2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）调研数学试卷（三）（含答案）

2024-2025学年山东省青岛五十八中高三（上）调研数学试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设、为向量，则“”是“、的夹角是锐角”的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
3.函数在内有个零点．
A. B. C. D.
4.已知等比数列为递增数列，记，分别为数列，的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在直角梯形中，，若，分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.在中，角的对边分别为、、，若，是的角平分线，点在上，，，则( )
A. B. C. D.
8.李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，给出下列结论：
；
；
设，则；
设，则有最大值，但没有最小值．
其中所有正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若和都为递增数列，则
10.设函数的导函数为，且满足，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.在中，内角，，所对的边分别为，，，且则下列结论正确的是( )
A.
B. 若，则该三角形周长的最大值为
C. 若的面积为，则有最小值
D. 设，且，则为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角、、的对边分别为、、，若，又的面积，且，则 ______．
13.已知为数列的前项和，为数列的前项积，，则 ______．
14.用符号表示不超过的最大整数，例如：，设有个不同的零点，，，若，则的范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，其中．
若函数在区间内有且仅有个零点，求的取值范围；
当时，若对任意实数，存在实数，使成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求，，并求证：时，；
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
在；；设的面积为，且这三个条件中任选一个，补充在下面横线上并加以解答如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
在中，角、、的对边分别为、、，已知_____，且，
若，求的面积；
若为锐角三角形，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，，．
讨论的单调性；
若有两个零点，求的取值范围；
若对任意恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数，总存在，使得，，其中令为满足的所有中的最大值，为满足的所有中的最小值．
若无穷递增数列的前四项是，，，，求和的值；
若是无穷等比数列，，公比为大于的整数，，，求的值；
若是无穷等差数列，，公差为，其中为常数，且，，求证：，，，，和，，，，都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．
参考答案
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15.解：由题意，
在内有且仅有个零点，
方程在内恰有三个不相等的实数根．
即与直线在内恰有三个交点．
令，则，
则与直线在内恰有三个交点．
，解得，
故的取值范围为；
当时，
当时，，
，
，
由题意，对任意实数，存在，使得成立，
即成立，
，
故实数的取值范围为．
16.解：由，可得，解得，
当时，，解得，
证明：当时，由，可得，
上面两式相减可得，
当时，由，可得，
上面两式相减可得，
即为，化为，
由时，，解得，
由，，可得上式对也成立，
综上，可得时，；
由可得时，，
即，
则，当也成立，
可得数列是首项和公比均为的等比数列，
则；
，
则数列的前项和为．
17.解：若选，设的外接圆的半径为，
由正弦定理可得，，，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，又，所以，
所以，
所以，
又，，所以，的面积；
若选，由，
所以，
所以，
所以，
所以，即，又，
所以，，
所以，又，，
所以，所以的面积；
若选，因为，又，
所以，
又，
所以，所以，又，所以，
所以，
所以，又，，
所以，所以的面积；
由，，所以，
因为，
所以，
，
因为为锐角三角形，，
所以，，所以，所以，，
设，则，，
则，
所以的取值范围为．
18.解：的定义域为，
，
令，解得或，
当时，时，；时，；
故的递减区间是，递增区间是；
当时，时，；时，；
故的递增区间是和，递减区间是；
当时，，故的单调递增区间为；
当时，时，；时，；
故的递增区间是和，递减区间是；
综上，时，的递减区间是，递增区间是；
时，的递增区间是，无递减区间；
时，的递增区间是和，递减区间是；
时，的递增区间是和，递减区间是．
令得，设，则，
当时，，递减；当时，，递增，
，因为时，时，
要使直线与函数的图象有两个交点，则，即，
故的取值范围是；
由得，
当时上式显然恒成立，
当时可转化为，
设，则，
设，，则，
因为所以，所以在上递增，所以，
所以，所以在上递增，所以
，
要使恒成立，则，
综上，的取值范围是．
19.解：，，，，又，，
且，且，，，
由题意知，，，且，
，，，
，且，
同理，，且，，且，
又，，
即，且，
，，，
当时，，当时，，
同理，当时，，当时，，
又，，且，
，，，
解得或．
证明：由题意知，，为常数，且且，
为单调递增数列，又，，，
，，，，
，，，，
，，且且，
，，，
，，
，，
又 为常数，且，
为等差数列，为等差数列，
又，，
，．
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