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九上24章24.3—24.4阶段综合测试题
一．选择题（共10小题）
1．正八边形的中心角的度数为（ ）
A．36° B．45° C．60° D．72°
【思路点拔】根据正八边形中心角的定义即可求解．
解：正八边形的中心角的度数＝360°÷8＝45°，
故选：B．
2．已知一个正方形的半径为R，边心距为r，则r：R等于（ ）
A．1：2 B．：2 C．：2 D．：3
【思路点拔】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，分别求出中心角，边心距进而得出答案．
解：∵正方形的边长为R，
由中心角只有四个可得出：90°，
∴中心角是：90°，
正方形的外接圆半径是：sin∠AOC，
∵AC，∠AOC＝45°，
∴r＝OCR，
∴r：RR：R：2．
故选：B．
3．一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（ ）
A．260° B．240° C．140° D．120°
【思路点拔】设这个扇形的圆心角是n°，根据，求出这个扇形的圆心角为多少即可．
解：设这个扇形的圆心角是n°，
由题意得，
∴n＝240，
∴这个扇形的圆心角为240度．
故选：B．
4．正六边形的边长为2，则它的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
【思路点拔】构建等边三角形，由题意可得：正六边形的面积就是6个等边△OCD的面积，根据边长为2求得三角形的高线OG，代入面积公式计算即可．
解：如图，设正六边形ABCDEF的中心为O，连接OC、OD，
过O作OG⊥CD于G，
∵∠COD60°，OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴OC＝CD＝OD＝2，
∴CG＝DG＝1，
由勾股定理得：OG，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OCD＝6CD×OG＝3×26，
故选：D．
5．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．5π
【思路点拔】连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO＝90°，而∠ABC＝120°，易求∠OBC，而OB＝OC，那么∠OBC＝∠OCB，进而求出∠BOC的度数，再利用弧长公式即可求出的长．
解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO＝90°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠OBC＝30°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝30°，
∴∠BOC＝120°，
∴的长为2π，
故选：B．
6．用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
【思路点拔】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
解：扇形的弧长2π，
故圆锥的底面半径为2π÷2π＝1．
故选：B．
7．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，连接BC、CD、BD，若∠BCD＝∠ABD，且AB＝12，则劣弧的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
【思路点拔】连接OD．根据圆周角定理求出∠BOD＝∠AOD＝90°，再求出⊙O的半径为6，代入弧长公式计算即可．
解：如图，连接OD．
∵AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，
∴∠BOD＝2∠BCD，∠AOD＝2∠ABD，
∵∠BCD＝∠ABD，
∴∠BOD＝∠AOD，
∵∠BOD+∠AOD＝180°，
∴∠BOD＝∠AOD＝90°，
∵AB＝12，
∴OA＝OB＝6，
∴劣弧的长为3π．
故选：C．
8．（2024 重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32﹣8π B．164π C．32﹣4π D．168π
【思路点拔】连接AC，在Rt△ADC 中利用勾股定理求出AC的长，根据矩形的面积公式求出矩形ABCD的面积，两个扇形为圆，根据扇形面积公式求出两个扇形面积之和，根据S阴影＝S矩形ABCD﹣S两个扇形计算阴影部分的面积即可．
解：连接AC．
∵两弧有且仅有一个公共点，AD＝4，
∴AC＝2AD＝8，
∴在Rt△ADC 中，CD4，
∴S矩形ABCD＝AD CD＝16，
∵两个扇形均为圆，而且它们的半径相等，
∴两个扇形为圆，面积之和为S两个扇形πAD2＝8π，
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S两个扇形＝168π．
故选：D．
9．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A．120° B．150° C．180° D．240°
【思路点拔】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面面积lR＝πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2＝πrR，
∴R＝2r，
设圆心角为n，有πR＝2πr，
∴n＝180°．
故选：C．
10．（2024 河北）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m，则m与n关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】设该扇子所在圆的半径为R，根据扇形的面积公式表示出πR2﹣πr2＝3S，进一步得出Sn，再代入m即可得出结论，
解：设该扇子所在圆的半径为R，
S，
∴πR2﹣πr2＝3S，
∵该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，
∴Sn，
∴m，
∴m是n的正比例函数，
∵0≤n≤360，
∴它的图象是过原点的一条线段，
故选：C．
二．填空题（共5小题）
11．一个扇形的半径为8cm，弧长为πcm，则扇形的圆心角为 120° ．
【思路点拔】设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式得到π，然后解方程即可．
解：设扇形的圆心角为n°，
根据题意得π，解得n＝120，
所以扇形的圆心角为120°．
故答案为120°．
