2024-2025学年湖南省益阳市安化二中高三（上）第二次调研数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省益阳市安化二中高三（上）第二次调研
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则等于( )
A. B. C. D.
2.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知角的终边在直线上，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需
7.已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则可以是( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数存在三个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 若时，，则的最大值为
D. 当时，方程有且只有两个实根
11.把一个三阶魔方看成是棱长为的正方体，若顶层旋转为锐角，记表面积增加量为，则下列说法正确的是( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的导函数为，则 ______．
13.已知，则 ______．
14.函数与轴的交点分别为，，，且在点处的切线的斜率为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是数列的前项和，，且满足．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示．
若该市所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：
若该市共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数结果四舍五入到整数；
若从所有参赛学生中参赛学生数大于随机抽取名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值．
附：若随机变量服从正态分布，则，，．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，其中，，，，点是的中点．
证明：；
求二面角的正弦值．
18.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别是，，，其中．
求的最大值；
若为_____，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值．
从条件内心，，垂心，重心，，任选一个作答
19.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
证明：；
证明：．
参考答案
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15.解：，
两式相减得
，
即，满足，
数列是首项为，公比为的等比数列，
．
，
，
，
，
16.解：由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为，，，，，，，
样本平均数的估计值，
则所有参赛学生的成绩近似服从正态分布，而，
因此
所以参赛学生中成绩超过分的学生数约为．
由知，，，
即从所有参赛学生中随机抽取名学生，该学生竞赛成绩在分以上的概率为，
因此随机变量服从二项分布，的可能值为，，，，
则，，，，
所以随机变量的分布列为：
数学期望．
17.解：在四棱锥中，平面，底面为梯形，其中，
，，，点是的中点，
取中点，连接，
，，，
四边形是正方形，，
即得是等腰三角形，则，
，即，
平面，平面，，
又，平面，，
平面
平面，，
点是的中点，由直角三角形性质得．
由题可得：，，，
如图，以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
由知平面，平面的一个法向量为，
设二面角为，
，
，
二面角正弦值为．
18.解：锐角中，，
由余弦定理得，
所以，
又因为，所以，
所以，
当且仅当时取最大值；
若选条件：内心，，，
所以，
由，得，
因为，所以，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以，即面积最小值；
若选条件：垂心，，
所以，
故，即，
又，
即，所以，当且仅当时取等号，
所以，即面积最小值；
若选条件：重心，，所以，
又，
故，
即，
即，所以，当且仅当时取等号，
所以，即面积的最大值为．
19.解：，，
，
，
函数在处的切线方程为．
证明：，
令，则，在上单调递减，
又，，，使得，即，
当时，，则，当时，，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，又，得到，
又，当且仅当时取等号，又，则，
，得证．
证明：由，得到，
又，得到，即，
要证，即证，即证，
令，则在区间上恒成立，，
即证在上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
得到，，即，命题得证．
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