2024-2025学年福建省福州市格致中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省福州市格致中学高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知样本数据，，，的平均数和标准差均为，则数据，，，的平均数与方差分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.已知函数，则曲线在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线上一点到其焦点的距离为，该抛物线的顶点在直线上的射影为点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
6.已知函数图象的对称轴方程为，则( )
A. B. C. D.
7.已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知，，，是半径为的圆上的四个动点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项式且，，的展开式中第项为，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知定义在上的函数，，其中，分别是将一枚质地均匀的骰子抛掷两次得到的点数设“函数的值域为”为事件，“函数为偶函数”为事件，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.一般地，我们把三组对棱分别相等的四面体叫做等面四面体下列结论正确的是( )
A. 若一个四面体的四个面的周长都相等，则该四面体是等面四面体
B. 等面四面体的一组对棱中点的连线与这组对棱都垂直
C. 三组对棱长度分别为，，的等面四面体外接球的表面积为
D. 过等面四面体任一顶点的三个面且以该点为顶点的三个角之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列为等差数列，，则 ______．
13.某金属晶体的原子排列的正八面体最密堆积表示金属晶体原子的六个等径球按如图所示的方式排列：相邻的两个等径球相切且六个球体中心的连线成正八面体形状，如图依然存在空隙最密堆积中六个球所围成的中间空着的地方若等径球的半径为，空隙中能容纳的最大外来原子图中位于中间的小球的半径为，则 ______．
14.表示三个数中的最大值，对任意的正实数，，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求的最大值，并判断此时的形状；
若，，求的面积．
16.本小题分
如图，已知在多面体中，，，平面，平面，
求证：平面平面；
若，，求二面角的余弦值．
17.本小题分
某学校在年度体育节活动中设置了一项趣味轮滑比赛，比赛设置了个动作项目组，其中项目组一中有个规定动作，项目组二中有个自选动作，比赛规则：每位运动员从个项目组的个动作中选择个参赛，最后得分越多者，排名越靠前评分规则：对于项目组一中的每个动作，若没有完成得分，若完成得分对于项目组二中的动作，若没有完成得分，若只完成个得分，若完成个得分已知运动员甲完成项目组一中每个动作的概率均为，完成项目组二中每个动作的概率均为，且每个动作是否能完成相互独立．
若运动员甲选择项目组一中的个动作参赛，设甲的最后得分为，求的分布列与数学期望；
以最后得分的数学期望为依据，判断运动员甲应选择怎样的方案参赛，请说明你的理由．
18.本小题分
已知为坐标原点，，是双曲线上的两个动点．
若点，在双曲线的右支上且直线的斜率为，点在双曲线的左支上且，，求双曲线的渐近线方程；
若，，成等比数列，，证明直线与定圆相切．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性．
给定，且，对于两个大于的正实数，，若存在实数满足：，，使得不等式恒成立，则称函数为区间上的“优化分解函数”若，函数为区间上的“优化分解函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：由及正弦定理，得，
所以，所以，
所以，
易得，则，
所以，
易得，所以，
当且仅当时，取得最大值，
此时，所以，，由三角形内角和定理得，
所以当取得最大值时为直角三角形；
由题可知，，得，
由可得，所以，
所以，，
易知为锐角三角形，过点作于点，则在边上，
设，则，
由得，所以，从而，
所以．
16.证明：因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又，，平面，
所以平面平面．
解：因为，，
所以，
又平面，且、平面，
所以，，
所以，，两两垂直，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，所以，
所以，，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
17.解：由题意得的所有可能取值为，，，，
所以，，，，
故的分布列为：
所以；
由题意，运动员甲的参赛方案有个：
方案：从项目组一中选择个动作参赛，
方案：从项目组一中选择个动作、从项目组二中选择个动作参赛，
方案：从项目组一中选择个动作、从项目组二中选择个动作参赛，
对于方案：由知甲的最终得分的数学期望为，
对于方案：设甲的最终得分为，则的所有可能取值为，，，，，
则，
，
，
，，
所以，
对于方案：设甲的最终得分为，则的所有可能取值为，，，，，，
则，，
，，
，，
所以，
因为，
所以甲应选择方案，即从项目组一中选择个动作、从项目组二中选择个动作参赛．
18.解：取的中点，连接，
由以及双曲线的对称性可知为线段的中点，
此时，
不妨设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
可得，，
易知，
所以，
不妨设，，
因为，两点均在双曲线上，
所以，
两式相减得，
整理得，
即，
所以，
故双曲线的渐近线方程为；
证明：易知，的斜率存在且不为，
不妨设直线的方程为，
因为，
所以直线的方程为，
将代入双曲线方程，
可得，
此时，
则，
所以，
将换成得，
因为，，成等比数列，
所以，
此时，
不妨设点到直线的距离为，
此时，
对等式两边同时平方得，
所以，
解得．
故直线与定圆相切．
19.解：函数的定义域为，
，
令，解得或．
当时，，
当或时，，当时，，
故函数在上单调递增，在和上单调递减．
当时，恒成立，
在上单调递减．
当时，，
当或时，；当时，．
故函数在上单调递增，在和上单调递减．
综上，当时，在和上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在和上单调递减，在上单调递增．
当时，，
在上恒成立，
在区间上单调递增，当时，．
当时，有，
，
得，同理
由的单调性知，，
从而有，符合题意．
当时，，
，
由的单调性知，
，与题意不符．
当时，同理可得，，
故由的单调性知，
得，与题意不符．
综上，实数的取值范围为．
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