2024-2025学年海南省五指山市海南省农垦实验中学高三（上）摸底数学试卷（含答案）

2024-2025学年海南省农垦实验中学高三（上）摸底数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.不等式“”成立，是不等式“”成立的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设函数，则等于( )
A. B. C. D.
4.下列命题中正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
5.已知定义在上的奇函数，满足，则的值为( )
A. B. C. D.
6.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若命题“，”为假命题，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知奇函数在上为增函数，且，则关于的不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 函数与是同一个函数
B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为
C. 不等式的解集为
D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是
10.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是( )
A. B. 在定义域上为增函数
C. 当时， D. 不等式的解集为
11.已知定义在上的函数满足，当时，，，则( )
A. B. 为奇函数
C. 在上单调递减 D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是等比数列，为其前项和．若是，的等差中项，，则______，______．
13.函数的最小值为______．
14.已知函数，若，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知内角，，的对边分别为，，，设．
求；
若，的面积为，求的值．
16.本小题分
已知，求函数的解析式；
已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；
已知，求的解析式．
17.本小题分
小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了元，然后发给朋友，如果猜中，将获得红包里的所有金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、平分红包里的金额；如果未猜中，将当前的红包转发给朋友，如果猜中，、和平分红包里的金额；如果未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设、、猜中的概率分别为，，，且、、是否猜中互不影响．
求恰好获得元的概率；
设获得的金额为元，求的分布列及的数学期望．
18.本小题分
如图，棱柱的所有棱长都为，，侧棱与底面的所成角为，平面，为的中点．
证明：；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为．
求椭圆的标准方程；
如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点，，，两点都在轴上方，且证明直线过定点，并求出该定点坐标．
参考答案
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15.解：原式化简可得：，
整理得：，
由正弦定理可得：，
，
，；
，
，
，
．
16.解：设，则，
，即，
所以，
所以；
因为是二次函数，
所以设，
由，得．
由，
得，
整理得，
所以，所以，
所以；
用替换中的，
得，
由，
解得．
17.解：若恰好获得四元红包，则结果为未猜中，未猜中，猜中，
故A恰好获得元的概率为；
的可能取值为，，，，
则，，
，，
所以的分布列为：
数学期望为．
18.证明：由题意知，底面为菱形，则，
平面，平面，
，
又，，平面，
平面，
平面，
．
解：平面，
就是侧棱与底面的所成角为，即，
，，
作，则，
由知，，
，，平面，
平面，
又平面，
，
故或其补角即为平面与平面夹角，
由知，平面，
平面，
，
在中，，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：由已知可得，解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
证明：当直线的斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不符合题意，
所以直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立方程，消去可得，
所以，因为，
所以，即，
整理可得，所以，
所以直线的方程为，
所以直线过定点．
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