2024-2025学年福建省泉州实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省泉州实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，含项的系数为( )
A. B. C. D.
4.已知为奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.设函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.设，，，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 是的极小值点
B. 的图象关于点对称
C. 有个零点
D. 当时，
11.已知定义域为的函数满足，且，，则( )
A.
B. 是偶函数
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的递减区间为______．
13.已知函数，若关于的方程有个不等实根则实数的取值范围为______．
14.如图，甲从到，乙从到，两人每次都只能向上或者向右走一格，如果两个人的线路不相交，则称这两个人的路径为一对孤立路，那么不同的孤立路一共有______对
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列中，，前项和为，为各项均为正数的等比数列，，且，．
求与；
定义新数列满足，，求前项的和．
16.本小题分
已知的内角，，所对的边分别是．
求角；
若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围．
17.本小题分
已知双曲线：的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为，两动点，在双曲线上，线段的中点为．
求双曲线的标准方程；
为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：，，，，根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于的产品称为等品，其它产品称为等品现从该品牌芯片的生产线中随机抽取件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图．
根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率保留小数点后面两位有效数字；
同一组中的数据用该组区间的中点值代表；参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，
从样本的质量指标值在和的芯片中随机抽取件，记其中质量指标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；
该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按件一箱包装已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大．
19.本小题分
设函数的定义域为，给定区间，若存在，使得，则称函数为区间上的“均值函数”，为函数的“均值点”．
试判断函数是否为区间上的“均值函数”，如果是，请求出其“均值点”；如果不是，请说明理由；
已知函数是区间上的“均值函数”，求实数的取值范围；
若函数常数是区间上的“均值函数”，且为其“均值点”将区间任意划分成份，设分点的横坐标从小到大依次为，，，，记，，再将区间等分成份，设等分点的横坐标从小到大依次为，记求使得的最小整数的值．
参考答案
1.
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15.解：设等差数列的公差为，，
为各项均为正数的等比数列，设公比为，，，
由，，可得，，
解得，，
则；；
，
则前项的和
．
16.解：由正弦定理得，化简得，
结合余弦定理得，而，所以．
设的外接圆半径为，则外接圆面积，解得．
根据正弦定理得．
由，得，
所以，，，
可得
．
因为为锐角三角形，所以，解得
因为，可得，
所以．
综上所述，的周长的取值范围为．
17.解：由题意得，右焦点坐标为，双曲线渐近线方程为，
故，解得，又，所以，
故双曲线方程为；
设，，
则，两式相减得，，
若或，则的中点在坐标轴上，
又，故或，
所以，即，解得，
设直线：，
联立，消去得，
故，，
则，
点到直线的距离，
故．
解得．
故直线的方程为或．
18.解：由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取件的平均数为：，
即，又因为，
所以，
因为质量指标值近似服从正态分布，
所以，
所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为；
，
所以所取样本的个数为件，质量指标值在的芯片件数为件，
故可能取的值为，，，，相应的概率为：
，，，，
所以随机变量的分布列为：
所以的数学期望；
设每箱产品中等品有件，则每箱产品中等品有件，
设每箱产品的利润为元，
由题意知：，
由知：每箱零件中等品的概率为，
所以，
所以，
所以，
令，
则，
令得，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以当时，每箱产品利润最大．
19.解：，，
根据均值函数的概念及均值点的定义可得：
，得或舍，
故为区间上的“均值函数”，且为其“均值点”；
因为函数是区间上的“均值函数，
设为该函数的“均值点”，则，
所以，
所以关于的方程在区间上有解，
整理得，
当时，，方程无解．
当时，．
令，得，且，
从而，，
由对勾函数的性质可得该函数在上是严格减函数，
在上是严格减函数，在上严格增函数，
故
即实数的取值范围是；
由，得，解得．
从而，
又，
所以当时，，即在上单调递减，
故，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，．
由，即，，
故使得的最小整数的值为．
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