12．（2024 五华区校级模拟）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的表面积是 48π ．
【思路点拔】利用圆的面积公式即可求得侧面积，再加上底面积即可．
解：侧面积是：πr2π×82＝32π，
底面周长为：8π，
底面半径为：4，
表面积为：32π+π×42＝48π．
故答案为48π．
13．（2023 杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则 2 ．
【思路点拔】连接OA，OC，OE，首先证明出△ACE 是⊙O的内接正三角形，然后证明出△BAC≌△OAC（ASA），得到 S△ABC＝S△AEE＝S△CDE S△AOC＝S△OAE＝S△OCE，进而求解即可．
解：如图所示，连接OA，OC，OE．
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AC＝AE＝CE，
∴△ACE是⊙O的内接正三角形，
∵∠B＝120°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA（180°﹣∠B）＝30°，
∵∠CAE＝60°，
∴∠OAC＝∠OAE＝30°，
∴∠BAC＝∠OAC＝30°，
同理可得，∠BCA＝∠OCA＝30°，
又∵AC＝AC，
∴△BAC≌△OAC（ASA），
∴S△BAC＝S△AOC，
圆和正六边形的性质可得，S△BAC＝S△AFE＝S△CDE，
由圆和正三角形的性质可得，S△OAC＝S△OAE＝S△OCE，
∵S1＝S△BAC+S△AEF+S△CDE+S△OAC+S△OAE+S△OCE＝2（S△OAC+S△OAE+S△OCE）＝2S2，
∴，
故答案为：2
14．（2024 甘肃）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是 3000π cm2.（结果用π表示）
【思路点拔】利用扇形面积公式，根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC即可求解．
解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC
＝3000π（cm2），
故答案为：3000π．
15．（2024 银川校级二模）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 3 ．
【思路点拔】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
解：由题意知，底面圆的直径AB＝4，
故底面周长等于4π，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π，
解得n＝120°，
所以展开图中∠ASC＝120°÷2＝60°，
因为半径SA＝SB，∠ASB＝60°，
故三角形SAB为等边三角形，
又∵C为SB的中点，
所以AC⊥SB，在直角三角形SAC中，SA＝6，SC＝3，
根据勾股定理求得AC＝3，
所以蚂蚁爬行的最短距离为3．
故答案为：3．
三．解答题（共9小题）
16．用一个圆心角为120°、半径为18cm的扇形作一个圆锥的侧面．求圆锥底面积圆的半径R．
【思路点拔】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到 2πR 18，然后解关于R的方程即可．
解：根据题意得 2πR 18，
解得R＝6，
即圆锥底面积圆的半径R为6cm．
17．（2023 内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，求∠CPQ的度数.
【思路点拔】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
解：如图，连接OC，OD，OQ，OE，
∵正六边形ABCDEF，Q是的中点，
∴∠COD＝∠DOE60°，∠DOQ＝∠EOQ∠DOE＝30°，
∴∠COQ＝∠COD+∠DOQ＝90°，
∴∠CPQ∠COQ＝45°.
18．（2024 江西）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．
（1）求证：BD是半圆O的切线；
（2）当BC＝3时，求的长．
【思路点拔】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，得到∠D+∠A＝90°，求得∠ABD＝90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OC，根据圆周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝120°，根据等边三角形的性质得到OC＝BC＝3，根据弧长公式即可得到的长2π．
（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠D＝∠ABC，
∴∠D+∠A＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∵AB是半圆O的直径，
∴BD是半圆O的切线；
（2）解：连接OC，
∵∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴OC＝BC＝3，
∴的长2π．
19．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°，∠A＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）根据△ACD，△AOC为等腰三角形，∠ACD＝120°，利用三角形内角和定理求∠OCD＝90°即可；
（2）连接OC，求出∠D和∠COD，求出边DC长，分别求出三角形OCD的面积和扇形COB的面积，即可求出答案．
证明：（1）连接OC，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝∠D，
又∵∠ACD＝120°，
∴∠CAD（180°﹣∠ACD）＝30°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠2＝30°，
∴∠COD＝60°，
又∵∠D＝30°，
∴∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵∠A＝30°，
∴∠1＝2∠A＝60°，
∴S扇形OBCπ，
在Rt△OCD中，CD＝OC tan60°＝2．
∴图中阴影部分的面积为2π．
20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）连接OB交⊙O于点F，若AD，AE＝1，求弧CF的长．
【思路点拔】（1）连接OD，利用全等三角形的性质得出∠ODB＝90°即可解决问题．
（2）利用勾股定理求出⊙O的半径，再求出∠COF的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．
