM的值.
跟踪训练
3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB.
若tan∠DCB＝ ，AC＝12，则BC＝ .
（第3题）
9
4. 如图，在 ABCD中，DB＝DA，点F是AB的中
点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（第4题）
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四
边形，
∴AD∥CE.
∴∠DAF＝∠EBF.
∵点F是AB的中点，∴AF＝BF.
（第4题）
又∵∠AFD＝∠BFE，
∴△AFD≌△BFE.
∴AD＝BE.
∵AD∥EB，∴四边形AEBD是平行四边形.
又∵BD＝AD，∴四边形AEBD是菱形.
（2）若DC＝ ，tan∠DCB＝3，求菱形AEBD的
面积.
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边
形，
∴CD＝AB＝ ，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠DCB.
∴tan∠ABE＝tan∠DCB＝3.
（第4题）
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB⊥DE，AF＝FB，EF＝DF.
∴tan∠ABE＝ ＝3，BF＝ AB＝ ，
∴EF＝ .∴DE＝2EF＝3 .
∴S菱形AEBD＝ AB·DE＝ × ×3 ＝15.
（第4题）
题型三 解决与坡度有关的问题
如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽AD
＝5 m，斜坡AB的坡度i＝1∶3（指坡面的铅直高度AE
与水平宽度BE的比），斜坡DC的坡度i＝1∶1.5，已知
该拦水坝的高为6 m.
（1）求斜坡AB的长；
解：（1）∵ ＝i＝ ，AE＝6 m，
∴BE＝3AE＝18 m.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
AB＝ ＝6 m.
答：斜坡AB的长为6 m.
（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD的周长.
解：（2）如答案图，过点D作DF⊥BC于点F，可得
四边形AEFD是矩形，故EF＝AD.
（答案图）
∵AD＝5 m，∴EF＝5 m.
∵ ＝i＝ ，DF＝AE＝6 m，
∴CF＝ DF＝9 m.
∴BC＝BE＋EF＋CF＝18＋5＋9＝32（m）.
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
DC＝ ＝3 m，
∴梯形ABCD的周长为
AB＋BC＋CD＋DA＝6 ＋32＋3 ＋5＝37＋
6 ＋3 （m）.
答：拦水坝的横断面梯形ABCD的周长为（37＋6
＋3 ）m.
跟踪训练
5. 如图，商用手扶梯AB的坡比为1∶ ，已知扶梯的长
AB为12米，则小明乘坐扶梯从B处到A处上升的高度
AC为 米.
（第5题）
6
6. 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为
18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜
坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜
坡BC的坡度i＝2∶5，求AC的长度.
解：如图，过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D.
（第6题）
根据题意，得AD＝30×2＝60（cm），
BD＝18×3＝54（cm）.
∵斜坡BC的坡度i＝2∶5，
∴ ＝ ，即CD＝ BD＝135 cm.
∴AC＝CD－AD＝135－60＝75（cm）.
（第6题）(共24张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
1. 解直角三角形的概念
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角，由
直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程叫
做解直角三角形.
2. 直角三角形的边角关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的
边分别为a，b，c.
（1）三边之间的关系： .
（2）锐角之间的关系： .
a2＋b2＝c2
∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系： sin A＝ ＝ cos B， cos A
＝ ＝ sin B，tan A＝ ＝ .
（4）面积公式：S△ABC＝ ab＝ ch.（h为斜
边上的高）
3. 解直角三角形的一般解法
在直角三角形中，除直角外的五个元素中，若已知其中
的两个元素（至少有一条边），就可以求出另外三个元
素，有如下四种类型：
在Rt△ABC中，∠C＝90°
已知 选择的边角关系
斜边和一
直角边 c，a 由 sin A＝ ，求∠A；
∠B＝90°－∠A；b＝
两直角边 a，b 由tan A＝ ，求∠A；
∠B＝90°－∠A；c＝
在Rt△ABC中，∠C＝90°
已知 选择的边角关系
斜边和一
锐角 c，∠A ∠B＝90°－∠A；a＝c· sin A；
b＝c· cos A
一直角边
和一锐角 a，∠A ∠B＝90°－∠A；b＝ ；
c＝
注意：（1）在非直角三角形的问题中，往往是通过作
三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从
非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过
“补形”或“分割”的方法，构造直角三角形.
