海南省文昌市文昌中学2024-2025学年高三上学期第二次月考试题 数学（含答案）

2024—2025学年度第一学期高三第二次月考试题
数 学
时量：120分钟 分值：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若复数z满足 （i为虚数单位），则z的模 |z|＝（ ）
A． B．1 C． D．5
3．“” 是 “” 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数f(x)＝ ，则f (2024)的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．已知，，，则（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a > c>b
6．已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－b有三个不同的零点，则实数b的取值范围为（ ）
A．(0，1] B．[0，1] C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
7．若α∈，tan 2α＝，则tan α＝（ ）
A． B． C． D．
8．挂钟的时针和分针从凌晨0时起到下午14点所在的14小时内，分针与时针会重合（ ）次（注意：0时开始的那次重合不计算在内）
A．11
B．12
C．13
D．14
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是4 B．的最大值是1
C．的最小值是1 D．的最大值是
10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．函数图象向右平移个单位后得到
函数的图像
D．函数在区间上是减函数
11．对于已知函数，下列论述正确的有（ ）
A．若，则函数的单调递减区间为
B．若函数在区间上是增函数，则
C．当，时，函数图像的对称轴为
D．当，时，函数图像的对称中心为
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分）
12．函数是定义在上的奇函数，当时，，则＝ 。
13．如图是某个函数的图象在的一段
图像。写出函数在时满足图像的
一个解析式＝__________（写出一个即可）。
14．设（其中，为任意角），则求下列：
（1）当时，且时，的取值范围为__________；
（2）当时，且时，的取值范围为__________。
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。）
15.（本小题满分13分）
某公园为了提升公园形象，提高游客旅游的体验感，他们更新了部分设施，调整了部分旅游线路。为了解游客对新措施是否满意，随机抽取了100名游客进行调查，男游客与女游客的人数之比为2∶3，其中男游客有35名满意，女游客有15名不满意。
满意 不满意 总计
男游客 35
女游客 15
合计 100
（1）请完成2×2列联表，依据表中数据，以及小概率值的独立性检验，能否认为游客对公园新措施满意与否与性别有关
（2）从被调查的游客中按男、女分层抽样抽取5名游客，再随机从这5名游客中抽取3名游客征求他们对公园进一步提高服务质量的建议，其中抽取男游客的人数为。求出的分布列及数学期望。
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.010 0.005
2.706 3.841 6.635 7.879
16.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若把的图像先向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到 的图像。则当时，求使得时所有的取值。
17.（本小题满分15分）
在锐角△ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知
（1）求角C；
（2）若，AB边上的中线长为，求△ABC的面积S.
18.（本小题满分17分）
已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点。
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线的斜率为，求弦长；
（3）记直线的斜率分别为，
证明：是定值。
19.（本小题满分17分）
已知函数，
（1）若，时，求的极值；
（2）若时，
①证明：有唯一零点，且；
②若我们任取开始，实施如下步骤：
在处作曲线的切线，交轴于点；
在处作曲线的切线，交轴于点；……。
在处作曲线的切线，交轴于点；
可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值.
设，求的解析式(用表示)；
并证明：当，总有.
2024—2025学年度第一学期高三第二次月考答案
数 学
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A C D D A B
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 BD BCD A D
【部分选择题解析】
4．因为f(x)＝所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)，
又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1. 故选C.
5．由题得a>1 ，b<0. 06．依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，
即f(x)＝b有三个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有三个交点，
由函数y＝f(x)可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；
当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；
当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；
当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．
结合图象，可知实数b的取值范围为(1，＋∞)．故选D
7．∵tan 2α＝∴tan 2α＝＝＝，
∵α∈，∴cos α≠0，∴＝，解得sin α＝，
∴cos α＝＝，∴tan α＝＝.
