4.2.2　对数的运算性质（第2课时） 课件(共45张PPT)-高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

(共45张PPT)
苏教版2019高一数学（必修一）第四章 指数与对数
4.2 对 数
4.2.2　对数的运算性质（第2课时）
目录/CONTENTS
新知探究
情景导入
学习目标
课堂小结
分层练习
错因分析
学习目标
1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对数运算.
2.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.
3.通过掌握对数的运算性质及换底公式，用对数的运算性质进行化简求值，进一步提升数学抽象与数学运算素养.通过用对数解决实际问题，提升数学建模素养.
对数的运算性质
①积的对数：loga(MN) ＝_________________；
②商的对数：loga＝_________________；
③幂的对数：logaMn＝____________.
其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，n∈R.
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
复习导入
例 6
试用常用对数表示 log35.
解 设 t＝log35，则 3t＝5.
两边取常用对数，得 lg 3t＝lg 5，
即 t lg 3＝lg 5，
所以 t＝.
故 log3 5＝ .
课本例题
例 7
证明：logaN＝ ，其中a＞0，a≠1，N＞0，c＞0，c≠1
证明 设 t＝logaN，则at＝N.
两边取以c为底的对数，得 logc(at)＝logcN，
即 t logca＝logcN，
所以 t ＝. 故 logaN ＝ .
课本例题
换底公式
logaN＝________ (a＞0，且a≠1；N＞0；c＞0，c≠1).
(1) 公式：
这个公式称为对数的换底公式.
(2)本质：
将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数.
(3)应用：
将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算.
【思考】
(1) 对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式
提示：logab＝ ，logab＝ .
(2) 你能用换底公式证明结论 logNnMm＝logNM 吗
提示： logNnMm ＝ ＝
＝ · ＝ logNM.
例 8
求log89×log332 的值.
解 log89×log332 ＝ ×
＝ ×
＝ .
课本例题
例 9
如图，2000 年我国国内生产总值(GDP)为89 442 亿元如果我国 GDP 年均增长 78%，那么按照这个增长速度，在 2000 年的基础上，经过多少年以后，我国 GDP 就能实现比2000年翻两番的目标
解 假设经过x年实现GDP 比 2000 年翻两番的目标
根据题意，得
89 442× (1＋7.8%)x＝89 442×4
1.078x＝4，
故 x＝log1.078 4＝ ≈18.5.
答 约经过 19 年以后，我国 GDP 就能实现比 2000 年翻两番的目标.
要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C会自动衰变. 经过 5 730 年(14C的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半.经过科学测定，若14C 的原始含量为 1，则经过x年后的残留量为 y＝0.999 879x.
例 10
用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C 的残余量占原来的 87.9%，试推算古莲子的生活年代.
解 由题设可知，原始量为 1的14C 经过x年后的残余量是 y＝0.999 879x.
由 y＝87.9%＝0.879 可知0.879＝0.999879x，
两边取常用对数，得x lg 0.999 879＝lg 0.879，
从而 x＝ ≈1 066. 答 古莲子约是 1066 年前的遗物.
1. 利用对数的换底公式，计算下列各式的值：
(1) log25 × log54；
＝ log25×
＝log24
＝2.
课本练习
(2) log23×log34×log45×log56×log67×log78.
＝ log23× × × × ×
＝log28
＝3.
2. 证明：log34 ＝ .
解 由题意，log34 ＝ ＝
3. 利用对数的换底公式，计算 log2×log3×log5.
解 原式＝ × ×
＝ × ×
＝ × ×
＝(－ 2)×(－3)×(－ 2) ＝ － 12.
4. 利用计算器，计算下列各式的值(结果保留4位小数)：
(1) log25 ＋ lg 5；
(2) log53.14 － log73；
原式＝ ＋lg5
≈3.0209
原式＝ －
≈0.1464
(3) log2÷log53；
原式＝ ·
＝
≈1.1610
(4) lg2×log310.
原式＝lg2·
＝
≈0.6309
5. 截至 1999 年底，我国人口约 13 亿如果此后的人口年 平均增长率为 1%，那么约经过多少年后，我国人口数将达到 18 亿
解：设约经过 x 年后，我国人口数将达到 18 亿，则
13(1＋1%)x＝18，
∴ x＝log1.10＝ ＝ ≈ 33.