（1）证明：连接OD，
在△BOD和△BOC中，
，
∴△BOD≌△BOC（SSS），
∴∠BDO＝∠BCO，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BDO＝90°，
即OD⊥AB，
又∵点D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：令⊙O的半径为r，
在Rt△AOD中，（）2+r2＝（r+1）2，解得r＝1，
∴AO＝2，∴∠A＝30°，
∴∠DOC＝120°．
又∵△BOD≌△BOC，
∴∠DOB＝∠COB＝60°，
∴弧CF的长为：．
21．（2024 修水县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且E是的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若CE＝1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【思路点拔】（1）连接OE，OD，证明OE⊥BC，即可证得结论成立；
（2）设BE＝OE＝x，则 ，从而可表示出AB、BC，另一方面，由此建立方程求出x的值，利用S阴影＝S△OEB﹣S扇形OEF即可求解．
（1）证明：连接OE，OD，如图．
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠OAD＝∠B＝45°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO＝45°，
∴∠DOF＝90°，
∵E是的中点，
∴．
∴∠OEB＝180°﹣∠EOF﹣∠B＝90°．
∴OE⊥BC．
∵OE是半径，
∴BC是⊙O的切线．
（2）解：∵OE⊥BC，∠B＝45°，
∴△OEB是等腰直角三角形．
设BE＝OE＝x，则，
∴．
∵，∴．解得 ．
∴．
22．如图，在 OABC中，OB是对角线，∠AOB＝90°，以点O为圆心，以OA的长为半径作 O，交AB于点D，交OB于点E，交OC于点F，连接CD．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若点E是的中点，OA＝4，求阴影部分的面积．
【思路点拔】（1）连接OD，证明△ABO≌△OCD（SAS），由全等三角形的性质得出∠ODC＝∠AOB＝90°，则可得出结论；
（2）求出∠OBD＝30°，由勾股定理求出OB的长，根据阴影部分面积＝S△ODB﹣S扇形ODE可求出答案．
（1）证明：连接OD，
∵四边形OABC是平行四边形，AB∥OC，
∴AB＝OC，∠COB＝∠ABO，
∵∠ADO＝∠ABO+∠BOD，∠COD＝∠COB+∠BOD，
∴∠ADO＝∠COD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠A＝∠COD，
在△ABO和△OCD中，
，
∴△ABO≌△OCD（SAS），
∴∠ODC＝∠AOB＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵E为的中点，
∴∠COB＝∠BOD，
由（1）知∠ADO＝2∠OBD＝∠A，
∴∠OBD＝30°，
∴∠A＝60°，
∵OA＝4，
∴AB＝8，
∴OB4，
∴S△OAB4×48，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，DO＝DA，
∴∠DOE＝30°，
∴∠ABO＝∠DOE，
∴DB＝DO＝DA，
∴S△ODBS△OAB＝4，
∴S扇形ODE，
∴阴影部分面积＝S△ODB﹣S扇形ODE＝4．
23．如图1，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与边BC和AC相交于点E和F，过点E作⊙O的切线交边AC于点H．
（1）求证：CH＝FH；
（2）如图2，连接OH，若OH，HC＝1，求⊙O的半径．
【思路点拔】（1）连接AE，OE和FE，由AB为圆O的直径，利用直角所对的圆周角为直角得到∠AEB为直角，再由AB＝AC，利用三线合一得到BE＝CE，根据EH为圆O的切线，利用切线的性质得到EH垂直于OE，得到EH垂直于AC，利用圆内接四边形对角互补及邻补角定义得到∠EFC＝∠B，再由∠B＝∠C，等量代换得到∠EFC＝∠C，利用等角对等边得到EF＝EC，利用三线合一即可得证；
（2）过点O作OD⊥AC，可以垂径定理得到D为AF中点，设圆O的半径为r，表示出AF，AD，以及HD，在直角三角形OAD中，表示出OD2，在直角三角形ODH中，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解即可得到圆半径r．
（1）证明：连接AE，OE和FE，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BE＝EC，
∴OE∥AC，
∵EH为圆O的切线，
∴EH⊥OE，
∴EH⊥AC，
∵∠B+∠AFE＝180°，∠EFC+∠AFE＝180°，
∴∠B＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴∠EFC＝∠C，
∴EF＝EC，
∴CH＝FH；
（2）解：过点O作OD⊥AC，得到D为AF中点，
设圆O的半径为r，则AF＝AC﹣FC＝AB﹣2CH＝2r﹣2，ADAF＝r﹣1，HD＝r﹣1+1＝r，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：OD2＝OA2﹣AD2＝r2﹣（r﹣1）2，
在Rt△ODH中，根据勾股定理得OD2+DH2＝OH2，即r2﹣（r﹣1）2+r2＝（）2，
解得：r＝﹣4（舍去）或r＝2，
则圆O的半径为2．
24．（2023 乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： 旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等 ；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 cm ；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
【思路点拔】【问题解决】
（1）由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；
②由∠BOB'＝90°，OB＝OB'，可得OB3，再用弧长公式可得答案；
【问题拓展】
连接PA'，交AC于M，连接PA，PD，AA'，PB'，PC，求出A'D，DMA'D，可得S△A'DP4；S扇形PA'B'，证明△PB′D≌△PCD（SSS）可知阴影部分关于PD对称，故重叠部分面积为2（）（cm2）．
解：【问题解决】
（1）根据题意，AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，
