3.2.1 基本不等式的证明 课件(共39张PPT)-高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

(共39张PPT)
苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式
3.2.1　基本不等式的证明　
3.2基本不等式≤ (a，b≥0)
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂小结
分层练习
错因分析
学习目标
3.通过学习掌握基本不等式及其简单应用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.
情景导入
把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 a .如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么 a 并非物体的实际质量. 不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为 b. 那么如何合理地表示物体的质量呢
简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以
A＝
表示物体的质量. 这样的做法合理吗
设天平的两臂长分别为 l1，l2，物体实际质量为 M，根据力学原理有
l1M ＝ l2a，
l2M ＝ l1b.
将上述两个等式的两边分别相乘，得
l1l2M2＝l1l2ab，
所以 M＝.
算术平均数与几何平均数
由此可知，物体的实际质量是.
对于正数 a，b，我们把 称为 a，b 的算术平均数， 称为 a，b 的几何平均数.
● 两个正数 a，b 的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系
新知探究
当a＞0，b＞0时，我们可以尝试作出长度为 和 的两条线段，再比较这两条线段的长.
如图，AB是⊙O 的直径，AC＝a，CB＝b，过点 C作CD⊥AB 交⊙O 的半圆于点 D，连接 AD，BD，易知 △ACD∽△DCB，故 ＝，得CD＝.
而OD＝，且CD≤OD，
所以 ≤
当且仅当点 C与点O 重合，即 a＝b 时，等号成立.
也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等.
下面证明上述猜想是正确的.
证法 1
对于正数 a，b，有
－ ＝ (a＋b－2)
＝ [()2＋()2－2]
＝ (－)2.
因为(－)2 ≥ 0，所以≥0 ，
即≤ .
当且仅当 ＝ ，即a＝b时，等号成立.
证法 2
对于正数 a，b，要证 ≤ .
只要证 2≤ a＋b，
只要证 0≤a－2＋b，
只要证 0≤(－)2.
因为最后一个不等式成立，
所以 ≤ 成立，
当且仅当 a＝b 时，等号成立.
证法 3
对于正数 a，b，有
(－)2≥0，
a＋b－2≥0，
a＋b≥2，
≥a＋b.
当且仅当 a＝b 时，等号成立.
(1) 公式：
① 条件：a，b是正数；
② 结论：____________；
③ 等号成立：当且仅当 a＝b 时.
一、基本不等式
≤
当 a，b≥0时，这个不等式仍然成立.
我们把不等式≤ (a，b≥0) 称为基本不等式.
归纳总结
(2) 本质：
基本不等式表明，两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数 .
(3) 变形式：
当 a，b∈R 时，由(a－b)2≥0可得
a2＋b2≥2ab，a2＋b2＋2ab≥4ab，
即 ≥ab，()2≥ab，
当且仅当 a＝b时，其中的等号成立.
当 a＞0，b＞0 时，请用基本不等式证明这两个不等式.
从而得到：
当 a，b∈R 时，
ab≤ (当且仅当 a＝b 时，等号成立)；
ab≤()2 (当且仅当 a＝b 时，等号成立).
这两个不等式通常可以直接使用.
例 1
设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
(1) ＋ ≥2；
(2) a＋b＋＋ ≥4；
课本例题
证明：（1） 因为 a，b 为正数，所以 ， 也为正数.
由基本不等式，得
＋ ≥2 ＝2，
当且仅当 ＝ ，即 a＝b 时，取得等号.
所以原不等式成立.
证明：（2） 因为 a，b 为正数，所以 ， 也为正数.
由基本不等式，得 a＋≥2 ＝2， b＋≥2 ＝2
课本例题
例 1
设 a，b 为正数，证明下列不等式成立：
(1) ＋ ≥2；
(2) a＋b＋＋ ≥4；
所以 a＋b＋＋ ≥4，
当且仅当 a＝，b＝ 时，即a＝b＝1时，取得等号.
因此，原不等式成立.
例 2
设 y＝x＋，x∈(－2，＋∞)，求y的最小值.
解：因为 x＞－2，所以 x＋2＞0.
由基本不等式，得 x＋ ＝ (x＋2)＋－2
≥2＝6，
当且仅当 x＋2＝ ，即 x＝2时，等号成立.