∴约经过 33 年后，我国人口数将达到 18 亿.
D
分层练习-基础
2.已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为(　　)
A.6 B.9 C.12 D.18
解析　∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，
D
∵2a＋b＝ab，
A
C
4.log916·log881＝(　　)
B
5.设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是(　　)
A.logab·logcb＝logca
B.logab·logca＝logcb
C.loga(bc)＝logab·logac
D.loga(b＋c)＝logab＋logac
C，D显然错误.
二、填空题
6.若2a＝3，b＝log32，则ab＝________，3b＋3－b＝________.
解析　∵2a＝3，∴a＝log23，
1
7.若xlog32＝1，则4x＋4－x＝________.
所以4x＋4－x＝22x＋2－2x＝22log23＋2－2log23＝2log232＋2log23－2
8.已知log32＝m，则log3218＝________(用m表示).
三、解答题
9.计算：(1)log89·log2732；
(2)(log25＋log40.2)(log52＋log250.5).
(2)原式＝(log25＋log220.2)(log52＋log520.5)
10.(1)已知log1227＝a，求log616的值；
(2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值.
法二　原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
AD
11.(多选题)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)
解析　令4a＝6b＝9c＝N(显然N＞0且N≠1)，
则a＝log4N，b＝log6N，c＝log9N，
∴bc＋ab＝2ac.
分层练习-巩固
(1)解　设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0且k≠1)，
则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.
所以原式得证.
因为log3k≠0，所以p＝2log34＝4log32.
14.已知lg a和lg b是关于x的方程x2－x＋m＝0的两实根，且关于x的方程
x2－(lg a)·x－(1＋lg a)＝0有两个相等实数根，求实数a，b和m的值.
由③得(lg a＋2)2＝0，所以lg a＝－2.
代入①，得lg b＝1－lg a＝3；
代入②，得m＝lg a·lg b＝(－2)×3＝－6.
所以a＝0.01，b＝1 000，m＝－6.
分层练习-拓展
感受·理解
1. 将下列指数式改写成对数式：
(1) 32＝9；
(2) 7－2＝；
(3) 8 ＝32；
(4) 3m＝2.
log39 ＝ 2
log7 ＝ － 2
log832 ＝
log32 ＝ m
习题4.2
2. 将下列对数式改写成指数式：
(1) log28＝3；
(2) log93＝；
(3) log49 ＝－；
(4) log25＝2.321 9；
(5) lg 6＝0.778 2；
(6) ln 10＝2.302 6.
23＝8
9 ＝3
49 ＝
－
22.3219＝5
100.7782＝6
e2.3026＝10
3. 求下列各式的值：
(1) log3 81；
(2) log4 ；
(3) log3.4 3.4；
＝log334＝4log33＝4
＝log44－3＝－3log44＝－3
＝1
(4) log0.45 1；
＝0
(5) lg 125＋lg 8；
(6) log2 56－log27.
＝lg1000＝lg103＝3lg10＝3
＝log28＝log223＝3log22＝3
4. 利用计算器，求下列各式的值(结果保留 4 位小数)：
(1) lg36－lg4； (2) lg 36×lg 9；
(3) 2lg 5÷3lg 2； (4) lg .
＝lg9＝2lg3≈0.9542
＝4lg6×lg3≈1.4851
≈ 1.5480
＝lg3≈0.2386
5. 已知 lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1，求下列各式的值 (结果保留 4 位小数):
(1) lg 54； (2) lg 1.5；
原式＝ lg (2×27) ＝ lg 2＋3lg 3
≈ 0.301 0＋3×0.477 1
＝1732 3；
原式＝ lg ＝ lg3－lg2
≈0.477 1 － 0.3010 ＝ 0.1761；
(3) lg ； (4) lg 45.
原式＝ lg4－lg9＝2lg2－2lg3
≈2×0.3010 －2×0.4771
＝－0.3522；
原式＝ lg 5＋lg 9
＝1－lg 2＋21g 3
≈1－ 0.3010 ＋ 2×0.477 1
＝1.653 2.
