2024-2025学年福建省福州市福建师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建师大附中高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数是实数，则( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从正态分布，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知一个底面内口直径为的圆柱体玻璃杯中盛有高为的水，向该杯中放入一个半径为的实心冰球和一个半径为的实心钢球，待实心冰球融化后实心钢球恰好淹没在水中实心钢球与杯中水面、杯底均相切，若实心冰球融化为水前后的体积变化忽略不计，则实心钢球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知点都是图象上的点，点，到轴的距离均为，把的图象向左平移个单位长度后，点，分别平移到点，，且点，关于原点对称，则的值不可能是( )
A. B. C. D.
6.已知是圆上的两个动点，且，若点满足，点在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.某地计划对如图所示的半径为的直角扇形区域按以下方案进行扩建改造，在扇形内取一点使得，以为半径作扇形，且满足，其中，则图中阴影部分的面积取最小值时的大小为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，，正实数，，满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为坐标原点，焦点为的抛物线：过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则( )
A.
B.
C.
D. 直线与抛物线的准线相交于点
10.已知，，其中，若，则( )
A. B.
C. D.
11.一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面若一个直角四面体的三条直角棱长分别，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则( )
A. 直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记一组样本数据，，，，，，，，的中位数为，平均数为，则 ______．
13.已知等差数列的前项积为，，，，则当取得最小值时， ______．
14.已知双曲线与直线交于，两点点位于第一象限，点是直线上的动点，点，分别为的左、右顶点，当最大时，为坐标原点，则双曲线的离心率 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的周长；
若函数的图象上任意一点关于直线的对称点都在函数的图象上，且存在，使成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目某小学为丰富同学们的课外活动举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者最终获胜造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
若，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
设采用局胜制时乙最终获胜的概率为，采用局胜制时乙最终获胜的概率为，若，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形且，是边长为的等边三角形，，，分别为，，的中点，与交于点．
证明：平面；
若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率．
若椭圆过点，求椭圆的标准方程．
若直线，均过点且互相垂直，直线交椭圆于，两点，直线交椭圆于，两点，，分别为弦和的中点，直线与轴交于点，设．
求；
记，求数列的前项和．
19.本小题分
若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角如图，已知中，，，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角．
若，且满足，求的大小．
若为锐角三角形．
证明．
若平分，证明：．
参考答案
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15.解：由，得，，
所以切线的斜率为，
所以切线的方程为，即．
令，得，令，得，
所以切线与轴交于点、与轴交于点，
所以切线与坐标轴围成的三角形的周长为．
设，则，
由题意知在的图象上，所以，即；
由，得，即，
因为存在，使成立，
所以存在，使成立．
设，则，
又，当且仅当时等号成立，所以单调递增，
所以当时，，
所以，即实数的取值范围是．
16.解：因为，所以比赛采用局胜制，
所以的所有可能取值为，，
则，，
故的分布列为：
所以；
由题意知，
，
由，得，
解得，
即的取值范围为．
17.解：证明：设与交于点，连接．
因为，分别为，的中点，底面是菱形，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
因为为的中点，所以为的中点，因为为的中点，所以，
又平面，平面，所以平面；
连接，因为是边长为的等边三角形，为的中点，所以，．
因为底面是菱形且，所以，．
因为∽，所以，所以．
因为，所以，所以，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，分别以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
解得，取，则，所以，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
18.解：因为，
又，
所以，
此时椭圆的方程为，
因为椭圆过点，
所以，
解得，
则椭圆的标准方程为；
当直线，中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为时，
此时直线与轴重合，不符合题意，
所以直线，的斜率均存在且不为，
不妨设直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，，
同理得，，
因为，，三点共线，
所以，
易知，
所以，
因为，
所以；
由知，
所以，
则数列是以首项为，公比为的等比数列，
则数列的前项和．
19.解：若，即，得，
点满足，则，
在和中，，，
所以与相似，且，
所以，即，
由余弦定理得：，且，
得，且，
所以；
证明：在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
，
，
三式相加可得：，
在内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：
，
在和内，同理：，
三式相等：，
因为，
由等比性质得：，
由式可证得：；
因为，
即，
所以，
在，，中，
分别由余弦定理得：，
三式相加整理得，
，
，
若平分，则，
所以，
又由余弦定理可得：，
由得：，
所以，
所以．
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