因此，当 x＝2 时，y的最小值为6.
课本例题
1. 计算下列两个数的算术平均数与几何平均数 (其中p＞0)：
(1) 2，8； (2) 3，12； (3) p，9p； (4) 2，2p2.
解：(1) 2，8 的算术平均数为5，几何平均数为4；
(2) 3，12 的算术平均数为，几何平均数为6；
课本练习
(3) p，9p的算术平均数为5p，几何平均数为3p；
(4) 2，2p2的算术平均数为1＋p2，几何平均数为2p；
2. 如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的. 设直角三角形的直角边长为 a，b，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和存在不等关系，用 a，b 表示这种关系.
解：由题意，直角三角形的斜边长为，
则大正方形面积 S1＝a2＋b2
四个直角三角形的面积为 S2 ＝ 4×ab ＝2ab，
则 a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.
3. 证明：
(1) a＋ ≥3(a＞1)；
证明：∵a＞1，
∴a＋＝a－1＋ ＋1≥2 ＋1 ＝3，
当且仅当a－1＝，
即a＝2 (a＞1)时等号成立；
(2) x＋ ≤－2 (x＜0).
证明：∵ x＜0，
∴ x＋＝－(－x＋)≤－2 ＝－2，
当且仅当－x＝，
即x＝－1 (x＜1)时等号成立；
4. 求 4x2＋ 的最小值.
解：由4x2， 均大于0，
∴ 4x2＋ ≥2 ＝2 ＝12，
当且仅当 4x2＝ 时取得最小值，故x＝，
即 4x2＋ 是的最小值为12，此时x为.
5. 设 0° ＜ α ＜ 90°利用直角三角形三边关系，证明 1 ＜ sinα ＋ cosα ≤ .
证明：∵ 0°＜α＜90°，
∴ 0°＜2α＜180°，
∴ sin2α∈(0，1]，
∴ 1＋sin2α∈ (1，2]，
∴ (sinα＋cosα)2∈ (1，2]，
∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2，
∴ 1＜ (sinα＋cosα)2≤2，得证.
易错点1　忽略应用基本不等式的前提而致错
错因分析
D
分层练习-基础
故y有最大值为－4.
C
A.最大值为0 B.最小值为0
C.最大值为－4 D.最小值为－4
解析　∵x<0，
3.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)
A.16 B.25 C.9 D.36
解析　因为x>0，y>0，且x＋y＝8，
B
当且仅当x＝y＝4时“＝”成立，
故(1＋x)(1＋y)的最大值为25.
A
解析　∵b>a>0，∴a2＋b2>2ab，
A.r>q>p B.q>p>r C.q>r>p D.r＝q>p
BC
5.(多选题)下列求最值正确的是(　　)
解析　A中，没有考虑x<0的情况，错误；
即x＝0时，取等号，正确；
二、填空题
6.已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为______.
解析　因为x>0，y>0，2x＋3y＝6，
①②
7.设a，b为非零实数，给出下列不等式：
解析　由不等式a2＋b2≥2ab，可知①正确；
当a＝1，b＝－1时，可知④不正确.
16
∵x>－1，∴x＋1>0，
∴原不等式成立.
C
11.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们利用该图证明(　　)
A.如果a>b，b>c，那么a>c
B.如果a>b>0，那么a2>b2
C.对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立
D.如果a>b，c>0那么ac>bc
解析　可将直角三角形的两直角边长取作a，b，斜边为c(c2＝a2＋b2).则外围的正方形的面积为c2，也就是a2＋b2，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为2ab.
对任意正实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立.
分层练习-巩固
ABC
12.(多选题)已知a，b>0，则下列不等式中成立的是(　　 )
当且仅当a＝b时，等号成立，B成立；
当且仅当a＝b时，等号成立，C成立；
当且仅当a＝b时，等号成立，D不成立.
解　4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
当且仅当a－b＝b－c，
即2b＝a＋c时取等号，
当且仅当x＝y＝1时，等号成立，
解　充分条件但不是必要条件，理由如下：
分层练习-拓展
当且仅当x＝y时，等号成立.
课堂小结