故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
（2）①如图：
作线段BB'，AA'的垂直平分线，两垂直平分线交于O，点O为所求；
②∵∠BOB'＝90°，OB＝OB'，
∴△BOB'是等腰直角三角形，
∵BB'＝6，
∴OB3，
∵（cm），
∴点B经过的路径长为cm，
故答案为：cm；
【问题拓展】
连接PA'，交AC于M，连接PA，PD，AA'，PB'，PC，如图：
∵点P为中点，
∴∠PAB，
由旋转得∠PA'B'＝30°，PA＝PA′＝4，
在Rt△PAM中，PM＝PA sin∠PAM＝4×sin30°＝2，
∴A'M＝PA'﹣PM＝4﹣2＝2，
在Rt△A′DM中，
A'D，DMA'D，
∴S△A'DP4；
S扇形PA'B'，
下面证明阴影部分关于PD对称：
∵∠PAC＝∠PA'B'＝30°，∠ADN＝∠A'DM，
∴∠AND＝∠A'MD＝90°，
∴∠PNA'＝90°，
∴PNPA'＝2，
∴AN＝PA﹣PN＝2，
∴AN＝A′M，
∴△AND≌△A'MD（AAS），
∴AD＝A′D，
∴CD＝B'D，
∵PD＝PD，PB'＝PC，
∴△PB′D≌△PCD（SSS），
∴阴影部分面积被PD等分，
∴S阴影＝2（S扇形PA'B'﹣S△A'DP）＝2（）（cm2）．
∴两个纸板重叠部分的面积是cm2．中小学教育资源及组卷应用平台
九上24章24.3—24.4阶段综合测试题
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．正八边形的中心角的度数为（ ）
A．36° B．45° C．60° D．72°
2．已知一个正方形的半径为R，边心距为r，则r：R等于（ ）
A．1：2 B．：2 C．：2 D．：3
3．一个扇形的半径是3，面积为6π，那么这个扇形的圆心角是（ ）
A．260° B．240° C．140° D．120°
4．正六边形的边长为2，则它的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
5．如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．5π
6．用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，连接BC、CD、BD，若∠BCD＝∠ABD，且AB＝12，则劣弧的长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
8．（2024 重庆）如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若AD＝4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．32﹣8π B．164π C．32﹣4π D．168π
9．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（ ）
A．120° B．150° C．180° D．240°
10．（2024 河北）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为S，该折扇张开的角度为n°时，扇面面积为Sn，若m，则m与n关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．一个扇形的半径为8cm，弧长为πcm，则扇形的圆心角为 ．
12．（2024 五华区校级模拟）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的表面积是 ．
13．（2023 杭州）如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，设正六边形ABCDEF的面积为S1，△ACE的面积为S2，则 ．
14．（2024 甘肃）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120cm，OB＝60cm，则阴影部分的面积是 cm2.（结果用π表示）
15．（2024 银川校级二模）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
三．解答题（共9小题，共75分）
16．用一个圆心角为120°、半径为18cm的扇形作一个圆锥的侧面．求圆锥底面积圆的半径R．
11．（2023 内江）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P在上，点Q是的中点，求∠CPQ的度数.
18．（2024 江西）如图，AB是半圆O的直径，点D是弦AC延长线上一点，连接BD，BC，∠D＝∠ABC＝60°．
（1）求证：BD是半圆O的切线；
（2）当BC＝3时，求的长．
19．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°，∠A＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，且BD＝BC．
（1）求证：AB是⊙O的切线．
（2）连接OB交⊙O于点F，若AD，AE＝1，求弧CF的长．
21．（2024 修水县二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的半圆分别交AC，BC，AB于点D，E，F，且E是的中点．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若CE＝1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
22．如图，在 OABC中，OB是对角线，∠AOB＝90°，以点O为圆心，以OA的长为半径作 O，交AB于点D，交OB于点E，交OC于点F，连接CD．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若点E是的中点，OA＝4，求阴影部分的面积．
23．如图1，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与边BC和AC相交于点E和F，过点E作⊙O的切线交边AC于点H．
（1）求证：CH＝FH；
（2）如图2，连接OH，若OH，HC＝1，求⊙O的半径．
24．（2023 乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： ；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A′B′C′的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 ；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