6. 不用计算器，求下列各式的值：
(1) log48－log 3；
(2) 2lg 4＋lg ；
＝ log2223 － log3－23
＝ lg22 ＋ log33
＝＋ ＝2
＝21g22＋lg5－lg23
＝4lg2＋lg5－3lg2
＝lg2＋lg5
＝lg(2×5) ＝1
(3) (lg 5)2＋lg 2 ＋lg 50 .
＝(lg5)2＋lg×lg50
＝(lg5)2 ＋(lg10－lg5)×(lg10＋lg5)
＝(lg5)2＋(1－lg5)×(1＋lg5)
＝(lg5)2＋1 －(lg5)2
＝1
7. 已知lg2＝a，lg3＝b，试用 a，b 表示下列各对数：
(1) lg 36； (2) lg 15；
＝ lg62
＝ 2lg6
＝ 2(lg2＋lg3)
＝2(a＋b)
＝lg(10×)
＝ lg10＋lg3－lg2
＝ 1＋b－a
(3) lg ； (4) lg 1.8.
＝lg
＝ lg2＋lg3 － lg10
＝ a＋b－1
＝lg ＝ lg
＝ lg2＋2lg3 － lg10
＝ a＋2b－1
8. 如果我国国内生产总值 (GDP) 2020 年比 2010 年翻一番那么平均每年的增长率是多少 (精确到 0.1%)
解 设平均每年的增长率为x，若2000年的GDP为a，则若2010年的GDP为2a，
根据题意得 a(1＋x)10＝2a，∴(1＋x)10 ＝ 2，
两边取常用对数得10lg(1＋x) ＝ lg2，
∴lg(1＋x) ＝ lg2 ＝lg2 ，
∴1＋x＝2 ，
∴x ＝ 2 － 1 ≈ 1.0718 － 1 ≈ 0.072，
∴平均每年的增长率约为7.2%.
9. 设 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，n∈R，
证明：loga ＝ logaM－logaN，logaMn ＝ nlogaM.
证明：设logaM＝p，logaN＝q，由对数的定义可以得 M＝aP，N＝aq
∴＝ ＝a p－q ∴loga ＝logaa p－q
∴ loga ＝logaM －logaN
∵ M＝ap，Mn＝anp
∴logaMn ＝np
∴ logaMn ＝nlogaM
思考·运用
10. 设 a，b 均为不等于1的正数，利用对数的换底公式，
证明：
(1) logab ＝ ；
证明 原式＝＝ ＝ .
(2) loganbm ＝ logab (m∈R，n∈R，n≠0).
证明 原式＝＝ ＝ logab.
11. (1)设lg6＝a，lg12＝b，试用 a，b 表示 lg24 和1g120；
(2) 设lg6＝a，lg15＝b，试用a，b 表示lg24和lg120.
探究·拓展
12. (阅读题) 对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过对数转换，可以简化运算过程. 例如，1，10，100，1 000，10 000，···成 10 倍增长，取常用对数后就变
为0，1，2，3，4，···.
我们再来看物理学中的一个例子. 声强是表示声波强度的物理量，可用公式 I＝ vA2 表示，其中v表示声速，和A分别是声波的频率幅，是媒质的密度.
由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标度，这就引入了声强级的概念，规定声强级 L ＝lg. 通常规定 I0＝10－20W/m2 (相当于频率为 1000 Hz 时能够引起听觉的最弱的声强)，
这时计算出来的 L 就是声强 I 的量度，式中声强级的单位称为贝尔实际上由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的 作单位，这就是分贝(dB)：L ＝10lg (dB) .
当被测量的声强 I 为声强 I0 的 100 倍时，声强级 L 为多少分贝
当I是I0， 的 100 倍时，＝100。
∴L ＝ 10lg ＝ 10 · lg 100 ＝ 20(dB)。
当声强 I 为规定声强 I0 的100倍时，声强级L为20分贝.
1.记牢1个知识点
换底公式.
2.注意2个问题
(1)运用换底公式注意成立条件.
(2)根据不同问题选择公式的正用或逆用.
课堂小结