3.2.2　基本不等式的应用 课件(共45张PPT)-高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

(共45张PPT)
苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式
3.2.2　基本不等式的应用
3.2基本不等式≤ (a，b≥0)
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂小结
分层练习
错因分析
学习目标
1.进一步熟练掌握基本不等式，能够通过拼凑、变形等利用基本不等式求最值.
2.能够利用基本不等式解决实际问题.
3.通过学习掌握基本不等式及其应用，重点提升数学运算、逻辑推理、数学建模素养.
基本不等式 ≤ (a，b＞0) 常用于证明一些不等式以及求某些函数的最大值或最小值.
情景导入
例 3
用长为 4a 的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大
解： 设矩形长为 x (0＜x＜ 2a)，则宽为 2a－x，
矩形面积为 S＝x(2a－x)，
且 x＞0，2a－x＞0.
由基本不等式，得 ≤＝a.
上式当且仅当 x＝2a－x，即 x＝a 时，等号成立.由此可知，
当x＝a时，S＝(2a－x)取得最大值 a2.
答： 将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为 a2.
课本例题
例 4
某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m，深度为 3m. 如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价为多少元
解 设总造价为 y 元 (y＞0，池底的一边长为 x m (a＞0)，
则另一边长为m，即 m.
课本例题
由题中条件可得 y ＝150×＋2×120×3×(x＋)＝ 150×1600＋720 (x＋)
由题意知 x＞0，及x＋≥2＝80 (当且仅当 x ＝40时，等号成立)， 所以 y≥150×1600＋720×80＝ 297 600，且x＝40时，取得等号.
答 ：当水池设计成底面边长为 40 m 的正方形时，总造价最低为297 600 元.
(1) 和 a＋b 为定值时，积 ab 有最大值 (如例 3)；
ab 为定值时和 a＋b有最小值 (如例 4).
(2) 取等号的条件 (当且仅当 a＝b时， ＝).
对于正数 a，b，在运用基本不等式时，应注意：
归纳总结
例 5
如图3-2-2，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝b，BC＝a，且＋＝1. 当△ABC 的面积最小时，求 a，b 的值.
解 由题意知 a＞0，b＞0，由基本不等式，得
＋ ≥2.
课本例题
因为＋＝1，所以1≥2，故 ab＞8.
于是，S△ABC＝ ab ≥ 4，
当且仅当，即 a＝2，b＝4时，等号成立.
因此，当△ABC的面积最小时，a＝2， b＝4.
例 6
如图 ，一份印刷品的排版面积(矩形)为 A，它的两边都留有宽为 a 的空白，顶部和底部都留有宽为的空白如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少
解 设纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别是 x，y
(x＞0，y＞0)，则 xy＝A.
课本例题
S＝ (x＋2a)(y＋2b) ＝ xy＋2bx ＋2ay＋4ab
≥ xy＋2＋4ab＝ A＋4＋4ab ＝(＋2)2.
当且仅当 2bx＝2ay，即 x＝，y＝时，S 有最小值(＋2)2，
此时纸张的长和宽分别为 ＋2a 和 ＋2b.
答 ：当纸张的长和宽分别为 ＋2a 和 ＋2b时，纸张的用量最少.
1. 若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是( ).
A. 4 B. 4
C. 9 D. 18
D
课本练习
2. 若直角三角形的面积为 50，则两条直角边的和的最小值是( ).
A. 5 B.10
C. 10 D.20
D
3. 设 x＞0，y＞0，且 2x＋5y＝20，求xy的最大值.
解：∵ x＞0，y＞0，且 2x＋5y＝20.
∴ 20≥2，化为：xy≤10，
当且仅当2x＝5y＝10时取等号.
∴ xy 的最大值为10.
解：如图所示，矩形ABCD为横截面设圆木的半径为r，∠CAB＝α ，(0＜α＜)，
4. 将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能使横截面的面积最大
故 AB＝2rcosα，BC＝2rsinα，
故 S＝4r2sinαcosα＝2r2sin2α≤2r2，
故当α＝45°时，sin2α 取得最大值1，
此时面积 S 取得最大值 S＝2r2.
5. 如图，质量是 W 的重物挂在杆上距支点 a 处. 质量均的杆子每单位长度的质量为 m. 杠杆应当多长，才能使得加在另一端用来平衡重物的力 F最小
解：设杠杆长为x米时，在另一端用来平衡重物的
力F最小，杆子质量均匀且每单位长度的质量为m，
故杆的质量为 x×m.
