5.1.1 任意角 课件(共26张PPT) 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共26张PPT)
5.1.1 任意角
学习目标
1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念；
2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角；
3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题；
4.能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限.
新课导入
初中是如何定义角的？
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形，角的范围是0°～360°.
顶点
边
边
新课讲授
但是生活中很多实例不在该范围内.
①跳水运动员向内、向外各转体3圈；
②扳手顺时针旋转3圈、逆时针旋转2圈.
这些例子不仅不在范围0°～360° ，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，那么用什么办法才能推广到任意角呢？
关键是用运动的观点来看待角的变化.
1.角的概念 “旋转”形成角
角可以看成一条 绕着它的端点 所成的 .
2.角的表示
如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边： ，终边： ，顶点： .
OA
射线
旋转
图形
OB
O
一、角的概念的推广
用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）
(1)旋转中心：作为角的顶点.
(2)旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；
(3)旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360 ，角度的绝对值可大于360 .
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按______方向旋转形成的角
零角 一条射线____做任何旋转形成的角
3.角的分类
逆时针
顺时针
没有
4.任意角
我们把角的概念推广到了 ，包括 、 和 .
5.相等角：旋转方向相同、旋转量相等的两个角叫做相等角.
相反角：旋转方向相反、旋转量相等的两个角叫做相反角.角α的相反角记为 .
任意角
正角
－α
负角
零角
6.角的运算
（1）150°+ 50°=200°
几何意义：把150°的终边，逆时针旋转50°后，所得到的角
（2）150°- 90°=150°- 90°= 60°
几何意义：把150°的终边，顺时针旋转90°后，所得到的角
例1 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A.120° B.－120°
C.－60° D.60°
B
解析：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，
即为-×360°＝-120°.
二、“象限角”
我们往往在平面直角坐标系中来讨论角.
为了研究方便，使角的顶点重合于坐标原点，
使角的始边重合于x轴的正半轴，
这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，我们称之为轴线角)
例如：30 是第一象限角，
585 是第三象限角，
2000 是第二象限角.
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
-1
始边　
终边
A
B
o
x
y
o
-50°
第四象限角
x
y
o
405°
第一象限角
x
y
o
210°
第三象限角
x
y
o
-200°
第二象限角
x
y
o
轴线角
例2 -50°，405°，210°, -200°，-450°分别是第几象限的角？
思考：1.第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
2.锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？
3.第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一定是钝角吗？
1.象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.
2.锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.
3.第一象限角不一定是锐角，如390°；
轴线角不一定是直角，如180°；
第二象限角不一定是钝角，如-210°.
练1.给出下列四个命题:①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.其中真命题有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
解析：因为-90°<-75°<0°,180°<225°<270°,
360°+90°<475°<360°+180°,-360°<-315°<-270°,
所以这四个命题都是真命题.
问1：给定一个角，它的终边是否唯一？
给定一个角，它的终边唯一；
问2：对于直角坐标系内的任意一条射线，以它为终边的角是否唯一？
不唯一，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°.
三、终边相同的角
-32°，328°，-392°是第几象限的角？这些角有什么内在联系？
x
y
328°
-392°
-32°
所有与-32°角终边相同的角，连同-32°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？
与α终边相同角的集合为{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}
{β｜β＝-32°＋k·360°，k∈Z}
与α终边相同角的集合怎么表示？
都是第四象限的角，这些角的终边相同，相差360°的整数倍，终边在此处的角有无数个.
注意以下四点：
① k∈Z；
② 是任意角；
③ k·360 与 之间是“+”号，如k·360 －30 ,应看成k·360 +(－30 )；
④ 终边相同的角，角度不一定相等。
相等的角，终边一定相同，
终边相同的角有无数多个，它们相差360 的整数倍.
与α终边相同角的集合为{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}
角度1.终边相同的角
例3 写出与75°角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式360°≤β<
1 080°的元素β写出来.
解：与75°角终边相同的角的集合为S={β|β=k·360°+75°，k∈Z}.
因为360°≤β<1 080°，所以360°≤k·360°+75°<1 080°，
解得≤k＜2，
又k∈Z，所以k=1或k=2.
当k=1时，β=435°；当k=2时，β=795°.
综上所述，β=435°或β=795°.
角度2.终边在某条直线上的角的集合
例4 写出终边在如图所示的直线上的角的集合.
解：(1){β|β=n·180°，n∈Z}.
（2）{β|β=135°+n·180°，n∈Z}.
（3）{β|β=45°+n·90°，n∈Z}.
归纳总结
角的终边的位置 集合表示
终边落在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z}
终边落在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
终边落在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}
终边落在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}
终边落在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
终边落在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
终边落在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
角度3.区域角的求解
例5 如图所示，写出顶点在原点，始边为x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).
解：对于阴影部分，先取-60°~75°这一范围，
再结合其规律性可得终边落在阴影部分内的角的集合为{α|-60°+k·360°≤α≤75°+k·360°， k∈Z}.
变式：如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合是什么
{α|n·180°+60°≤α归纳总结
象限角 集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)正角、负角、零角的概念.
(2)终边相同的角的表示.
(3)象限角、区域角的表示.
当堂检测
1.(多选)下列四个角为第二象限角的是( )
A.－200° B.100° C.220° D.420°
2.与-468°角的终边相同的角的集合是(　　)
A.{α|α=k·360°+456°，k∈Z}
B.{α|α=k·360°+252°，k∈Z}
C.{α|α=k·360°+96°，k∈Z}
D.{α|α=k·360°-252°，k∈Z}
AB
B
当堂检测
3.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A.{α|－45°≤α≤120°}
B.{α|120°≤α≤315°}
C.{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
D.{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
4.若角的终边落在第三象限，则角的终边落在　　 　　　象限.
C
第二或第四