8．分针的角速度, 时针的角速度 ,
所以，
因为14小时为， 。 故重合12次
9．对于A：因为正数，满足，
所以，
当且仅当，即时取等号，故A错误；
对于B：，所以，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C：因为，即，
且，，
由抛物线的性质可得，当时，最小值为，故C错误；
对于D：由C可得，当时，
最大值为，故D正确；故选：BD
10．由图可得，，，解得， 又函数图象经过点，
则，即，
因，故，解得，故. 故A错误；
对于B，当时，，此时函数取得最小值，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，将函数在区间上是减函数，
当时，，故D正确。
11．. 则A对；
在区间上恒成立，即 即, 故B错；
三次函数图像没有对称轴，故C错；对于D有两种解法：
解法一：函数，为奇函数，则
关于（0,0）对称，所以关于（1,0）对称，故D对。
解法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，由，
于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，
故，故D对。
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分）
12． 13．，，, 或者(写一个，答案不唯一)
14．
【部分填空题解析】
（1）当,
因为，，
（2）当x=8时，
令, ,则,则
四、解答题（本题共5小题，共77分。）
15．解：（1）因为调查的男游客人数为：，
所以，调查的女游客人数为，
于是可完成列联表如下：
满意 不满意 总计
男游客 35 5 40
女游客 45 15 60
合计 80 20 100
………………（2分 错1个扣1分）
零假设为：游客对公园新措施满意与否与性别无关.根据列联表中的数据，得：
………………（5分，公式给1分）
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即游客对公园新措施满意与否与性别无关…（6分）
（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人， ……（7分）
依题意可知的可能取值为0，1，2， ……（8分）
并且服从超几何分布，即，，
. …………（11分 每对一个给1分）
所以的分布列为：
0 1 2
…………（12分）
. …………（13分）
16．解：（1）因为
…………（1分）
…………（2分）
…………（3分）
， …………（4分）
所以的最小正周期， …………（5分）
令，，
解得，， …………（7分）
所以函数的单调递增区间为，. …………（7分）
（2）由已知可得 …………（8分）
， …………（9分）
解得或 …………（10分）
或 …………（11分）
时，， 时，， （15分，对1个1分）
17．解：（1）由 得（2分）
所以， …………（3分）
即 …………（4分）
又，所以， …………（5分）
又，得 …………（7分）
（2）由余弦定理，得，
即①， …………（9分）
设的中点为，则两边同时平方
可得 …………（10分）
即：，即：② …（12分）
由①可得：， …………（13分）
于是：的面积 ……（15分）
18.（1）解：由双曲线的焦距为，得，
解得，所以双曲线的方程为 …………（4分）
（2）解：设直线的方程为,
与双曲线的方程联立得： …………（5分）
则， …………（7分）
所以：. …………（9分）
（3）证明：方法不唯一，可消x，也可消y
消x的方法：
依题意，设直线的方程为
，，
(
T
)由消去x并整理得
，…（10分）
由直线与双曲线的右支交于两点，
得可得 ，
解得， …………（12分）
则，，即…（13分）
而，
所以 …………（14分）
…………（16分）
为定值. …………（17分）
消y的方法：
若直线斜率不存在，则方程为,
与双曲线的方程联立得：.
所以，所以 …………（10分）
若直线斜率存在，设直线的方程为,
与双曲线的方程联立得：
则， …………（11分）
,所以 或（12分）
……（14分）
因为，，代入得到： …………（17分）
19.（1）解： ,则 …………（1分）
…………（3分）
故当时，有极大值f 无极小值 …………（4分）
（2）①证明：，定义域为，
所以，在上恒成立，
所以在上单调递增。 …………（5分）
因为 …………（6分）
， …………（7分）
所以，存在唯一，使得，
即：有唯一零点，且. …………（8分）
②解：由已知，
所以，曲线在处的切线斜率为，……（9分）
所以，曲线在处的切线方程为
，
即 …………（10分）
令得 …………（11分）
所以，切线与轴的交点，即，
所以，. …………（12分）
对任意的，由已知，曲线在处的切线方程为：
，故令，
令
所以，，
所以，当时，单调递增，
当时，单调递减；
所以，恒有，
即恒成立，当且仅当时等号成立， ………（14分）
另一方面，由（i）知，，且当时，，
（若，则，
故任意，显然矛盾）
因为是的零点，所以
因为为单调递增函数，
所以，对任意的时，总有
又因为，所以，对于任意，均有，
所以，
所以，
综上，当，总有 …………（17分）