则 W×a＋x×mg× ＝F·x，∴ F＝＋＝( －)2 ＋.
当且仅当 ＝ 时，即x＝ 时，力 F有最小值；
所以杠杆应当为 时，才能使得加在另一端用来平衡重物的力F最小。
错因分析
易错点1　忽略等号成立的条件而致错
A
9
错因分析
易错点2　多次应用基本不等式而致错
C
错因分析
B
分层练习-基础
2.已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为(　　)
C
3.欲用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的面积最大的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长、宽分别为(　　)
解析　设矩形的长为x m，宽为y m，则x＋2y＝30，
A
C
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　)
A.6.5 m B.6.8 m C.7 m D.7.2 m
∵要求够用且浪费最少，故选C.
C
∴9m≤54，即m≤6，故选C.
二、填空题
6.已知x，y都是正数.
(1)如果xy＝15，则x＋y的最小值是________；
(2)如果x＋y＝15，则xy的最大值是________.
5
7.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处.
∴k1＝20，k2＝0.8.
三、解答题
9.已知x，y都是正数.
(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；
当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立.
∴xy的最大值为6.
解　∵3x＋2y＝12，
解　设总费用为y元.
由题意得
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.
BC
11.(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　)
当且仅当a＝b时等号成立.
分层练习-巩固
当且仅当a＝b时等号成立，∴C正确；
又a2＋b2≥2ab，
∴B正确；
20
12.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m，面积最大为________m2.
当且仅当x＝20时，等号成立，
即当x＝20 m时，面积最大，最大值为400 m2.
400
13.设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，求车厢的最大容积.
解　设车厢的长为b m，高为a m.
设a＋1＝t，
当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立.
故车厢的最大容积是16 m3.
解析　正数x，y满足x＋y＝1，即有(x＋2)＋(y＋1)＝4，
分层练习-拓展
感受·理解
1. 证明下列不等式：
(1) a2＋b2≥2a＋2b－2；
证明：∵a2＋1＞2a，b2＋1＞2b，
∴ a2＋b2＋2≥2a＋2b，
即 a2＋b2≥2a＋2b－2.
习题3.2
(2) ()2 ≤ ；
证明：∵ 2ab≤a2＋b2，
∴ ()2＝a2＋2ab＋b2
≤＝，
即 ()2 ≤ .
(3) 若 a，b ∈(0，＋∞)，则 ≤ .
证明：∵ a，b∈(0，＋∞)，
∴ 2≤a＋b，
从而 ≤1，故 ＝≤.
2. 设 x＞0，y＞0，且 xy＝4，求的最小值.
解：∵ x＞0，y＞0，xy＝4，
∴ y＝，∴ ＋＝ ＋ ≥2 ＝1，
当且仅当 ＝ ， xy＝4，x＞0，y＞0. 即x＝y＝2 时取等号.
∴ ＋ 的最小值是1.
3. 证明：
(1) x2＋ ≥1；
证明：∵ x2＋1＞0，
∴ x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1，
即 x2＋ ≥1. 当且仅当 x2＋1＝ ，
即 x＝0 时，取得等号.
(2) ＞2；
证明：∵＝＝＋ ≥2 ＝ 2，
当且仅当 ＝ 时，等号成立.
∵ 对任意的实数x， ≠，∴ ＞2.
4. 求 1＋2x2＋ 的最小值.
解：1＋2x2＋ ≥1＋2 ＝9；当且仅当 2x2＝ 即 x＝±时等号成立.
∴ 1＋2x2＋ 的最小值为9.
5. 设 a，b 是正实数，求证：(a＋)(b＋)≥4.
解：∵ a＞0，b＞0，∴ a＋ ≥2 ＝2，当且仅当 a＝，即 a＝1 时取等号.
∴ b＋ ≥2 ＝2，当且仅当 b ＝，即 b＝1 时取等号.
∴ (a＋)(b＋) ≥2×2 ＝4，当且仅当 a＝b＝1时取等号.
综上， (a＋)(b＋)≥4.
6. 如图，墙角线互相垂直，长为 a m 的木棒AB的两个端 点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区域的面积最大
解：如图，设 AO＝a m，BO＝y m.
