2024-2025学年福建省厦门外国语学校高三（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省厦门外国语学校高三（上）段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知的外接圆面积为，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
3.设函数，则( )
A. B. C. D.
4.若正数，满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.已知集合，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.函数在上不单调，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若和图象存在个交点，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 函数为增函数
B. 函数定义域为，则的定义域为
C. 函数是定义在上的奇函数
D. 已知函数存在两个零点，，则
10.已知，，且，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
11.设函数，则( )
A. 的定义域为
B. 的图象关于对称
C. 的最小值为
D. 方程在上所有根的和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是函数的一条对称轴，则的最大值为______．
13.已知函数，则函数的所有零点构成的集合为 ．
14.已知的半径是，点满足，直线与相切于点，直线与交于，两点，为的中点，设，则 ______结果用表示；当 ______时，取得最大值．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，曲线在点处的切线斜率为．
求的值；
求不等式的解集．
16.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，，边上的两条中线，相交于点，且．
求；
若，，，求的面积．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，已知，，成公比为的等比数列．
求的取值范围；
求的取值范围．
18.本小题分
设函数．
求不等式的解集；
若在上的最大值为，求实数的取值范围；
当时，对任意的正实数，不等式恒成立，求的最大值．
19.本小题分
已知函数，，若存在实数，，使得，则称与为“互补函数”，，为“互补数”．
判断函数与是否为“互补函数”，并说明理由．
已知函数为“互补函数”，且，为“互补数”．
当时，求；
当时，求的范围．
参考答案
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15.解：由已知，得，
又函数在点处的切线斜率为，
即，解得；
由得，，
则恒成立，即在上单调递增，
又，
即函数为奇函数，
由，可知，
即，解得，即不等式的解集为．
16.解：，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，．
是，边上的两条中线与的交点，点是的重心．
又，，，
在中，由余弦定理，
，又，，，，
的面积为．
17.解：在中，角，，所对的边分别为，，，，，成公比为的等比数列．
，，
根据三角形三边关系知：，
解得，
的取值范围是
由及正弦定理、余弦定理知：
，
由对勾函数的性质知： 在上单调递减，在上单调递增，
，则
的取值范围为．
18.解：因为，
所以，即为，
即，
又因为两根为和，
所以当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
当，即时，解集为，
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
因为的对称轴为，
所以当时，即时，，不合题意；
当时，即时，，
而，符合题意．
故取值范围为；
当，即时，不等式即为：，
整理得：，对任意的恒成立，
而，
所以只要时不等式成立即可，
所以，
所以，
又因为，
所以；
当，即时，
同理不等式可整理为：，对任意的恒成立，
而，
所以只要时不等式成立即可，
所以，所以，
而，
所以；
综上，的最大值为．
19.解：与不是“互补函数”，理由如下：
因为，则，
令，得，
所以当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
则，所以，
因为，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以．
故不存在实数，，使得，
则与不是“互补函数”．
由题意可得，，
得，
即，，
所以，
解得；
令，，则，，
两式相加可得，两式相减可得，
，故，
令
则．
因为，所以，，
故当时，，即在上是减函数．
所以的最大值为．
故．
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