2024-2025学年安徽省皖豫名校联盟高三（上）联考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年安徽省皖豫名校联盟高三（上）联考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线与直线：，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列四个数中最大的是( )
A. B. C. D.
4.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量单位：与时间单位：之间的关系式为，其中为初始污染物含量，，均为正的常数，已知过滤前后废气的体积相等，且在前过滤掉了的污染物如果废气中污染物的含量不超过时达到排放标准，那么该工厂产生的废气要达到排放标准，至少需要过滤的时间为( )
A. B. C. D.
5.函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，则满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.定义为不超过的最大整数，区间或，，的长度记为若关于的不等式的解集对应区间的长度为，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，若，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数与的导函数分别为与，且，，，的定义域均为，，，为奇函数，则( )
A. B. 为偶函数
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若“，”是假命题，则实数的最小值为______．
13.若函数在时取得极小值，则的极大值为______．
14.已知函数，，若存在两条不同的直线与曲线和均相切则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
Ⅰ已知函数满足，求在区间上的值域；
Ⅱ若函数的最小值为，且，求的最小值．
16.本小题分
设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心已知函数的图象的对称中心为．
Ⅰ求实数，的值；
Ⅱ求的零点个数．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ若，证明：；
Ⅱ若且存在，使得成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知函数，．
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，求的极值；
Ⅲ若恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ讨论的单调性．
Ⅱ当时．
证明：当时，；
若方程有两个不同的实数根，，证明．
附：当时，，，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ因为函数满足，
所以，整理得恒成立，
所以，，解得，，所以，
该函数开口向下，对称轴，所以，且，
所以在上的值域为；
Ⅱ由已知令，，再令，
则原函数可化为，当且仅当时取等号，所以，
所以，
令，，
因为，
显然时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，所以的最小值为．
16.解：Ⅰ因为，
所以，
所以，
又因为的图象的对称中心为，
所以，
即，解得
Ⅱ由Ⅰ知，，
所以，
令，得或，
当变化时，，的变化情况如下表：
单调递增 单调递减 单调递增
所以的极大值为，极小值为，
又，，
所以有个零点．
17.Ⅰ证明：若，则，所以，，
由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，也是最小值，且，
所以．
Ⅱ由题意得，，
因为，所以令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增．
若，则在上的最小值为．
要使条件成立，只需，解得，
若，则在上的最小值为，
令，无解，
故的取值范围为．
18.解：Ⅰ当时，，，，，
故曲线在点处的切线方程为．
Ⅱ当时，，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，无极大值．
Ⅲ令，
由，得，
令，则在上单调递减，
又，故．
下面证明当时，．
易知，
设，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
则，即，
设，则，
当时，，当时，，
故，则，即，
故，则，
故所求的取值范围是．
19.解：由已知，得，．
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得或，
所以在上单调递减，在和上单调递增．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增．
证明：由题可知，即证当时，，
令，则，
令，，则，
令，，则，易知在上单调递增，
所以，则在上单调递增，
所以，则在上单调递增，
所以，则，在上单调递增，
所以，
原不等式得证．
当时，，由知在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且时，，由可知当时，，
由方程有两个不同的实数根，，得．
不妨设，则，，，
要证，即证，又在上单调递增，所以只需证，
即证设，
则，
设，则，
设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
又因为，，，
所以存在，使得，
当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增．
又因为，，
所以当时，，当时，，
所以当时，，单调递减，
因为，所以，
所以，故原命题得证．
第1页，共1页