∵OA⊥OB，∴ OA2＋OB2＝AB2∴ x2＋y2＝a2
∵(x－y)2≥0，∴ x2－2xy＋y2≥0，∴ x2＋y2≥2xy
∴ xy≤ (x2＋y2)， 即xy的最大值为 (x2＋y2)，
∵当 x＝y 时， (x－y)2＝0，∴当 x＝y 时， xy＝ (x2＋y2)， 即当 x＝y 时，xy 的值最大，
∵ S△AOB＝xy.∴当 x＝y 时，S△AOB面积最大，
由 x2＋x2＝a2 得 x＝a∴ 当OB＝OA＝a m 时，木棒围成区域的面积最大.
7. 已知 a，b，c，d 都是正数，且 a＜b，c＜d，求证： ＜ .
证明：设点A(b，a)，B(－c,－c)，C(－d，－d)，
∵a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，
∴点A在第一象限，点B在第三象限，点C第三象限，
且点B、点C都在直线 y＝x上，
∵c＜d，∴点B在点C的右上方，∵a＜b，∴点A在直线y＝x (第一象限内)的下方，
在直角坐标系中表示出点A、点B、点C，
的几何意义是点A与点B连线的斜率，
的几何意义是点A与点C连线的斜率，
由图象可以看出直线AC的斜率更大，则 ＜ .
思考·运用
8. 当 x≠0时，求 x＋ 的取值范围.
解：当x＞0时，x＋ ≥2 ＝4，∴当且仅当 x＝ 即 x＝2 时等号成立；
当 x＜0时， －x＞0，∴ －x－ ≥2 ＝4
∴ x＋ ≤－4
∴当且仅当－x＝－ 即 x＝－2 时等号成立，
∴ 综上所述， x＋ 的取值范围为： (－∞，－4)∪(4，＋∞)
9. 如图，电路中电源的电动势为E，内阻为 r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器. 已知 R2消耗的电功率为 P＝()2R2. 当R2调至何值时， ()2R2 最大 最大值是多少
解：∵P＝()2R2 ＝
＝，
且 ≥2 ＝2；
∴P≤，当且仅当，
即 r＋R1＝ R2时取等号，∴当 r＋R1＝ R2， P取得最大值，最大值是.
10. 某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，
现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价 p%，第二次提价 q%；
方案乙：第一次提价 q%，第二次提价 p%；
方案丙：第一次提价 %，第二次提价%.
其中p＞q＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少 哪一种提价多
解：设提价前的价格为1，那么两次提价后的价格为，
方案甲：(1＋p %)(1＋q%)＝1＋p%＋q%＋0.01pq%；
方案乙：(1＋q%)(1＋p%) ＝ 1＋p%＋q% ＋0.01pq%；
10. 某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百分比，对产品分两次提价，
现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价 p%，第二次提价 q%；
方案乙：第一次提价 q%，第二次提价 p%；
方案丙：第一次提价 %，第二次提价%.
其中p＞q＞0，比较上述三种方案，哪一种提价少 哪一种提价多
方案丙：(1＋%) (1＋%) ＝1＋p% ＋q% ＋(%)
＝1＋ p%＋q% ＋0.01 ×()2%；
∵ ()2 ≥pq，且 p＞q＞0，
∴ 上式“＝”不成立；∴ 方案乙提价少，方案丙提价多.
探究·拓展
11. (阅读题)甲乙两同学分别解“设 x∈[0，＋∞)，求函数 y＝2x2＋1的最小值”的过程如下：甲：y＝2x2＋1≥2＝2x，又x≥1，所以2x＞2 .
乙：因为y＝2x2－1在区间[1，＋∞)上的图象随着x增大而逐渐上升，即y随x增大而增大，所以y的最小值是 2×12＋1＝3.试判断谁错，错在何处
解：甲的解法错误，乙的解法正确.
甲同学的解法：利用基本不等式法求最小值，∵ 2x2＋1 ≥ 2 ＝ 2，
但由于2x，不是定值，且未考虑取等的问题，所以解法错误.
乙同学的解法：∵ y＝2x2＋1在[1，＋∞) 上单调递增，
∴ y＝2x2＋1的最小值是 2×12＋1＝3，解法正确.
综上所述：甲同学的解析错误，基本不等式应用错误.
掌握1种方法——利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：
①一正——各项为正数；
②二定——和或积为定值；
③三相等——等号一定能取到.
(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，要采用“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件.
课堂小结