2024-2025学年福建省福州市福州高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省福州高级中学高三（上）第一次月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数且在定义域内是增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知点，，，且，则( )
A. B. C. D.
4.过坐标原点向圆：作两条切线，切点分别为，，则( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则在上的值域为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，是抛物线上的两个动点，，的中点到轴距离的最小值为，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若函数恰有个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.电动自行车是民众的主要交通工具之一在给民众的生活带来方便的同时，由于质量不合格或使用不当等原因，也带来了较多安全隐患，预防和减少电动自行车火灾的发生是消防部门的一项重要工作，也是全社会的责任和义务某中学在消防部门的配合下在全校进行了一次安全使用电动自行车的知识竞赛现从高一、高二两个年级参加竞赛的同学中各随机抽取名同学的竞赛成绩，按从小到大的顺序整理得到下表中的样本数据：
高一年级
高二年级
则下列说法正确的是( )
A. 高一年级的样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数与原样本的平均数相同
B. 高二年级样本数据的上四分位数是
C. 高二年级样本数据的平均数恰好等于高二年级样本数据的众数
D. 高一年级的样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差为
10.已知数列满足，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则存在，使得是等差数列
B. 若，则存在，使得是等比数列
C. 若，则存在，使得是等差数列
D. 若，则存在，使得是等比数列
11.已知的内角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则 ______．
13.已知椭圆，平行于轴的直线与交于点，，平行于轴的直线与交于点，，直线与直线在第一象限交于点，且，，，，若过点的直线与交于点，，且点为的中点，则的方程为______．
14.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，平面，为线段的
中点，若空间中存在平面满足，，记平面与直线，分别交于点，，则 ______，四边形的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
小郑计划在近三年中，每年从云南、深圳、西藏三个地方中选择一个地方旅游，且不可连续两年到同一个地方旅游小郑在选择去云南旅游后，下一年选择去深圳旅游的概率为；在选择去深圳旅游后，下一年选择去西藏旅游的概率为；在选择去西藏旅游后，下一年选择去云南旅游的概率为．
假设小郑第一年去深圳旅游，求小郑在第三年去云南旅游的概率；
假设小郑第一年去云南旅游，小郑在这三年内去云南旅游的次数为，求的分布列及数学期望．
16.本小题分
如图，圆柱的轴截面为正方形，且，点在圆上与，不重合．
求证：；
若点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
若，求的单调区间；
若，的最小值为，求证：．
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，，第一象限的点为双曲线上一点，若的平分线与轴交于点，且．
求双曲线的标准方程；
过作直线的垂线，垂足为，若四边形的面积为，的面积为，求的取值范围．
19.本小题分
已知数列的前项中最大的项记为，则叫做由生成的“数列”．
若，求；
若，求的前项和；
若数列，都只有项，，，，，且各项均不相同，求数列的个数．
参考答案
1.
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15.解：设第三年去云南旅游为事件，则；
易知随机变量的所有可能取值为，，
则，，
所以的分布列为：
所以．
16.（1）证明：连接BE，由条件可得BC⊥平面ABE，
又由AE 平面ABE，∴AE⊥BC，
∵点E在圆O上，∴AE⊥BE，
又∵BC∩BE=B，且BC，BE 平面BCE，∴AE⊥平面BCE，
∵EC 平面BCE，∴AE⊥EC．
（2）解：过点B作BF⊥CE于点F，
由（1）知AE⊥平面BCE，∵BF 平面BCE，∴AE⊥BF，
又∵CE∩AE=E，且CE，AE 平面ACE，
∴BF⊥平面ACE，故BF的长为点B到平面ACE的距离，
又∵O为AB的中点，点O到平面ACE的距离为，∴．
在直角△BCE中，可得BC BE=BF CE，即，可得，
∵AE⊥BE，AB=2，∴，
以点A为坐标原点，过点A且与平面ABCD垂直的直线为x轴，AB，AD所在直线分别为y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A（0，0，0），D（0，0，2），O（0，1，0），C（0，2，2），E（-1，1，0），
∴，，，
设平面ACE的法向量为，则，
令x=1，可得y=1，z=-1，∴，
设直线OD与平面ACE所成角为α，
则sinα=|cos＜＞|=，
∴直线OD与平面ACE所成角的正弦值为．
17.解：由题知，的定义域为，
当时，，
所以，
设，易知在上单调递增，
又，故当时，，即，当时，，即，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
证明：当时，，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，所以，当且仅当时等号成立．
所以，
当且仅当时等号成立，
故的最小值，且，
记，
易知在上单调递增，则是的唯一零点，
因为，，
所以，所以．
18.解：设，，
则直线的方程为，
即，
同理可得直线的方程为，
由为的平分线可得点到直线，的距离相等，
即，
由可得，
故，
同理可得，
易知，，，
所以，
故，
得．
由双曲线的离心率为可得，
故，
则，
所以双曲线的标准方程为．
延长，与的延长线交于点，
因为，
则，
故，
所以，
由角平分线的性质可得，
故，
又，
得，
由可得，且，
故，
所以，
即的取值范围为．
19.解：由“数列”的定义可得，，，，，．
所以．
由“数列”的定义可知，，，，
当为偶数时，，
所以，
两式相减可得
，
所以．
当为奇数且时，为偶数，
则．
所以当时，．
若，则，数列有个，为，，，，
(ⅱ)若，有种可能，数列有个，为，，，，或，，，，或，，，，或，，，，
(ⅲ)若，
当时，数列有个，为，，，，或，，，，或，，，，
当时，数列有个，为，，，，或，，，，或，，，，或，，，，或，，，，或，，，，
(ⅳ)若，
当时，数列有个；为，，，，
当时，数列有个；为，，，，或，，，，或，，，，
当时，数列有个；若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，；若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，；若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，可见最后两种情况的相同
当时，数列有个若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，；若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，；若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，可见最后两种情况的相同
Ⅴ若，
当时，数列有个；为，，，，
当时，数列有个；为，，，，或，，，，或，，，，
当时，数列有个；若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，；若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，；若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，可见最后两种情况的相同
当时，数列有个若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，；若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，；若为，，，，，则为，，，，；
若为，，，，，则为，，，，可见最后两种情况的相同
综上可知，数列的个数为．
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