2024-2025学年江苏省镇江市五校联考高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省镇江市五校联考高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则对任意实数，有( )
A. B.
C. D.
4.“”是“函数的值域为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知，都为锐角，，，则等于( )
A. B. C. D.
6.沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的细管长度忽略不计假设该沙漏每秒钟漏下的沙，则该沙漏的一个沙时大约是
A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒
7.在，，三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为：：，现从这三个地区任意选取一人，则这个人患流感的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知，若，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组数据，，，是公差为的等差数列，去掉首末两项，后得到一组新数据，则( )
A. 两组数据的极差相同 B. 两组数据的中位数相同
C. 两组数据的平均数相同 D. 两组数据的标准差相同
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 点为图象的一个对称中心
C. 若在上有两个实数根，则
D. 若的导函数为，则函数的最大值为
11.在正方体中，，点满足，其中，，则下列结论正确的是( )
A. 当平面时，不可能垂直
B. 若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
C. 当时，正方体经过点、、的截面面积的取值范围为
D. 当时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设，是一个随机试验中的两个事件，若，，，则 ______．
13.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数例如：，，若函数，则函数的值域为______．
14.已知函数，若，，且，则的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，．
求角的大小；
若，边上的高为，求的周长．
16.本小题分
如图，一个质点在随机外力作用下，从原点处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位．
求质点移动次后移动到的位置的概率；
设移动次中向右移动的次数为，求的分布列和期望．
17.本小题分
设函数．
求函数的最小正周期；
求函数在上的最大值．
18.本小题分
如图，直角梯形中，，，，，等腰直角三角形中，，且平面平面，平面与平面交于．
求证：；
Ⅱ若，求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知函数．
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：因为，，为的内角，
所以，
因为，
所以可化为：，
即，即，
即，
因为，，
所以；
由三角形面积公式得，所以，
由余弦定理得：，
解得：或舍去，则，
所以的周长为．
16.解：由题意，从原点处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位，
可得质点向左或向右移动的概率均为，且是等可能的，
要使得质点移动次后移动到的位置，则质点向右移动次，向左移动次，
所以概率为．
由题意知，质点向左或向右移动的概率均为，且是等可能的，
移动次中向右移动的次数为，可得随机变量可能取值为，，，，，，
可得，，
，，
，，
所以变量的分布列为：
数学期望为．
17.解：函数，
函数 的最小正周期为．
函数
，
在上．，
故当时，函数取得最大值为．
18.解：因为，平面，平面，
所以平面，
又因为平面平面，平面，
所以；
取中点，连接，，，
因为，，所以是等边三角形，
由三线合一得：，
又因为是等腰直角三角形，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，故，，三线两两垂直，
如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，且由知，所以四边形为平行四边形，可得，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
又平面的一个法向量可取，
所以，
设二面角的大小为，由题意为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为．
19.解：，，，．
，
时，，
，函数在上单调递增，恒成立，满足条件．
时，对于方程，其，方程有两个不相等的实数根，，
，，，
时，，此时函数单调递减，，则，不满足条件，舍去．
综上可得：实数的取值范围是．
证明：由可知：取时，函数在上单调递增，
在上恒成立，
令，则，
，
，
．
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