2024-2025学年湖北省襄阳市襄阳五中高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省襄阳五中高三（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知实数，，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中，，，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是参考数据：，铜的密度为( )
A. B. C. D.
4.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
5.在中，为边上一点，，，，且的面积为，则( )
A. B. C. D.
6.已知随机事件，满足，，，则( )
A. B. C. D.
7.直线过双曲线：的左顶点，斜率为，与双曲线的渐近线分别相交于，两点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若存在使得关于的不等式成立，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列是等差数列，是等比数列，则下列说法中正确的是( )
A. 将数列的前项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列
B. 数列，，，，是等差数列
C. 将数列的前项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列
D. 数列，，，，，是等比数列
10.如图，棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点包括边界，且平面，则下列说法正确的有( )
A. 动点轨迹的长度为
B. 三棱锥体积的最小值为
C. 与不可能垂直
D. 三棱锥的体积为定值
11.已知函数的定义域为，，，则( )
A. B.
C. 为奇函数 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ______．
13.现有张卡片，分别写上数字，，，，，，从这张卡片中随机抽取张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则 ______．
14.已知函数若存在实数，满足，且，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
的内角，，所对的边分别为，，，是边上的一点，且满足，若，．
求；
求三角形的面积．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且．
证明：平面．
求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求的单调区间；
设，若对于恒成立，求的最小值．
18.本小题分
已知椭圆的标准方程，其左右焦点分别为，．
过点的直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程；
直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，若，分别是线段和的中点，证直线过定点，并求面积的最大值．
19.本小题分
已知为有穷正整数数列，其最大项的值为，且当，，时，均有设，对于，定义，其中，表示数集中最小的数．
若：，，，，，，，，，写出，的值；
若存在满足：，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，由正弦定理得，
整理可得，即，
且，则，可得，
因为，所以；
因为，可得，
两边平方得，即，
整理可得，解得舍负，
所以三角形的面积．
16.证明：平面平面，平面平面，，
平面，
在中，，，，
且，是等腰直角三角形，
，，
，，
又，为等腰直角三角形，，
∽，，
又，，
平面，平面，
平面．
解：由得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系，
，，，
，．
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
则．
17.解：由题，在处，，，
所以曲线在处的切线方程为．
解法一：由可得，
因为，故与同号．
令，因为与在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，所以是的唯一零点，
所以是的唯一解，
与的情况如下：
极小值
所以的单调递增区间是，递减区间是．
解法二：当时，，，所以，故单调递减；
当时，，，所以，故单调递增，
所以的单调递增区间是，递减区间是．
且时，又由知函数在上单调递增，
若对于恒成立，则，两边取对数得，
所以对于恒成立，
设，则，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
所以的最小值为．
18.解：易知，
所以，
显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
因为，
所以，
所以，
即，
此时，
整理得，
即，
整理得，
解得，此时满足条件，
所以直线的方程为或；
证明：由知，
设直线的方程为，直线的方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
所以，，
即，
同理得，
所以的中点．
此时，
当且仅当，即时，等号成立．
则的面积最大值为．

19.解：根据：，，，，，，，，，，所以，所以，
所以，因此，
所以，因此．
根据题意可知，，
当时，根据，，
所以，所以，
根据题意可得，所以、总有一个大于，所以或，
，根据，故、、总有一个会大于，
所以，因此当时，，不符合，所以，
当时，令数列：，，，，，，，，，，，，，，，，
所以，，，所以，符合要求，所以的最小值为．
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