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专题 圆中利用转化思想求角度【通性通法】
类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
1．如图，点A、B、S在圆上，弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
【思路点拔】设圆心为O，连接BO并延长交圆于点C，连接AC，证明△ABC是等腰直角三角形，得到∠C＝45°，根据∠C和∠ASB都是所对的圆周角，得到∠ASB＝∠C＝45°．
解：设圆心为O，连接BO并延长交圆于点C，连接AC，如图
设圆的半径为x，
则BC＝2x，ABx，
∵BC为圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴ACx，
∴AC＝AB，∠BAC＝90°，
∴∠C＝45°，
∵∠C和∠ASB都是所对的圆周角，
∴∠ASB＝∠C＝45°，
故选：B．
2．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
【思路点拔】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA＝OB，可求出∠ABO的度数
解：连接OA、OC，
∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，
∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，
∵OA＝OB（都是半径），
∴∠ABO＝∠OAB（180°﹣∠AOB）＝55°．
故选：B．
3．如图，点A，B，D，C是圆O上的四个点，连接AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD＝20°，∠AOC＝90°，求∠E的度数．（ ）
A．30° B．35° C．45° D．55°
【思路点拔】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ABC∠AOC＝45°，∠BCD∠BOD＝10°，然后利用三角形外角性质求∠E的度数．
解：连接BC，如图，
∠ABC∠AOC90°＝45°，
∠BCD∠BOD20°＝10°，
而∠ABC＝∠E+∠BCD，
所以∠E＝45°﹣10°＝35°．
故选：B．
4．如图，点A，B，C，D都在⊙O的圆周上，AB∥OC，OA∥BC，则∠BDC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．60°
【思路点拔】连接OB，根据题意求出四边形ABCO是菱形，根据菱形的性质、等腰三角形的性质求出∠OBC＝∠OCB＝∠COB，则△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BOC＝60°，再根据圆周角定理即可得解．
解：如图，连接OB，
∵AB∥OC，OA∥BC，
∴四边形ABCO是平行四边形，∠AOB＝∠OBC，
∵OA＝OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴∠AOB＝∠COB，
∴∠COB＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠COB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BDC∠BOC＝30°，
故选：C．
5．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且，∠E＝70°，则∠ABC的度数为 40° ．
【思路点拔】连接AE、BD，由圆周角定理得出∠AEB＝90°，进而结合题意得出∠AED＝20°，由圆心角、弧、弦的关系定理∠CBD＝∠DBA＝∠AED＝20°，即可求出∠ABC的度数．
解：如图，连接AE、BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠DEB＝70°，
∴∠AED＝∠AEB﹣∠DEB＝20°，
∵，
∴∠CBD＝∠DBA＝∠AED＝20°，
∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝20°+20°＝40°，
故答案为：40°．
类型二 构造圆内接四边形转化角
6．如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（ ）
A．140° B．70° C．110° D．80°
【思路点拔】先根据四边形的内角和为360°求∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠P的度数，最后由四点共圆的性质得结论．
解：如图，在优弧AB上取一点P，连接AP，BP，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∵∠DCE＝40°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠P∠AOB＝70°，
∵A、C、B、P四点共圆，
∴∠P+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
故选：C．
7．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝（ ）
A．4 B． C． D．
【思路点拔】作所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，先利用圆内接四边形的性质得到∠D＝180°﹣∠ACB＝45°，再根据圆周角定理得到∠AOB＝90°，则可判断△AOB为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到AB的长．
解：作所对的圆周角∠ADB，连接OA、OB，如图，
∵四边形ACBD为圆的内接四边形，
∴∠D+∠ACB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠ACB＝180°﹣135°＝45°，
∵∠AOB＝2∠D＝90°，OA＝OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴ABOA＝2．
故选：C．
8．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝ 116 °．
【思路点拔】连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
解：连接AC、CE，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，
∴∠CAE+∠D＝180°，
∴∠CAE＝180°﹣128°＝52°，
∵AC＝AE，
∴，
∴，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，
∴∠AEC+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣64°＝116°，
故答案为：116．
类型三 利用直径构造直角三角形转化角
9．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（ ）
A．34° B．36° C．46° D．54°
【思路点拔】连接AD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠C＝∠A，然后利用互余计算出∠A，从而得到∠C的度数．
解：连接AD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣54°＝36°，
∴∠C＝∠A＝36°．
故选：B．
10．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．32° B．28° C．16° D．14°
【思路点拔】由圆周角定理得到∠ADB＝90°，求出∠BDC＝106°﹣90°＝16°，由圆周角定理得到∠CAB＝∠BDC＝16°．
解：∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝106°，
∴∠BDC＝106°﹣90°＝16°
∴∠CAB＝∠BDC＝16°．
故选：C．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点；
（2）若∠C＝70°，求∠BOD的度数．
【思路点拔】（1）连接AE，由圆周角定理推出AE⊥BC，由等腰三角形的性质即可证明E是BC的中点；
（2）由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝70°，求出∠BAC＝40°，由圆周角定理推出∠BAC∠BOD，即可求出∠BOD＝80°．
（1）证明：连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴E是BC的中点；
（2）解：∵AB＝AC
∴∠B＝∠C＝70°
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝40°，
∵∠BAC∠BOD，
∴∠BOD＝80°．
12．如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证∠A＝∠D；
（2）若的度数为108°，求∠E的度数．
【思路点拔】（1）连接BC，首先证明BA＝BD，即可解决问题；
（2）根据的度数为108°，可得∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，所以，即可求出答案．
（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴即AD⊥BC，
又AC＝CD，
∴AB＝BD，
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵的度数为108°，
∴∠EBA＝54°，
又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，
∴，
∴∠E＝∠A＝27°．中小学教育资源及组卷应用平台
专题 圆中利用转化思想求角度【通性通法】
类型一 利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角
1．如图，点A、B、S在圆上，弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB的度数是（ ）
A．60° B．45° C．30° D．22.5°
2．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（ ）
A．70° B．55° C．45° D．35°
3．如图，点A，B，D，C是圆O上的四个点，连接AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD＝20°，∠AOC＝90°，求∠E的度数．（ ）
A．30° B．35° C．45° D．55°
4．如图，点A，B，C，D都在⊙O的圆周上，AB∥OC，OA∥BC，则∠BDC的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．60°
5．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，且，∠E＝70°，则∠ABC的度数为 ．
类型二 构造圆内接四边形转化角
6．如图，点A、B、C在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，若∠DCE＝40°，则∠ACB的度数为（ ）
A．140° B．70° C．110° D．80°
7．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝（ ）
A．4 B． C． D．
8．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC＝AE，∠D＝128°，则∠B＝ °．
类型三 利用直径构造直角三角形转化角
9．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠C的度数为（ ）
A．34° B．36° C．46° D．54°
10．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（ ）
A．32° B．28° C．16° D．14°
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．
（1）求证：点E是BC的中点；
（2）若∠C＝70°，求∠BOD的度数．
12．如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证∠A＝∠D；
（2）若的度数为108°，求∠E的度数．
