2024-2025学年内蒙古赤峰市敖汉旗箭桥中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古赤峰市敖汉旗箭桥中学高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知点，，，，则异面直线与所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
3.已知圆心为的圆与轴交于、两点，，则该圆的方程是( )
A. B.
C. D.
4.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
6.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为( )
A. B. C. D.
7.已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线：与交于，两点，且，则( )
A. B. C. D.
8.若斜率为的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，设，分别是正方体的棱上两点，且，，其中正确的命题为( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 异面直线与所成的角为
C. 平面
D. 直线与平面所成的角为
10.身高各不相同的六位同学，，，，，站成一排照相，则说法正确的是( )
A. 与同学不相邻，共有种站法
B. ，，，四位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法
C. 不在排头，不在排尾，共有种站法
D. A、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共有种站法
11.已知，，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在处的切线方程为
C. 在上单调递增
D. 方程有两个不同的解
12.已知数列满足，，则( )
A. 数列是等比数列
B.
C. 数列的前项和
D. 数列的前项和
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，则 ______．
14.某小吃店的日盈利单位：百元与当天平均气温单位：之间有如下数据：
百元
由表中数据可得回归方程中试预测当天平均气温为时，小吃店的日盈利约为______百元．
15.若，则的值______．
16.若点是圆上任意一点，则的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
“五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青、老年游客各名进行调查，得到下表：
满意 不满意
青年
老年
依据小概率值的独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；
若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取人，记其中对景区不满意的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，其中．
18.本小题分
如图，在四棱台中，底面是边长为的正方形，平面，，，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的大小．
19.本小题分
已知椭圆的焦点分别是，，点在椭圆上，且．
求椭圆的标准方程；
若直线与椭圆交于，两点，且，求实数的值和的面积．
20.本小题分
某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分进行了统计，得到如下的频率分布直方图．
若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分同一组中的数据用该组区间的中点值代表，求的值；
本次活动，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额．
参考数据：，，．
21.本小题分
已知数列满足．
求数列的通项公式；
已知数列满足求数列的前项和．
22.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若恰有两个零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：零假设：“是否满意”与“游客年龄”无关联，
根据题意，由列联表中的数据，可得，
所以在的独立性检验中，可以推断不成立，即认为“是否满意”与“游客年龄”有关联．
由题意，任抽取人对景区不满意的概率为，
所以随机变量，
所以，，，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：


所以．
18.解：证明：底面是边长为的正方形，平面，
故DD，，两两垂直．
以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
在四棱台中，，，为的中点，
故D，，，，，，，
则，
所以，即，
且平面，平面，
故D平面．
由知，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，解得，
设平面的法向量为，
则，即
令，解得，
故，
故平面与平面的夹角为．
19.解：设椭圆的标准方程为，
由题意可知 ，解得，
所以椭圆的标准方程为 ，
设，，
联立，消去，可得，
，则或，
由韦达定理可得：，，
所以，
因为，，即，
所以，解得：或，
经检验知，所以的值为或，
当时，直线方程为，原点到直线的距离，
因为，，
所以，
所以，
当，由对称性可得，
所以的面积为．
20.解：根据题意可得，
所以，
故
；
参与活动的每位居民得分低于分的概率为，
得分不低于分的概率为．
的所有可能取值分别为，，，．
，，
，，
所以的概率分布为：
所以，
所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元．
21.解：因为，
当时，，
当时，，
得，即，
因为符合，所以．
由知，
所以，
所以，
两式相减得，，
所以．
22.解：由题意知：定义域为，，
当时，，为上的减函数，
当时，由，解得：，
当时，；当时，，
的单调递减区间为，单调递增区间为，
综上所述：当时，为上的减函数；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
由上问知道，当时，为上的减函数，不可能恰有两个零点；
当，的单调递减区间为，单调递增区间为，
则的极小值点为，极小值为，
草图如下，
若恰有两个零点，只需要最小值在轴下方即可，即，
解得，又，
故的取值范围为
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