（2）在选择边角关系时常遵循以下原则：①尽量选可
以直接用原始数据的关系式；②设法选择便于计算的关
系式，若能用乘法计算就避免用除法计算.
题型一 解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是
∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角
形：
（1）c＝8，∠A＝60°；
（2）b＝2 ，c＝4.
[分析]（1）已知一锐角A和一条斜边c，求另一锐角B
用两锐角互余，求直角边a用正弦，求直角边b用余
弦；
（2）已知一直角边b和斜边c，求另一直角边a用勾股
定理，求两锐角分别用余弦和两锐角互余.
解：（1）∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∵ sin A＝ ，
∴a＝c· sin A＝8× ＝4 .
∵ cos A＝ ，∴b＝c· cos A＝8× ＝4.
（2）∵a2＋b2＝c2，
∴a＝ ＝ ＝2 .
∵ cos A＝ ＝ ＝ ，∴∠A＝45°.
∴∠B＝90°－∠A＝45°.
[方法归纳] 在求解直角三角形中的未知元素时，首先要
分析出直角三角形中的已知元素，再根据已知元素利用
勾股定理、三角函数等知识进行求解.
跟踪训练
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a＝ ，b＝
，则∠B等于（ A ）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
A
2. 在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，
∠B，∠C的对边，根据已知条件解直角三角形：
（1）a＝12，∠A＝60°；
解：（1）∵∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
∴c＝ ＝8 ，b＝ ＝4 .
（2）a＝6，b＝2 .
解：（2）c＝ ＝ ＝4 .
∵tan A＝ ＝ ，∴∠A＝60°，
∴∠B＝90°－∠A＝30°.
题型二 解直角三角形的应用
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D. 若AC＝
3 ，∠C＝45°，tan B＝3，求BD的长.
解：在Rt△ADC中，AC＝3 ，∠C＝45°.
∵ sin C＝ ，∴AD＝AC· sin C＝3 × ＝3.
在Rt△ABD中，tan B＝ ＝3，∴BD＝1.
将一副直角三角板拼成如图1所示的四边形ABCD，
一边重合.若∠CAB＝45°，∠CAD＝30°，连接
BD，则tan∠DBC＝ .
图1
[分析] 如图2，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，
设CD＝x，根据直角三角形的性质可得出BC＝AC＝
2x，DE＝ x，CE＝ x，由tan∠DBC＝ 即可求
解.
图2
跟踪训练
3. 如图，AD是△ABC的高.若BD＝2CD＝6，tan C＝
2，则边AB的长为（ C ）
A. 3 B. 3
C. 6 D. 3
（第3题）
C
4. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D为BC边上
一点，且满足∠DAB＝∠C.
（1）求证：BA2＝BD·BC.
（1）证明：∵∠B＝∠B，
∠DAB＝∠C，
∴△ABD∽△CBA，
∴ ＝ ，
∴BA2＝BD·BC.
（2）若AB＝3，BC＝4，求tan∠DAC的值.
（2）解：如图，过点D作DH⊥AC于点H.
（第4题）
∵BA2＝BD·BC，AB＝3，BC＝4，
∴32＝4BD，∴BD＝ ，
∴CD＝BC－BD＝4－ ＝ .
∵AC＝ ＝5，
∴ sin C＝ ＝ ，即 ＝ ，∴HD＝ .
即 ＝ ，∴CH＝ ，
∴AH＝AC－CH＝5－ ＝ ，
∴tan∠DAC＝ ＝ .
（第4题）
